资源简介

立体几何复习讲义5 空间角和距离的问题（教师版）
综述：解决立体几何角度和距离的问题，总结起来就是
立体几平面化平面几何三角化三角几何定理化
即把空间立体几何的问题转化为平面几何的问题，然后把平面几何的问题转化到三角形中，再用解三角形的正余弦定理来求角度或者长度。
【知识点一】异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
3.求异面直线成角方法
(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
(4)取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
【知识点二】直线与平面所成的角
1.有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
2.求线面角的方法：
方法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；
找线在面外的一点B，过点B向平面做垂线，确定垂足O；
连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；
投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；
把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：
线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面，无需再做辅助线；
题中已知有与面垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；
过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面（这两个垂直平面一个是面，另一个是过点B且与垂直的平面）。
方法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
【知识点三】二面角
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2．相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3.画法：
　　　　
4.记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
5.二面角的平面角：若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，
则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
6.二面角的取值范围是
7.二面角A-BC-D的求法：一作二连三证明
（1）先确定两个平面，面ABC及面BCD和其两面的交线BC，根据题意过点A或点D 作交线BC的垂线（一般情况选择在等腰三角形中作垂线AB=AC时，或者在直角三角形中作垂线 BAC=900时，应该过点A作BC垂线）；
（2）1)反连OD，证明OD BC；
2）若OD不垂直于BC，看面BCD内是否有与交线BC垂直的直线，
若有直线l BC，则直接过点O作l的平行线；
（3）若两个平面上没有对应的等腰三角形则看两平面是否有垂直于交线BC的直线
若有可将两垂线平移至相交直线，求其夹角。
【知识点四】点到平面距离和线到面的距离：平行平面的直线到平面的距离转化为线上的点到平面的距离，点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足。
方法：1、直接作点到面的垂线，放到三角形中，利用解三角形进行求解。
2、利用等体积法进行求解
【知识点五】典型例题
例1．如图，在三棱锥中，，，则异面直线 与所成角的余弦值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，分别取、、的中点、、，连接、、、和，则DE∥SB，DF∥AC，所以即为异面直线与所成角． 由题可知，△ABC和△SBC均为正三角形，所以，即△AFS为等边三角形，因为为的中点，所以，
而，，
在△DEF中，由余弦定理知，．
例2、已知是矩形，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．
证明：在中，，
∵平面，平面，又，平面
（2）为与平面所成的角
在，，在中，，在中，，
例3、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．
证明：（1）为等边三角形且为的中点，
又平面平面，平面
（2）是等边三角形且为的中点，
且，，平面，平面，
（3）由，∥，又，∥，
为二面角的平面角在中，，
例4．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离．
【解析】解：（1）证明：直三棱柱，四边形为平行四边形，
为的中点，为的中点，，
又平面，平面，平面．
（2）四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形，即．
三棱柱为直三棱柱，平面，平面，，
，，，，，平面，
平面．平面，，，，
，平面，平面，平面，平面平面．
（3）连接，设点到平面的距离为，
平面，，平面，
，，为三棱锥高，
在直角△中，，．
在直角△中，，，
在直角中，，，，
在等腰△中，，
，，，
，点到平面的距离为．
【知识点六】变式训练
1．四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，与交于点，取的中点，连接，．
由中位线定理，可得OE∥PB，且，即有即为直线与直线所成角．由平面，设，可得直角三角形中，，
，在等腰直角三角形中，，在正方形中，，
则△AOE为等边三角形，可得．
2．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作⊥于点O，连接BO，易证⊥平面，则∠就是就是直线与平面所成的角，求得，，所以sin∠＝＝．
3．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2．则PB与平面PCD所成的角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】延长AB、DC交于点E，连接PE，取PE中点Q，连BQ，作BF⊥DE于点F，连接FQ，作BG⊥FQ于点G，连PG，易证BG⊥平面PCD(也就是平面PDE)，则∠BPG就是PB与平面PCD所成的角，求得BQ＝，BF＝，∴FQ＝，故BG＝，∴sin∠BPG＝．
