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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题09 指数函数与对数函数
1．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·新课标Ⅱ·理·高考真题）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时， 01； 当x>0时， 0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【常用结论】
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．
5．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
6．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
7．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
8.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【常用结论】
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
考点一　指数幂的运算
1.(2022·沧州联考)(a>0，b>0)＝________.
2.若＋＝3(x>0)，则＝________.
【思维升华】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考点二　指数函数的图象及应用
3.（2022·浙江学考）函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
4．函数的图象（　　）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【思维升华】
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
考点三　指数函数的性质及应用
5.(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
6.(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
【思维升华】
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
考点四　对数式的运算
7.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
【思维升华】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
考点五　对数函数的图象及应用
9.（2022·绍兴模拟）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022·惠州模拟）函数的图像与函数的图像的交点个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．0
【思维升华】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考点六　对数函数的性质及应用
11.(2022·昆明一中月考)设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)
A．bC．a12.（2022·天津市模拟）已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＝bc C．ab>c
【思维升华】
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
一、单选题
1．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（　　）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
2.（2022·河南模拟）定义矩阵运算，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·海宁模拟）设，则“”是“”的（　　）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·射洪模拟）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（　　）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.08
5．（2022·成都模拟）若函数的零点为，则（　　）．
A． B．1 C． D．2
6．（2022·天津市模拟）设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽模拟）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（　　）
A． B．
C． D．大小关系无法确定
8．（2022·三明模拟）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022·永州三模）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2022·枣庄一模）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·诸暨模拟）已知，则　 　；　 　．
12．（2022·天津市模拟）计算：　 　．
13．（2022·顺义模拟）已知函数，若，则　 　.
14．（2022·安徽模拟）已知函数，则下列说法中：
①函数的图象关于点中心对称；
②函数的值域为；
③函数的所有零点之和大于0．
其中所有正确说法的序号为　 　．
三、解答题
15．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
16.(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题09 指数函数与对数函数
1．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵log20.3∵，∴b>1
∵0<0.403<0.40=1，∴0∴a故答案为：D
2．（2020·新课标Ⅱ·理·高考真题）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为R上的增函数，
，
， ， ，则A符合题意，B不符合题意；
与 的大小不确定，CD无法确定.
故答案为：A.
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时， 01； 当x>0时， 0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【常用结论】
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大．
5．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
6．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
7．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
8.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【常用结论】
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
考点一　指数幂的运算
1.(2022·沧州联考)(a>0，b>0)＝________.
答案　
解析　原式＝＝.
2.若＋＝3(x>0)，则＝________.
答案　
解析　由＋＝3，
两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47，
∴x2＋x－2－2＝45.
＋＝＋
＝(x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
∴＝.
【思维升华】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
考点二　指数函数的图象及应用
3.（2022·浙江学考）函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得函数 是以 为底数的指数函数，
且函数为减函数，D选项符合题意。
故答案为：D.
4．函数的图象（　　）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【答案】B
【解析】令，
对任意的，，即函数的定义域为，
，因此，函数为偶函数，该函数的图象关于轴对称.
故答案为：B.
【思维升华】
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
考点三　指数函数的性质及应用
5.(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
答案　B
解析　∵函数y＝0.3x在R上是减函数，
∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
0．3<0.7，
∴0<0.30.3<0.70.3，
∴0而函数y＝1.2x是R上的增函数，
∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
6.(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
答案　A
解析　设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．
原式等价于2x－3－x<2y－3－y，
即f(x)0，所以A正确，B不正确．
因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．
【思维升华】
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
考点四　对数式的运算
7.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
答案　6
解析　设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
所以a＋b＝6.
8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
答案　4
解析　原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
【思维升华】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
考点五　对数函数的图象及应用
9.（2022·绍兴模拟）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，A、B不符合题意；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，D不符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
10．（2022·惠州模拟）函数的图像与函数的图像的交点个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．0
【答案】C
【解析】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，
作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故答案为：C．
【思维升华】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考点六　对数函数的性质及应用
11.(2022·昆明一中月考)设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)
A．bC．a答案　C
解析　因为a，b，c都是正数，
所以＝log36＝1＋log32，
＝log612＝1＋log62，
＝log1224＝1＋log122，
因为log32＝，
log62＝，
log122＝，且lg 3所以log32>log62>log122，
即>>，
所以a12.（2022·天津市模拟）已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＝bc C．ab>c
【答案】B
【解析】因为a＝log23＋log2＝log2＝log23>1，b＝log29－log2＝log2＝a，c＝log32c.
故答案为：B
【思维升华】
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
一、单选题
1．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（　　）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】A选项： ， ，由图易知处于固态；
B选项： ， ，由图易知处于液态；
C选项： ， ，由图易知处于固态；
D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
2.（2022·河南模拟）定义矩阵运算，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．
故答案为：B．
3．（2022·海宁模拟）设，则“”是“”的（　　）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且且，
故答案为：A．
4．（2022·射洪模拟）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（　　）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.08
【答案】D
【解析】由已知可得，解得，
当时，则.
故答案为：D.
5．（2022·成都模拟）若函数的零点为，则（　　）．
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题设，由得：，
若，可得，
若，可得，
综上，，故.
故答案为：B
6．（2022·天津市模拟）设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，
，
所以
故答案为：A
7．（2022·安徽模拟）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（　　）
A． B．
C． D．大小关系无法确定
【答案】B
【解析】由题意得，则，
同理，则，得，
由指数函数单调性得，即．
故答案为：B
8．（2022·三明模拟）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则为增函数
所以，即
即
当时，
所以
故答案为：A
9．（2022·永州三模）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，得，
取，，此时满足，但是不满足，
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
10．（2022·枣庄一模）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
所以
，
所以，
又，因为，所以，所以，所以，
又
，
所以，所以，又，
所以。
故答案为：C
二、填空题
11．（2022·诸暨模拟）已知，则　 　；　 　．
【答案】10；1
【解析】，
∴，解得，∴﹒
故答案为：10；1﹒
12．（2022·天津市模拟）计算：　 　．
【答案】1
【解析】，填1。
13．（2022·顺义模拟）已知函数，若，则　 　.
【答案】4
【解析】因为，则，则，即；
又.
故答案为：4.
14．（2022·安徽模拟）已知函数，则下列说法中：
①函数的图象关于点中心对称；
②函数的值域为；
③函数的所有零点之和大于0．
其中所有正确说法的序号为　 　．
【答案】①②
【解析】因为，故的图象关于点中心对称，故①正确；
易知函数在R上单调递减，且当时，，当时，，故函数的值域为，故②正确；
令，得，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象如下所示，观察可知，有两个零点为，故③错误．
故答案为：①②
三、解答题
15．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
所以所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，
x＋x－m≥0恒成立，
即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝x与y＝x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝x＋x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
16.(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解　(1)f(x)是奇函数，证明如下：
因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
所以
解得－1f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为当a>1时，y＝loga(x＋1)是增函数，
y＝loga(1－x)是减函数，
所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
f(x)>0即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，
loga>0，>1，>0，
2x(1－x)>0，解得0故使f(x)>0的x的解集为(0,1)．

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