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导数专题课——隐零点问题
如果是超越形式，的零点是存在但无法求出，这时可采用虚设零点法。逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应的函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果。
PS：可推测的零点存在，但是又无法求解的题型。隐零点问题常在双参问题中出现。
零点问题解题步骤
(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围.
(2)以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的雾点范围还可以适当缩小.
例1 已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.
例2．已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：．
巩固练习
1.已知函数.
（1）若在处的切线斜率为,求实数a的值；
（2）当时,判断的极值点个数；
（3）对任意,有,求a的取值范围.
2．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
3.已知函数,．
（1）设函数,求的最大值；
（2）证明：．
4．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
导数专题课——隐零点问题解析
如果是超越形式，的零点是存在但无法求出，这时可采用虚设零点法。逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应的函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果。
PS：可推测的零点存在，但是又无法求解的题型。隐零点问题常在双参问题中出现。
零点问题解题步骤
(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围.
(2)以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的雾点范围还可以适当缩小.
例1 已知函数.（1）若，求的单调区间；
（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）单调速增区间是，单调递减区间是；（2）最小值为.
【解析】（1）求出，进一步求出的解，即可得出结论；
（2）先由，得出，通过二次求导并结合隐零点方法，求出，转化为与隐零点的函数关系，再次用导数法，即可求解.
【详解】解：（1）因，所以，.
令，得.当时，；当时，.
故的单调速增区间是，单调递减区间是.
（2）.因为，，
又，所以，则.令，则在上单调递增.因为当时，，所以.因为，所以，使得且当时，，则，当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.故.由，得.
由，得，即.
结合，得，所以.令.则，所以在上单调递增，所以，即.故的最小值为.
【点评】关键点点睛：（1）函数不等式恒成立问题，要注意应用必要条件探路，这样可以缩小参数的范围，减少分类讨论情况，甚至无需分类讨论；
（2）含参函数的最值经常涉及到隐零点，要注意隐零点范围的确定，如（2）由确定出隐零点的范围，是解题的关键.
例2．已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：．
【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析
【解析】【分析】
（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；
（2）由于，令，得或，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；
（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明.
(1)，则，由已知，解得
(2)
（ⅰ）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
(3)
方法一：
等价于
当时，
令
令，则在区间上单调递增
∵，
∴存在，使得，即
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
∴
∴，故
方法二：
当时，
令，则，
令，则
当时，；当时，
∴在区间上单调递减，上单调递增．
∴，即
∴，
【关键点点睛】
解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用.
巩固练习
1.已知函数.
（1）若在处的切线斜率为,求实数a的值；
（2）当时,判断的极值点个数；
（3）对任意,有,求a的取值范围.
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）构造函数,根据极值点的概念即可求解；（3）将可转化为,令,只需求函数的最小值,利用导数法求解即可.
【解析】（1）,
,解得
（2）,
令
当时,.
易证：,所以.
所以.
所以时,,单调递增,时,,单调递减,
所以是的唯一极值点,所以只有一个极值点.
（3）任意,可转化为
令,,
令,,令,得,在递增,在单调递减,
且,,,,所以时,
在内存在唯一零点,
时,,,单调递增,时,,,单调递减,时,,,单调递增,
所以,
因为,所以
所以
因为,所以,
所以,即.
2．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），是函数的一个极值点，则．，．，
当时，恒成立，在上单调递减．
当时，．
在，上单调递减，在递增．
综上，当时，在上单调递减．
当时，在，上单调递减，在递增．
（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，
令，，令，可得或．
时，，时，，时，
在递增，在，递减，
且时，，时，
或．，或
所以，的取值范围，．
3.已知函数,．
（1）设函数,求的最大值；
（2）证明：．
【分析】（1）利用导数分析函数在定义域上的单调性,由此可求得函数的最大值；
（2）原不等式等价于,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最小值,结合基本不等式可证得所求不等式成立.
（1）解：因为,所以．
当时,；当时,．
所以在上为增函数,在上为减函数,从而．
（2）证明：原不等式等价于,
则,令,则,
所以,在上单调递增．
令,则,,
所以,存在唯一使得,即,
当时,；当时,
此时在上单调递减,在上单调递增,
要证,即要证．
于是原问题转化为证明不等式组,
由,得,代入．
对两边取对数得,代入,得．
因为,当且仅当,时,等号成立,
所以．
4．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
【解答】解：（Ⅰ），，
①当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，可得或，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减，
时，
且等号不恒成立，在上单调递增，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：
当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；
当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．
注意到． 在 上有一个零点；，
由 得，，
，当 时，，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另解：当，时，有，，
而，于是
，所以在没有零点，当时，，
于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，
在，上单调递减，在 上单调递增．
，
，，，，
当 时，，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到，
取，，，又易证，
，
在上有唯一零点，即在上有唯一零点．综上： 在 上有唯一零点．

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