4．如图，在正方体中，二面角的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方体中，平面，，，
是二面角的平面角，，，，
二面角的大小为．
5．已知正三棱柱中，，则点到平面的距离等于
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】正三棱柱中，，是边长为1的等边三角形，平面，取中点，连结，则，，，平面，则点到平面的距离为：．
6.（选做）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥平面PCD；
（3）求二面角B—PC—D的大小．
【解析】（1）证明：取的中点Q，连接AQ、NQ，
、分别为、的中点，，且，
底面是正方形，且为的中点，，，
，且，四边形是平行四边形，，
又面，面，面．
（2）证明：底面是正方形，，
面，面，，
又、面，，面，
面，，
，是的中点，，
又、面，，面，
而，面．
（3）解：过作于，连接，
设，
面，底面是正方形，
，
又，，，
，，
是二面角的平面角，
由（2）知，面，面，，
由等面积法可知，，
在中，由余弦定理知，，，
故二面角的大小为．
7．（选做）四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．
【解析】解：（1）证明：四边形为菱形，，
，为等边三角形，，
在中，是中点，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：平面，斜线在平面内的射影为，
即是与平面所成角的平面角，
平面，平面，，
在中，，
在中，，
平面，平面，，
在中，，
与平面所成角的正切值为．
（3）解：在平面中，过点作，垂足为，连结，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
是二面角的平面角，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，
由余弦定理得，
二面角的正弦值为．
4、，正三棱柱的底面边长和侧棱长均为2，分别为与的中点，则与所成角的余弦值为 (　　)
A． B. C. D.
【答案】B
5、如图，在三棱锥中，为棱的中点.若，.则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点，连接，，则
∵为棱的中点，
,
则（或其补角）为异面直线与所成的角，
．
故选：C．
6、直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C（补形方法求解）
8、在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于（　　）
A．15° B．30°
C．75° D．15°或75°
【答案】D
【解析】如图，
设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EGAB，FGCD，
∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．
∵AB＝CD，∴EG＝GF．
当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°．
1、已知正方体的体积为，点在正方形上，且到的距离分别为，则直线 与平面 所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知；连接，在直角中，可计算；又，所以点是的中点；连接与交于点，易证平面，直线在平面内的射影是，所以就是直线与平面所成的角，在直角中， .
3、如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.
【答案】
【解析】
如图，作平行四边形，连接，由，则平行四边形是矩形．
由，，，∴平面，而平面，∴，同理可得，又，∴平面．，是PA与平面ABC所成角．
由得，又，∴．
∴PA与平面ABC所成角是．
6、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
（1）证明：平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明：平面PCD，平面，，
，为的中点，则且.
四边形BCDE为平行四边形，，.
又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，
平面，则.
平面平面，，
又，为等腰直角三角形，
O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.
（2）高一学生可以用等体积法求解。
解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
不妨设，则,
则.
设平面PBD的法向量为，
则即即
令，得.
设BC与平面所成角为，
则.
8、在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，侧面 是菱形，，平面平面，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1) 证明见解析；(2)
【解析】
（1）证明：在中，是直角，即，平面平面，
平面平面，平面，
平面，.
在菱形中，，连接，
则是正三角形，
∵点是中点，.
又，.
又，平面
.
（2）作于G，连结．
由（1）知平面，得到，
又，且，所以平面.
又因为平面，所以，
又平面平面,
作于点H，则平面，则即为所求线面角．
设，
由已知得，
，
则BM与平面所成角的正弦值为．
9、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、CB的中点.
(1)求证:PB⊥平面ADMN；
(2)求BD与平面ADMN所成角的大小.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，
∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面，
∵N是PB的中点，PA＝AB，
∴AN⊥PB，
∵AD⊥面PAB，
∴AD⊥PB，
又∵AD∩AN＝N，
∴PB⊥平面ADMN；
（2）连结DN，
∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BDN是与平面ADMN所成的角，
在中，
，
，
，
∴与平面ADMN所成的角是．
12．如图，是平行四边形，平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）证明：，平面，平面，平面.
同理可证平面.
，平面平面.
