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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题08 二次函数与幂函数
1．（2021·全国乙卷·高考真题）设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
【答案】D
【解析】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.
2．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为R的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：对于A， 的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于B， 的定义域为{x|x>0}，故B错误；
对于C， 的定义域为R，故C正确；
对于D， 的定义域为{x|x>0}，故D错误.
故答案为：C
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
考点一　幂函数的图象与性质
1.（2021高三上·桂林月考）函数 的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数 ，满足 ，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D不符合题意；该函数是幂函数 ， ，故该函数是增函数，且增长得越来越快，A符合题意，BC不符合题意.
故答案为：A.
2．（2020高三上·云南月考）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象恒在x轴上方 B．f（x）的图象经过原点
C．f（x）是R上的减函数 D．f（x）是偶函数
【答案】A
【解析】化简得 ，故 的定义域为 ，
对于A， ，所以 的图象恒在x轴上方，A符合题意；
对于B，该函数不经过原点，B不符合题意；
对于C，函数 的定义域为 ，在定义域内是减函数，并不是在 上的减函数，C不符合题意；
对于D，函数定义域并不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，不是偶函数，D不符合题意；
故答案为：A。
【思维升华】
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点二　二次函数的解析式
已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于(　　)
A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1
C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1
答案　B
解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，
由f(x)＝x2＋f′(x)－1可得
ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)，
所以
解得
因此，f(x)＝x2＋2x＋1.
4 .已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝x2－4x＋3
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
【思维升华】
求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
考点三　二次函数的图象与性质
5 .设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
答案　D
解析　因为abc>0，
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
C中，a>0，c<0，b>0，不符合题意，故选D.
6.（2022·浙江学考）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】 对称轴为 ，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 。
故答案为：A
【思维升华】
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
一、单选题
1.（2020·临沂模拟）已知函数 ， ，当 时， 取得最大值b，则函数 的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，故 ， .
，对比图像知C满足条件.
故答案为：C.
2．（2021高三上·陕西月考）幂函数 在 上单调递减，则 的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为 是幂函数，所以 ，即 ，
又因为在 上单调递减，所以 ，
所以 ，结合选项知，选A,
故答案为：A.
3．（2021高三上·吉林月考）“ ”是“函数 在 上单调递减”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
若函数 在 上单调递减，可得 ，解得 ，
所以 是函数 在 上单调递减的充分不必要条件.
故答案为：A.
4．（2021高三上·嫩江月考）若函数 是幂函数，则函数 (其中 且 )的图象过定点（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵函数 是幂函数，
∴m-3=1
∴m=4
∴
令x+4=1，即x=-3时，y=1
则的图象必过定点(-3,1)
故答案为：A
5．（2020高三上·河南期中）已知幂函数 为奇函数，则实数 的值为（　　）
A．4或3 B．2或3 C．3 D．2
【答案】D
【解析】 是幂函数，
，解得 或3，
当 时， 为奇函数；当 时， 为偶函数，
∴ .
故答案为：D.
6．（2020高三上·贵溪月考）若函数 在区间 上的最小值为3，则实数 的取值范围是（　　）
A．（-∞，1] B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的对称轴为 ，
当 时， ，成立；
当 时， ，
即 ，解得 ，
综上：实数 的取值范围是 ，
故答案为：A
7．（2020高三上·福州期中）幂函数 满足 ,则 等于（　　）
A． B．3 C． D．-3
【答案】A
【解析】设幂函数 ，
则 ，
解得 ，
所以
所以 ，
故答案为：A
8．（2018·广东模拟）设实数 为常数，则函数 存在零点的充分必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵若函数 存在零点
∴
∴
∴函数 存在零点的充分必要条件是
故答案为:C
9.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【分析】由幂函数的基本性质可知，定义域为的的值为：，函数为奇函数的的值为，故满足条件的所有的值为两个.
10．（2020·浙江学考）设a为实数，若函数f(x)=2x2 x+a 有零点，则函数y=f[f(x)]零点的个数是（　　）
A．1或3 B．2或3 C．2或4 D．3或4
【答案】C
【解析】当f(x)有一个零点时，，则f(x)=2(x-)2,
即x=是f(x)的零点。
再由f(x)= ，得x=，
即f[f(x)]有2个零点。
当f(x)有2个零点x1，x2时，由得，则方程f(x)=x，
即2x2 2x+a=0的根为x=，其中在a＜时成立，
即f[f(x)]有4个零点。
故答案为：C。
二、填空题
11．（2022高三上·罗湖期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为　 　．
【答案】（答案不唯一）
【解析】设幂函数，
由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，
所以（）或（是奇数，且互质），
所以满足上述条件的幂函数可以为。
故答案为：（答案不唯一）。
12．（2021高三上·河南月考）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为　 　.
