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函数图像变换在解题中的应用
无论是对于初中数学还是高中数学，函数这一部分既是重点又是难点。函数的应用非常广，在解方程，解不等式，求最值等都有着它的影子。好多同学就是在学到函数这一部分时出现了一头雾水的感觉，始终是盲人摸象没能触及到函数的核心。如果把函数的解析式比作一个人的皮囊，那么图像便是一个人的灵魂。而函数的图像变换又是这个灵魂中非常重要的一个部位。下面就让我们来看看函数图像变换部分需要掌握哪些知识点和题型.
一、图像变换的知识点
1、常见的作图方法：描点法、利用基本函数的图象变换；
2、基本函数图象变换的常用方法：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换；
（1）平移变换
①；
②；
③，即；
④，即.
（2）对称变换
①；
②；
③；
④；
⑤.
（3）翻折变换
.
（4）伸缩变换
①；
②，即.
3、轴对称的一般表达
的图象关于直线对称
4、中心对称的一般表达
的图象关于点对称
注：对于常见的函数，一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数、绝对值函数、分式函数、三角函数、指对幂函数的图像要非常熟悉。
二、图像变换常见题型
类型一、单调性、最值与值域
例1．利用图象变换，求的值域
【解析】先画出的图象，然后先向左平移 1个单位，再向上平移2个单位 即可做出该图像
由图像可知，
例2.求函数的单调区间．
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成．
第一步：作的图象甲．
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙．
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙．
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁．
由图像可知，单调增区间为，单调减区间为
例3.若函数的图象关于直线对称,则的最大值是 .
【解析】的图象关于直线 对称，,
,设,则当时,.
类型二、与零点有关的
例4.(2017年新课标全国卷III11)已知函数有唯一零点，则 ( )
A. B. C. D.1
【解析】关于对称,,得,选C.
变式：若函数对一切实数都满足,且方程有三个实数根，则这三个实数根的和为______
【解析】相当于,所以关于对称，所以有一个实数根必然是1，另两个是的形式，所以和为3
已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ）
解析：画出图后可知，无论大小顺序如何，答案都是唯一的.不妨设.
由已知,
例6.已知，则函数的零点个数是_________
解：由=0可知，结合图像可知，有3个根，后者有两个根.所以零点个数是5
例7.设函数的定义域为，若对于任意，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到_______.
【思路点拨】：考虑到此题中括号里数字构成等差数列的形式,满足,因此考虑对称中心为形式.根据已知条件再求出即可.
解：
又原式=
例7.关于函数，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在惟一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在有且只有一个零点
解：时，,,.容易验证正确.对于可借助图像.
设两个图像交点为,当时显然有时时，.正确
由此图可知，正确错误.
类型三、与不等式有关的
例8.已知函数若对任意,恒成立，则的范围为
分析：取值范围类型的选择题，可利用赋值法进行排除.
显然当时满足题意,故可排除.而对于其余选项，均含有,且最大值都为3.故只需考虑考虑最小值即可.
画出的图像可知，时必存在一值使得它在图像与相切.再比此值小时原不等式便不再成立.故选D
例9.已知函数若则实数的取值范围是（）
解：由题意，即图像在上方且至多有一个公共点，
由图像可知，当是满足题意,故选
已知函数的图像上有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）
思路点拨：这道题目条件已经暗示我们要用图像去解决，由图可知，相当于关于轴对称的射线与有两个公共点即可.因此只需求出相切时的斜率然后让即可.
解：，设切点为，
切线方程为：由于过点将坐标代入可得：，所以切线斜率.
例11.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
解：由图可知，

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