平面，平面；
（2）作于点，连接，
平面，平面，.
又，，平面.
则为与平面所成角，
在中，，，，，
，，
，，
，因此，直线与平面所成角的正弦值为.
14、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)证明：连接CO，
由3AD＝DB知，点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD 平面PAB，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，
得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，
又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以，∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
15、如图，在三棱锥中，，在底面上的射影在上，于.
（1）求证：平行平面，平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）证明：因为，所以，分别是，的中点
所以，从而平面
又，，所以平面
从而平面平面
（2）在中过作的垂线，垂足
由（1）知平面，即所求线面角
由是中点，得
设，则，因为，
则，，，
所以所求线面角的正弦值为
16、如图，在正方体中，为的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；并求出直线与平面所成的角.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）证明见解析，.
【解析】(Ⅰ) 令,连接,
则四边形是平行四边形，
;又是的中点
,则四边形是平行四边形，
，
所以 平面；
(Ⅱ)
又 ,
所以 ，
则就是直线与平面所成的角，
又是正方体，所以,
故直线与平面所成的角为.
1、在长方体中，若，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示， ，取的中点，连接.
∵, 为等腰三角形，
∴, ，
则是二面角的平面角，
直角三角形中，，
，,故选A.
2．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，
因为平面， 平面，所以，
因为， ，故平面，
因为平面，故，所以为的平面角，
在直角三角形中， ，，故，
故，故选B.
5．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则二面角的大小为___________.
【答案】.
【解析】由题意，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，
所以，所以，所以，
同理，
因为，所以平面，则，
又，且，所以平面，则，
所以为二面角的平面角，
在中，，所以，
所以二面角的大小为.
6、如图，已知在直四棱柱中，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，
．故，，，，即．
又，平面，
（2）由（I）知平面，
又平面，，
取的中点, 连结，又，则．
取的中点，连结，则,.
∴平面
为二面角的平面角．
连结，在中，，
，
取的中点，连结，，
在中，，，．
．
.二面角的正弦值为．
14．在三棱锥中，，且,．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，所以平面，
因为平面，故，
因为，故平面，
因为平面，故.
（2）∵，，
∴是侧面与底面所成二面角的平面角．
在中，，．
故，
在中，，，
因为，∴，
即侧面与底面所成二面角的平面角的大小为．
17．如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】（1）证明：取PD中点G，连结
为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则，
又面，面，
面；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，
在中，
∴，即二面角的正切值为．
3、如图，在三棱锥中，，
，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离．
【解析】(1)因为，为的中点，所以⊥，且．
连结．因为，所以为等腰直角三角形，
且⊥，．
由知，⊥．
由⊥，⊥知⊥平面．
(2)作⊥，垂足为．又由(1)可得⊥，所以⊥平面．
故的长为点到平面的距离．
由题设可知，，．
所以，．
所以点到平面的距离为．
6、如图，等腰梯形MNCD中，MD∥NC，MN＝MD＝2，∠CDM＝60°，E为线段MD上一点，且ME＝3，以EC为折痕将四边形MNCE折起，使MN到达AB的位置，且AE⊥DC
(1)求证:DE⊥平面ABCE;
(2)求点A到平面DBE的距离
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)等腰梯形MNCD中，MD∥NC，CD＝MD＝2
∴MD＝4，CD＝MN＝2，
△CED中，∠CDE＝60°，ED＝MD-EM＝1，
则由余弦定理
∴CE，∴CE2+ED2=CD2
∴CEDE，∴CEME，CEAE
又AE⊥DC，DCCE＝C，
∴AE⊥平面CED
而平面CED
∴，又，AECF＝E
∴DE⊥平面ABCE
(2)由(1)因CE⊥AE，则
因DE⊥平面ABCE，则
等腰梯形MCD中MD∥NC，MD＝4，
CD=MN＝2，CE⊥DE，DE＝1
则NC=MD-2DE=2，故BC＝2，
设点A到平面DBE的距离为h，因DE⊥平面ABCE
则，得h＝
所以点A到平面DBE的距离为
8、如图，已知在直四棱柱中，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，
．故，，，，即．
又，平面，
（2）易知，，，，
所以
又,而
故.