【答案】
【解析】由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，函数在区间上单调递减，符合题意；
当时，函数在区间上单调递增，不符合题意，
所以实数的值为.
故答案为：.
13．（2022高三上·宝山模拟）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】对称轴方程为，
在区间上是增函数，所以.
故答案为:.
14．（2022高三上·浦东模拟）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得。
故答案为：。
三、解答题
15. 已知二次函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3，且－1，3是函数f(x)的零点．
(1)求f(x)的解析式，并解不等式f(x)≤3；
(2)若g(x)＝f(sin x)，求函数g(x)的值域．
解　(1)由题意得
解得
∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴当－x2＋2x＋3≤3时，即x2－2x≥0，
解得x≥2或x≤0，
∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．
(2)令t＝sin x，
则g(t)＝－t2＋2t＋3＝－(t－1)2＋4，t∈[－1,1]，
当t＝－1时，g(t)有最小值0，
当t＝1时，g(t)有最大值4，
故g(t)∈[0,4]．
所以g(x)的值域为[0,4]．
16．(2022·烟台模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[t，t＋2](t∈R)时，求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示)．
解　(1)因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1，
所以
即
所以
解得因此f(x)＝x2＋2.
(2)因为f(x)＝x2＋2是图象的对称轴为直线x＝0，且开口向上的二次函数，
当t≥0时，f(x)＝x2＋2在x∈[t，t＋2]上单调递增，
则f(x)min＝f(t)＝t2＋2；
当t＋2≤0，即t≤－2时，
f(x)＝x2＋2在x∈[t，t＋2]上单调递减，
则f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2＋2＝t2＋4t＋6；
当t<0即－2综上g(t)＝<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题08 二次函数与幂函数
1．（2021·全国乙卷·高考真题）设a≠0，若x=a为函数 的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
2．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为R的是（　　）
A． B． C． D．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
考点一　幂函数的图象与性质
1.（2021高三上·桂林月考）函数 的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020高三上·云南月考）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象恒在x轴上方 B．f（x）的图象经过原点
C．f（x）是R上的减函数 D．f（x）是偶函数
【思维升华】
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点二　二次函数的解析式
已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于(　　)
A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1
C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1
4 .已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
【思维升华】
求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
考点三　二次函数的图象与性质
5 .设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
6.（2022·浙江学考）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【思维升华】
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
一、单选题
1.（2020·临沂模拟）已知函数 ， ，当 时， 取得最大值b，则函数 的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021高三上·陕西月考）幂函数 在 上单调递减，则 的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021高三上·吉林月考）“ ”是“函数 在 上单调递减”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021高三上·嫩江月考）若函数 是幂函数，则函数 (其中 且 )的图象过定点（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高三上·河南期中）已知幂函数 为奇函数，则实数 的值为（　　）
A．4或3 B．2或3 C．3 D．2
6．（2020高三上·贵溪月考）若函数 在区间 上的最小值为3，则实数 的取值范围是（　　）
A．（-∞，1] B． C． D．
7．（2020高三上·福州期中）幂函数 满足 ,则 等于（　　）
A． B．3 C． D．-3
8．（2018·广东模拟）设实数 为常数，则函数 存在零点的充分必要条件是（　　）
A． B． C． D．
9.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020·浙江学考）设a为实数，若函数f(x)=2x2 x+a 有零点，则函数y=f[f(x)]零点的个数是（　　）
A．1或3 B．2或3 C．2或4 D．3或4
二、填空题
11．（2022高三上·罗湖期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为　 　．
12．（2021高三上·河南月考）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为　 　.
13．（2022高三上·宝山模拟）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是　 　.
14．（2022高三上·浦东模拟）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是　 　.
三、解答题
15. 已知二次函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3，且－1，3是函数f(x)的零点．
(1)求f(x)的解析式，并解不等式f(x)≤3；
(2)若g(x)＝f(sin x)，求函数g(x)的值域．
16．(2022·烟台模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[t，t＋2](t∈R)时，求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示)．

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