资源简介

函数的最值与值域知识梳理
【考纲要求】
1. 会求一些简单函数的定义域和值域；
2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；
3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．
4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、函数最值的定义
1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值．
注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．
如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值．
2.最小值的定义同学们自己给出．
考点二、函数最值的常用求法
1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．
2.分离常数法：主要适用于分式函数求最值或值域
3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．
4.不等式法：利用均值不等式求最值．
5.利用函数的性质求函数的最值
6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法
7.利用导数求函数的最值。
8.构造斜率、距离、面积等，利用数形结合求最值。
要点诠释：
(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值；
(2)一些能转化为最值问题的问题:
在区间D上恒成立函数
在区间D上恒成立函数
在区间D上存在实数使函数
在区间D上存在实数使函数
【典型例题】
类型一、通过换元的方法求解函数的值域或最值
例1.求函数的最值．
【思路点拨】:此题中由于出现四种指数形式,且
从而联想到通过换元将其转化为一个二次函数.而令或令均无法达成目的，故可令
解：令则原函数的最值即的最值。
因为关于对称，从而有：
①当即时，在单调递增，，无最大值.
②当即时,在单调递减，在单调递增
.
例2.已知,求值域
解：令，此时,由辅助角公式其中角满足且，不难看出，从而可得到，
例3.求的值域
解：令则所以：
原函数的值域即的值域.关于对称.
值域是
变式：在上题中若将改为呢？
【思路点拨】：若改为,采用上面做法令，行不通了，因为用表示时会出现.换元本身是为了消去根号，可这下又引入新的根号.说明此题与上一个题类型不同，需要一种新的换元方法，在消去根号同时不新添根号，而且换元后又能转化成我们熟悉的函数。考虑到,可考虑令
解：令,原函数的值域即的值域.
其中满足：是终边上一点且
【总结升华】：只要是形如的函数求值域均可用三角换元
例4.求函数的值域
【思路点拨】本题可先用将自变量统一成,然后再考虑换元将其转化为我们熟悉的三角函数形式.
解：
令原函数的值域即的值域.由于关于对称，故
值域为
类型二、分段函数求最值与值域
例5.求函数的值域
解：由题意，得：，画出该函数的图像便可求出值域为
变式：求函数
解：与上题类似，只需令，则原函数的值域即的值域
例6.若函数时的最小值为，求函数当时的最值。
解：由已知得：，的图像如下：
由图像可知时，，
类型三.数形结合求最值值域
例7.求函数的值域
【思路点拨】：本题一开始容易想到换元法，令，但会发现前面的无法用表示.而题中的函数又是我们不熟悉的，必须通过变形转化为熟悉的函数.因此便想到了将两部分分别换元.
解：令原函数的值域即的范围.满足：
斜率为 1且过点，故原函数的值域即为坐标系中经过椭圆上的点且斜率为 1的直线的横截距范围.由图可知，当直线位于与的位置时，截距分别取得最小值与最大值.
将与联立得：，
【总结升华】：此题求值域的方法类似于线性规划，当所给的函数比较复杂，通过换元又无法将其转化为我们所熟悉的函数时可考虑此方法.
例8.求函数的值域
【思路点拨】：本题与例8以及前面例3、例3的变式类型均不同，形式上有两个根号，而且根号下都为二次函数，显然用基本的换元都难以将它转化为熟悉的函数.又考虑到根号下的形式与两点间距离公式比较接近，因此变考虑将其转化为两个距离之和.
解：，故的值域即：到与的距离之和，距离之和的最小值为到的距离,无最大值.
值域为
例9.求函数的值域
解：令则的值域即为的斜率，由图可知，值域是
【总结升华】：本题需要对斜率式子比较敏感，且有过做这种题经验才可想到构造斜率,类似地，还有这样的题：已知，求或求取值范围.前者是构造斜率，后者是构造距离.
例10.已知实数满足，则的最小值等于 ．
解：由题意，设为直线上任意一点,则即为到原点的距离,显然最小值为到原点的距离.
例11.已知点是函数图像上的动点，则的最小值是_____
【思路点拨】;此题若考虑传统代数方法很难做出来，无法将所求式子转化为以或为自变量的熟悉的函数.而所求的式子有点像点到直线距离的分子部分，因此可将其转化为点到直线距离的倍数.
解：，而恰为到直线的
距离.即的上半部分.由图可知，当且仅当直线与半圆相切时，两平行线间距离便是所求的最小值.将该直线方程与圆方程联立，得：由即解得.由图可知，直线在轴截距应大于0,
方二：设
原式=，
其中，时取得最小值
类型五：参数方程求最值与值域
例12.在直线坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点在上，点在上，求∣∣的最小值及此时的直角坐标.
解：(1)将消去得：.化简得化为普通方程即：
（2）求的最小值相当于求到直线距离的最小值.不妨设该距离为由于,则，显然当即时，取得最小值，此时
方二：将直线向左下方平移，平移至与椭圆上半部分相切时，两平行线间距离便是最小值.
类型六：在不等式、向量、圆锥曲线、立体几何最值上的应用
例13过椭圆上任意一点作圆的切线,切点分别为.则的最大值为（ ）
解：由图可知,（为圆心）且
所以取得最小值时，最大从而最大. 由于恰为椭圆的右焦点，
例14.已知在中，的对边分别为,且有
（Ⅰ）求角的大小（Ⅱ）当时,求最大值
解：(1)
又
（2）因此求出最大值即求出了最大值
又
又
例15.在正三角形中，是上的动点，且,则的最小值为( ）
A. 9 B. C. D.
【思路点拨】：显然该向量数量积的最值取决于的位置,又因为三角形为正三角形，因此可以建立直角坐标系，将表示成以横坐标为自变量的函数,该函数的最值便是最值.
解：如图，由于直线因此可设则
因此最小值为
变式：在中,,是边上的两个动点，且则的取值范围为（）
解：该数量积的取值范围与位置无关,不放假设在上
方,故可设,继而
便可将数量积表示为的函数得出结果.
例16.在三棱锥中，若该三棱锥的体积为则其外接球表面积的最小值为（）
解：故底面三角形外接圆半径,当时等号成立,故故，当离平面最远时,外接球表面积最小,此时,在平面的投影为中心设球心为,则在上,故化简得到双勾函数在上单调递增,故故,故选
例17.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是
A． B． C． D．
解：由图及题意可知，对应的值便是最大值.由已知
可知
故选B
例18.（2018年（衡水金卷调研卷）三）若存在，不等式成立，则实数的最大值为（ ）
解:当即,故原不等式相当于存在使
得成立.令，相当于
由于,所以有：
单调递减；单调递增.所以
变式：本题若改为对任意的，则便相当于
【总结升华】已知不等式恒成立求参数取值范围的题，总共涉及到四种方法，在后面单调性的应用时会涉及到。在四种方法中我们首先考虑参变分离法，参变分离后往往就归结为求一个函数的最值，这时有可能会需要求导，也有可能不需要，要因题而异。

展开更多......

收起↑