10、已知直三棱柱中，，.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）画出空间几何体如下图所示:
因为三棱柱为直三棱柱,所以即为直线与平面所成角
因为,
所以
即直线与平面所成角为
（2）因为直三棱柱中,,.
所以
则,
设点到平面的距离为
则
所以
即,解得
所以点到平面的距离为
11．如图，四棱锥中，底面为正方形，面，，.
（1）求异面直线与所成角；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1） 是异面直线与所成角
平面，平面
又，平面， 平面
平面
又，
异面直线与所成角大小为
（2）平面
平面，平面
又，平面， 平面
平面
设点到平面的距离为
，解得：
点到平面的距离为
12．在直三棱柱中，，且异面直线与所成的角等于，设.
（1）求的值；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即∠A1BC＝60°，又连接A1C，AB＝AC，则A1B＝A1C，∴△A1BC为等边三角形，
由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴，∴．
（2）易知B1C1∥平面A1BC，此时有B1C1上的任意一点到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离．
设其为d，连接B1C，由求d，又∵CA⊥A1A，CA⊥AB，
∴CA⊥平面A1B1C，并且AC＝1，．因为△A1B1B的面积，并且△A1BC的面积，
所以，即 ，所以B1C1到平面A1BC的距离等于．
13、如图，在梯形中，，，为的中点，是与的交点，将沿翻折到图中的位置，得到四棱锥．
（1）求证：；
（2）当，时，求到平面的距离．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）图中，在四边形中，，，
四边形为平行四边形.
又，四边形为菱形，，，
在图中，，，又，面．
平面，.
又在四边形中，，，
四边形为平行四边形，，；
（2）法一：由（1）可知面，且，平面，
的长度即为点到平面的距离，
由（1）已证四边形为平行四边形，所以，
因此，点到平面的距离为；
解法二：连接，，，，
，，，.
又，平面．
设点与面的距离为，，
即，，，．立体几何复习讲义5 空间角和距离的问题（学生版）
综述：解决立体几何角度和距离的问题，总结起来就是
立体几平面化平面几何三角化三角几何定理化
即把空间立体几何的问题转化为平面几何的问题，然后把平面几何的问题转化到三角形中，再用解三角形的正余弦定理来求角度或者长度。
【知识点一】异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
3.求异面直线成角方法
(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
(4)取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
【知识点二】直线与平面所成的角
1.有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
2.求线面角的方法：
方法（一）：先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；
找线在面外的一点B，过点B向平面做垂线，确定垂足O；
连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；
投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；
把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：
线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面，无需再做辅助线；
题中已知有与面垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；
过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面（这两个垂直平面一个是面，另一个是过点B且与垂直的平面）。
方法（二）用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
【知识点三】二面角
【知识点四】点到平面距离和线到面的距离：平行平面的直线到平面的距离转化为线上的点到平面的距离，点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足。
方法：1、直接作点到面的垂线，放到三角形中，利用解三角形进行求解。
2、利用等体积法进行求解
【知识点五】典型例题
例1．如图，在三棱锥中，，，则异面直线 与所成角的余弦值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，分别取、、的中点、、，连接、、、和，则DE∥SB，DF∥AC，所以即为异面直线与所成角． 由题可知，△ABC和△SBC均为正三角形，所以，即△AFS为等边三角形，因为为的中点，所以，
而，，
在△DEF中，由余弦定理知，．
例2、已知是矩形，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．
证明：在中，，
∵平面，平面，又，平面
（2）为与平面所成的角
在，，在中，，在中，，
例3、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．
证明：（1）为等边三角形且为的中点，
又平面平面，平面
（2）是等边三角形且为的中点，
且，，平面，平面，
（3）由，∥，又，∥，
为二面角的平面角在中，，
例4．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离．
【解析】解：（1）证明：直三棱柱，四边形为平行四边形，
为的中点，为的中点，，
又平面，平面，平面．
（2）四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形，即．
三棱柱为直三棱柱，平面，平面，，
，，，，，平面，
平面．平面，，，，
，平面，平面，平面，平面平面．
（3）连接，设点到平面的距离为，
平面，，平面，
，，为三棱锥高，
在直角△中，，．
在直角△中，，，
在直角中，，，，
在等腰△中，，
，，，
，点到平面的距离为．
【知识点六】变式训练
1．四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的大小为
A． B． C． D．
2．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
3．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2．则PB与平面PCD所成的角的正弦值为 ．
4．如图，在正方体中，二面角的大小为
A． B． C． D．
5．已知正三棱柱中，，则点到平面的距离等于
A．1 B． C． D．
6.（选做）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥平面PCD；
（3）求二面角B—PC—D的大小．
7．（选做）四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．
8．（2021全国卷20）如图，在三棱锥中，平面平面，，是的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
4．如图，在正方体中，二面角的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方体中，平面，，，
是二面角的平面角，，，，
二面角的大小为．
例3、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的大小．
证明：（1）为等边三角形且为的中点，
又平面平面，平面
（2）是等边三角形且为的中点，
且，，平面，平面，
（3）由，∥，又，∥，
为二面角的平面角在中，，
3、如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为_______.
