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函数奇偶性与单调性的综合应用
【考纲要求】
1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解．
2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．
【考点梳理】
1．单调性
（1）一般地，设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，若都有，那么就说函数在区间上单调递增，若都有，那么就说函数在区间上单调递减。
（2）如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调性法，导数定义法，复合函数分析法，图像法,单调性的相关结论
定义法：
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设，且；②作差；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法
设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
导数证明法：
设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。
图像法：
一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。对于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、对勾函数等基本初等函数以及由这些函数经过平移、翻折、对称、伸缩变换形成的函数以及分段函数均适用此方法.
相关结论：
若则在定义域的某区间内，有：
①与都为增函数,则为增函数；与都为减函数，则为减函数，比如便为上的增函数.是上的增函数
②对于抽象函数,若条件中有则可联想,为上的增函数或减函数；若条件中有且函数值恒大于0可联想，根据题中其它条件推断单调性；若条件中有且定义域为可联想，根据题中其它条件再去推断单调性；若题中条件有可联想，根据题中其它条件再推断单调性
2、奇偶性
(1)定义:
如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,则称为这一定义域内的奇函数;如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,则称为这一定义域内的偶函数.
理解：
(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.
(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:
①考察函数定义域;②考察与的关系;③根据定义作出判断.
(Ⅲ)定义中条件的等价转化
①;或 =-1
②;或 =1
(2)延伸
(Ⅰ) 设函数是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有
=+ =
其中,= 为偶函数,= 为奇函数.
即对于定义域关于原点对称的任何一个函数, 总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
(Ⅱ)若为奇函数且零属于的定义域,则
(3)奇(偶)函数图像的特征
(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称;(Ⅱ)偶函数图像关于y轴对称.
(4)奇偶性与单调性的联系
当函数既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:
设G,G＇为函数的定义域的子区间，并且区间与关于原点对称，则有
(Ⅰ)当为奇函数时，在区间和区间上的单调性相同；
(Ⅱ)当为偶函数时，在区间和区间上的单调性相反．
这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反．
（5）常见的奇函数与偶函数
常见的奇函数：,,,,
,,,,
常见的偶函数：,,,,
【典型例题】
例1 设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若＝，＝，＝，则，，的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
【思路点拨】:依据奇偶性将转化为同一单调区间上自变量对应的函数值来比较大小
解：由已知可得,又因为
且在上单调递增,即
变式：已知偶函数在上单调递减，若,则的取值范围是___________
【思路点拨】构造一个满足题中条件的函数即可解决
解：令,则即解得
例2.设函数则( )
是偶函数,且在单调递增 是奇函数,且在单调递减
是偶函数,且在单调递增 是奇函数,且在单调递减
解：由已知可得函数的定义域是,且故可排除 又因为显然在单调递增，从而在单调递减.故选
定义域在区间上的偶函数，当时，是单调递减的，
若成立，求的取值范围．
解：由题意可得:成立当且仅当解得
例4.函数，若有，则的范围是_____.
【思路点拨】：要求的取值范围关键是要将题中消去4和
转化为一个关于的不等式.可分两步走，先根据奇偶性转化为的形
式，然后再利用单调性消去
解：令,对任意恒成立,故为上的奇函数.又为上的单调增函数
即即解得
变式：设函数，则使得成立的的取值范围是_________．
解：由已知，对任意恒成立,是上的偶函数.又因为当时利用复合函数同增异减法则可知单调递增，单调递增,单调递增.
由于偶函数，在单调递减.
例4.设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对
任意的，均有，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
解析：由题意可得,所以,所以即对任意成立(*).
令(*)式成立即由于关于对称
从而，解得:
【总结升华】：求的取值范围便是要寻找关于的不等式,因此需要将已知中的不等式消去转化为以为变量为参数的不等式.因此需要将转化，因此此题关键是对的转化
例6.已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【思路点拨】：第一问可根据奇函数特点,由解出再检验.第（2）问先根据奇偶性将其转化为形式，再根据单调性消去，得到以为自变量为参数的一元二次不等式.
解：由已知得：,即：
经检验，满足题意.
(2)由（1）知由上式易知在上为减函数,又因是奇函数,对恒成立即：对一切成立.即：对一切恒成立.从而判别式计算得出
例7.对于函数,若在定义域内存在实数满足,则称为局部奇函数，若为定义域上的“局部奇函数”,则实数的取值范围是( )
【思路点拨】：为上的局部奇函数即有实根,然后通过换元将该方程转化为一元二次方程去解.
解：由题意,
令则有实根即：在有解
由判别式
时不满足题意，满足题意.选择
注：该题若为大题，则应从反面入手：在无解,求出取值范围再求补集.

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