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函数的零点问题
1.函数的零点：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数 的零点．
2.函数零点与方程根的关系
根据函数零点的定义可知：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根.
3.零点的个数
对于函数，求零点个数一般有以下几种方法：
①令，有几个实数根就有几个零点；
②将函数转化为，先画出的图象，然后找与图象的交点个数；
③将函数转化为，分别画出与的图象，看两图象交点的个数.
典例
例1.方程的实根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
方法小结——零点所在区间
利用零点存在定理的应用，注意时结合单调性处理．
巩固练习
1.已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
2.函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
例2．若定义在上的偶函数满足，且当时， ，则函数的零点个数是（ ）
A． 6个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
方法小结——判断零点个数一般有三种方法：
（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.
巩固练习
1.已知函数，则在上的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
例3-1.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
例3-2已知、为函数的两个零点，若存在唯一的整数则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3-3.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
方法小结——已知函数有零点求参数范围：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
巩固练习
1．已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．1
2．已知函数（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若存在实数，对任意的实数都有，且在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4. 已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
方法小结——利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，
巩固练习
1.设函数在上存在最小值(其中为自然对数的底数，)，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
函数的零点问题解析
1.函数的零点：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数 的零点．
2.函数零点与方程根的关系
根据函数零点的定义可知：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根.
3.零点的个数
对于函数，求零点个数一般有以下几种方法：
①令，有几个实数根就有几个零点；
②将函数转化为，先画出的图象，然后找与图象的交点个数；
③将函数转化为，分别画出与的图象，看两图象交点的个数.
典例
例1.方程的实根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
方法小结——零点所在区间
利用零点存在定理的应用，注意时结合单调性处理．
【答案】B
【详解】构造函数，则该函数在上单调递增，
，，，
由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.
巩固练习
1.已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵，，由得，，∴，函数为增函数，当时，，又，故的零点所在的区间是.故选：B
2.函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为为单调递增函数，当时，，
当时，，当时，，
由于，且的图象在上连续，根据零点存在性定理，在上必有零点，故选：B.
例2．若定义在上的偶函数满足，且当时， ，则函数的零点个数是（ ）
A． 6个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
方法小结——判断零点个数一般有三种方法：
（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.
【答案】B
【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．
详解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．因为函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：
显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故选B．
巩固练习
1.已知函数，则在上的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】∵∴
设，画出图像
可得在图像上的零点的个数为3.故选：C.
2.函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令可得，
设，则，
所以是偶函数，
故只需要讨论在上的解得个数，
当时，由可得或，
解方程可得或（舍），
此时在上，有两解，
解方程可得或，
此时在上，有三解，有三解，
所以在上，有解，
根据对称性可得在上有解，
所以函数在上的零点个数为，故选：C.
例3-1.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，函数y=f(2x2+1)+f(-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(-x)=0的根，由f(2x2+1)+f(-x)=0得f(2x2+1)=-f(-x)，因f(x)是R上奇函数，
从而有f(2x2+1)=f(x-)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-，
而函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+=0有两个相等实数解，因此得Δ=1-8(1+)=0，解得=，所以实数的值是.故选：C.
例3-2已知、为函数的两个零点，若存在唯一的整数则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由可得，令，其中，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.且当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，满足不等式的整数解有且只有一个，所以，，，所以，，即.因此，实数的取值范围是.故选：D.
例3-3.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
方法小结——已知函数有零点求参数范围：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
巩固练习
1．已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
2．已知函数（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，则有或.
当时，由得：，至多有一个根.
当时，由得：.令，则.令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增.所以的最小值为e，无最大值.
所以函数在定义域R上有三个零点，只需时，有一个根； 时，有两个根.要使有两根，只需.所以只需满足，解得： .
故选：B
3．已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】解：作出函数的图象，方程有四个不同的实根，
即函数与有四个不同的交点，如图所示：
依题意，且，所以，即，所以，即，
所以，所以，故选项A错误，选项B正确；
又，是方程的两根，即，是方程的两根，所以，，因为方程有四个不同的实根，所以由图可知，所以，故选项C，选项D均正确．故选：BCD.
4．已知函数，若存在实数，对任意的实数都有，且在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以的图象关于（a,1）对称，所以b=1，
所以，
令，则，即，
因为，所以，
因为在区间上有且仅有3个零点，所以，则，
所以，则，
所以，即.
例4. 已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
方法小结——利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数g（x）的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，
【答案】B
【详解】因为函数与函数的图象恰有3个交点，所以有3个根.经验证：x=1为其中一个根.
当时，可化为，及
i.或时，方程有且仅有一个根x=-1；
ii.且时，方程有两个根，或x=-1.
当时，可化为.
令，（x>0）.则.
当时，有，所以在上单减.
因，所以有且只有1个根x=1.所以需要有两个根或x=-1，才有3个根，此时且.
当时，有且仅有一个根x=-1，所以只需在有2个根.此时.
在上，，单减；在上，，单增.
且当时，；当时，；
所以只需，即，亦即.
记.
则，所以当时，，所以在上单调递减，所以当时，，在上单调递增.所以，即（当且仅当x=1时取等号）.
所以要使成立，只需，解得：.所以且.
综上所述：实数k的取值范围是.
故选：B
巩固练习
1.设函数在上存在最小值(其中为自然对数的底数，)，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】C
【解析】
当时，在恒成立，所以在恒成立，所以函数在上单调递增，没有最小值；
当时，令得，，且
0 0
极大值 极小值
当时，所以若有最小值，只需要
∵，∴的判别式，因此有两个零点.故选：C．
2.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．

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