【答案】
【解析】
如图，作平行四边形，连接，由，则平行四边形是矩形．
由，，，∴平面，而平面，∴，同理可得，又，∴平面．，是PA与平面ABC所成角．
由得，又，∴．
∴PA与平面ABC所成角是．
6、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.
（1）证明：平面ABCD.
（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明：平面PCD，平面，，
，为的中点，则且.
四边形BCDE为平行四边形，，.
又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，
平面，则.
平面平面，，
又，为等腰直角三角形，
O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.
（2）高一学生可以用等体积法求解。
解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示
不妨设，则,
则.
设平面PBD的法向量为，
则即即
令，得.
设BC与平面所成角为，
则.
8、在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，侧面 是菱形，，平面平面，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1) 证明见解析；(2)
【解析】
（1）证明：在中，是直角，即，平面平面，
平面平面，平面，
平面，.
在菱形中，，连接，
则是正三角形，
∵点是中点，.
又，.
又，平面
.
（2）作于G，连结．
由（1）知平面，得到，
又，且，所以平面.
又因为平面，所以，
又平面平面,
作于点H，则平面，则即为所求线面角．
设，
由已知得，
，
则BM与平面所成角的正弦值为．
9、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、CB的中点.
(1)求证:PB⊥平面ADMN；
(2)求BD与平面ADMN所成角的大小.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，
∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面，
∵N是PB的中点，PA＝AB，
∴AN⊥PB，
∵AD⊥面PAB，
∴AD⊥PB，
又∵AD∩AN＝N，
∴PB⊥平面ADMN；
（2）连结DN，
∵PB⊥平面ADMN，
∴∠BDN是与平面ADMN所成的角，
在中，
，
，
，
∴与平面ADMN所成的角是．
14、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.
(1)求证：CD⊥平面PAB；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)证明：连接CO，
由3AD＝DB知，点D为AO的中点．
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
所以PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
由PD 平面PAB，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，
得CD⊥平面PAB.
(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，
又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝.
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，
所以，∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
15、如图，在三棱锥中，，在底面上的射影在上，于.
（1）求证：平行平面，平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）证明：因为，所以，分别是，的中点
所以，从而平面
又，，所以平面
从而平面平面
（2）在中过作的垂线，垂足
由（1）知平面，即所求线面角
由是中点，得
设，则，因为，
则，，，
所以所求线面角的正弦值为
16、如图，在正方体中，为的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；并求出直线与平面所成的角.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）证明见解析，.
【解析】(Ⅰ) 令,连接,
则四边形是平行四边形，
;又是的中点
,则四边形是平行四边形，
，
所以 平面；
(Ⅱ)
又 ,
所以 ，
则就是直线与平面所成的角，
又是正方体，所以,
故直线与平面所成的角为.
1、在长方体中，若，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示， ，取的中点，连接.
