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第六讲 三角函数的图像和性质
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 ____________ ____________ ____________
奇偶性 _______函数 _______函数 _______函数
递增区间 ____________ ____________
递减区间 ____________ ____________ 无
对称中心 ____________ ____________
对称轴方程 ____________ ____________ 无
2、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， 振幅 周期 频率 初相
A _______ f φ
R【类型1】三角函数的周期、单调性和最值
1、下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、函数的最小正周期是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、定义在R上，且最小正周期为的函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、函数的最大值是（ ）
（A） （B）0 （C）2 （D）3
5、函数是（ ）
（A）最小正周期为的奇函数 （B）最小正周期为的偶函数
（C）最小正周期为的奇函数 （D）最小正周期为的偶函数
6、下列函数中，周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
（A）y＝|sin x| （B）y＝tan 2x （C）y＝cos 2x （D）y＝sin 2x
R【类型2】三角函数的平移
7、将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8、要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
（A）向右平移个单位长度 （B）向左平移个单位长度
（C）向右平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度
9、对函数的图像分别作以下变换：
①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)；
②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)
③将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位
其中能得到函数的图像的是（ ）
（A）①③ （B）②③ （C）①④ （D）②④
10、将函数的向右平移个单位，所得图象经过点，则的最小值是（ ）
（A） （B）2 （C） （D）
11、将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
12、若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间，上单调递增，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
R【类型3】三角函数的图像
13、已知函数的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
14、函数的部分图像如图所示，则的值是________；的值是________.
15、已知函数的部分图象如图所示，则 　　　　.
16、已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若对于任意的，恒成立，求的最大值.
R【类型4】三角函数的单调区间
17、函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为（ ）
（A） （B） （C） （D）
18、的最小正周期是______，单调递增区间是____________．
19、已知直线与函数（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数的单调递增区间为____________.
R【类型5】三角函数的综合
20、已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
21、已知函数，则下列四个结论中正确的是（ ）
（A）函数的图象关于中心对称 （B）函数的图象关于直线对称
（C）函数在区间内有4个零点 （D）函数在区间上单调递增
22、设函数()的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则下列说法正确的个数是（ ）
①的图象过点 ②在上是减函数 ③的最大值是A
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
23、如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，下列结论不正确的是（ ）
（A）点P第一次到达最高点需要20秒
（B）当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
（C）当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
（D）点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为
24、已知函数，若直线与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是__________.
25、已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的______．（写出所有正确说法的序号）
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
④方程在上有两个不相等的实根.
26、已知函数.
（1）求的最小正周期
（2）求的对称中心的坐标;
（3）求函数在的区间上的最大值和最小值.
27、已知函数．
（1）求函数的对称轴方程及单调增区间；
（2）若直线与函数的图象无公共点，求实数的取值范围．
28、已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．
29、已知函数由下列四个条件中的三个来确定：
条件①：最小正周期为；
条件②：最大值为2；
条件③：；
条件④：．
（1）写出能确定的三个条件，并求的解析式；
（2）求的单调递增区间．
30、函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间.
条件①：的最大值为2；
条件②：.
一、选择题。
1、下列函数中，最小正周期不为的是（ ）
（A）y＝cos|2x| （B）y＝|cos x| （C）y＝cos （D）y＝tan
2、函数的最小正周期为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、函数的最小正周期是（ ）
（A） Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4、下列函数中最小正周期为的函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、函数的最小正周期为（ ）
（A）1 （B）2 （C） （D）
6、下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
（A） （B） （C）（D）
7、函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、函数的最小正周期是（ ）
（A）1 （B） 2 （C）3 （D） 4
9、下列函数中，周期为的函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则（ ）
（A）T＝π，A＝1 （B）T＝2π，A＝1 （C）T＝π，A＝2 （D）T＝2π，A＝2
11、函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是（ ）
（A）3π和 （B）3π和2 （C）6π和 （D）6π和2
12、将函数图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
13、将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，则图象的一条对称轴可以是（ ）
（A） （B） （C） （D）
14、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度
15、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
（A）向左平移个单位 （B）向左平移个单位
（C）向右平移个单位 （D）向右平移个单位
16、将函数的图象向左平移的单位后，得到函数的图象，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
17、将函数的图象向右平移个单位后，关于轴对称，则的可取值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
18、将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
19、将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间
，上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
20、函数（其中的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）
（A）向右平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度
21、已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
22、下列区间中，函数的单调递增区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
23、设函数，则下列叙述正确的是（ ）
（A）的最小正周期为2π （B）的图象关于直线x＝对称
（C）在上的最小值为－ （D）的图象关于点对称
二、填空题。
24、函数的图象向右平移　　个长度单位得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为　　　　．
25、将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是　　　　．
26、若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为　　　　．
27、把函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的最小值为　　　　．
28、现将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到新函数的图象，则　 　，　　　　．
29、函数的最小正周期为 ；若函数在区间上单调递增，则的最大值为　　　　．
30、已知函数在一个周期内的图像如图所示，则函数的解析式为　　　　．
第30题图 第31题图 第32题图
31、函数的部分图象如图所示，则　　　　．
32、如图所示为函数，的图像的一部分，它的解析式为___________．
33、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为___________．
第33题图 第34题图 第35题图 第36题图
34、已知函数 的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为___________．
35、已知函数的部分图象如图所示，则______.
36、函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为___________．
37、将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则__________；若在区间上的最小值为，则的最大值为___________．
三、解答题。
38、已知函数
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间.
39、已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间与对称轴方程；
（3）求函数在区间上的最值.
40、已知是函数的一个零点.
（1）求实数的值；
（2）求的对称轴方程、对称中心坐标．
41、已知函数．
（1）求的最小正周期及对称轴方程；
（2）求在区间上的最大值．
42、已知函数.
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）当时，求函数的最小值和最大值.
43、函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组己知条件.
（1）确定的解析式:
（2）若图象的对称轴只有一条落在区间[0，a]上，求a的取值范围.
条件①：的最小值为－2；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点；
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
44、已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知．
（1）求的值；
（2）若函数在区间[0，a]上是增函数，求实数a的最大值
条件①：最小正周期为π；
条件②：最大值与最小值之和为0；
条件③：．
45、已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值．
46、已知函数同时满足下列四个条件中的三个：
条件①：最小正周期为π；
条件②：最大值为2；
条件③：；
条件④：
（1）给出函数的解析式，并说明理由；
（2）求函数的单调递增区间.
47、函数（）.已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：
条件①：；
条件②：的最大值为；
条件③：是图象的一条对称轴.
（1）请写出满足的两个条件，并说明理由；
（2）若在区间上有且只有一个零点，求m的取值范围.
48、已知函数 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间.
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
49、函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
（1）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图像经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（2）根据（1）中确定的，求函数的值域．
50、已知函数.
（1）若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

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