∵, 为等腰三角形，
∴, ，
则是二面角的平面角，
直角三角形中，，
，,故选A.
2．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，
因为平面， 平面，所以，
因为， ，故平面，
因为平面，故，所以为的平面角，
在直角三角形中， ，，故，
故，故选B.
5．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则二面角的大小为___________.
【答案】.
【解析】由题意，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，
所以，所以，所以，
同理，
因为，所以平面，则，
又，且，所以平面，则，
所以为二面角的平面角，
在中，，所以，
所以二面角的大小为.
6、如图，已知在直四棱柱中，，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，
．故，，，，即．
又，平面，
（2）由（I）知平面，
又平面，，
取的中点, 连结，又，则．
取的中点，连结，则,.
∴平面
为二面角的平面角．
连结，在中，，
，
取的中点，连结，，
在中，，，．
．
.二面角的正弦值为．
14．在三棱锥中，，且,．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，所以平面，
因为平面，故，
因为，故平面，
因为平面，故.
（2）∵，，
∴是侧面与底面所成二面角的平面角．
在中，，．
故，
在中，，，
因为，∴，
即侧面与底面所成二面角的平面角的大小为．
17．如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】（1）证明：取PD中点G，连结
为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则，
又面，面，
面；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，
在中，
∴，即二面角的正切值为．
6、如图，等腰梯形MNCD中，MD∥NC，MN＝MD＝2，∠CDM＝60°，E为线段MD上一点，且ME＝3，以EC为折痕将四边形MNCE折起，使MN到达AB的位置，且AE⊥DC
(1)求证:DE⊥平面ABCE;
(2)求点A到平面DBE的距离
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)等腰梯形MNCD中，MD∥NC，CD＝MD＝2
∴MD＝4，CD＝MN＝2，
△CED中，∠CDE＝60°，ED＝MD-EM＝1，
则由余弦定理
∴CE，∴CE2+ED2=CD2
∴CEDE，∴CEME，CEAE
又AE⊥DC，DCCE＝C，
∴AE⊥平面CED
而平面CED
∴，又，AECF＝E
∴DE⊥平面ABCE
(2)由(1)因CE⊥AE，则
因DE⊥平面ABCE，则
等腰梯形MCD中MD∥NC，MD＝4，
CD=MN＝2，CE⊥DE，DE＝1
则NC=MD-2DE=2，故BC＝2，
设点A到平面DBE的距离为h，因DE⊥平面ABCE
则，得h＝
所以点A到平面DBE的距离为
11．如图，四棱锥中，底面为正方形，面，，.
（1）求异面直线与所成角；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1） 是异面直线与所成角
平面，平面
又，平面， 平面
平面
又，
异面直线与所成角大小为
（2）平面
平面，平面
又，平面， 平面
平面
设点到平面的距离为
，解得：
点到平面的距离为
12．在直三棱柱中，，且异面直线与所成的角等于，设.
（1）求的值；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即∠A1BC＝60°，又连接A1C，AB＝AC，则A1B＝A1C，∴△A1BC为等边三角形，
由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴，∴．
（2）易知B1C1∥平面A1BC，此时有B1C1上的任意一点到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离．
设其为d，连接B1C，由求d，又∵CA⊥A1A，CA⊥AB，
∴CA⊥平面A1B1C，并且AC＝1，．因为△A1B1B的面积，并且△A1BC的面积，
所以，即 ，所以B1C1到平面A1BC的距离等于．
13、如图，在梯形中，，，为的中点，是与的交点，将沿翻折到图中的位置，得到四棱锥．
（1）求证：；
（2）当，时，求到平面的距离．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）图中，在四边形中，，，
四边形为平行四边形.
又，四边形为菱形，，，
在图中，，，又，面．
平面，.
又在四边形中，，，
四边形为平行四边形，，；
（2）法一：由（1）可知面，且，平面，
的长度即为点到平面的距离，
由（1）已证四边形为平行四边形，所以，
因此，点到平面的距离为；
解法二：连接，，，，
，，，.
又，平面．
设点与面的距离为，，
即，，，．

展开更多......

收起↑