资源简介

第一节　集合
课程标准
1．了解集合的含义．理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合．
2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．
3．理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集．
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．体会图形对理解抽象概念的作用．
考情分析
2020(Ⅰ)第1题考查了无限集合的并集运算；
2021(Ⅰ)第1题考查了无限集与有限集的交集运算；
2021(Ⅱ)第2题考查了有限集的交、补运算．
核心素养
直观想象
数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性．
(2)元素与集合的关系是________或________，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法．
(4)常用数集及其记法：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) ________________
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 ________________
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ________
【微点拨】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于A____属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，________ x∈B} ________
并集 所有属于A________属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，________ x∈B} ________
补集 全集U中________A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x______A} ________
【微点拨】
用集合运算表示区域
[常用结论]
1．任何一个集合是它本身的子集．
2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．
3．子集的传递性：A B，B C A C.
4．A B A＝A A＝B UA UB A∩( UB)＝ .
5．A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A；( UA)∩( UB)＝ U(A；( UA)∪( UB)＝ U(A
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.集合{x2＋x，0}中的实数x可取任意值．(　　)
2．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
3．对任意集合A，B，一定有A.(　　)
4．若A＝A则B＝C.(　　)
题组二　教材改编
5．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)
A.{a} A　　　B．a A
C．{a}∈A D．a A
6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1，4] B．(0，3]
C．(－1，0]
题组三　易错自纠
7．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，则实数a的所有可能取值的集合为(　　)
A．{－1} B．{1}
C．{－1，1} D．{－1，0，1}
8．已知集合A＝{x|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|y＝x2－1}，则＝(　　)
A．R B．{x|y2＝x2－1}
C．{(x，y)|y＝x2－1} D．
题型突破·提高“四能”
题型一　集合及其表示　　
[例1]　(1)[2022·淄博实验中学月考]集合A＝{x∈N*}，用列举法可以表示为(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)[2022·广东实验中学月考]若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．　　　　　　　B．
C．0 D．0或
[听课记录]
类题通法
与集合中元素有关问题的求解策略
[巩固训练1]　(1)[2022·江苏模拟]设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
题型二　集合间的基本关系　　
[例2]　(1)[2022·福建厦门二中月考]集合M＝，N＝{x＝，n∈Z}，则下列关系正确的是(　　)
A．M N B．M＝
C．N M D．M＝Z
(2)[2022·重庆蜀都中学月考]已知集合M＝，N＝(1，4)，且M N，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，0]
C． D．
[听课记录]
类题通法
判断集合间关系的常用方法
[巩固训练2]　(1)[2022·海南海口模拟]已知集合A＝，B＝，则下列判断正确的是(　　)
A．B∈A B．A＝
C．A B D．B A
(2)[2022·北京师范大学附属中学模拟]已知集合A＝，则集合A的子集的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
题型三　集合的基本运算　　
角度1 交、并、补运算
[例3]　(1)[2022·湖北恩施模拟]设集合A＝，B＝，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知集合U＝R，集合A＝，B＝，则 U＝(　　)
A．或
B．或
C．且
D．或
[听课记录]
类题通法
求集合交集、并集或补集的步骤
[巩固训练3]　(1)[2021·新高考Ⅰ卷]设集合A＝，B＝，则＝(　　)
A．{2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{2，3，4}
(2)[2022·湖南师大附中月考]已知全集U＝，集合A＝，B＝，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
角度2 利用集合运算求参数
[例4]　(1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)已知集合A＝，集合B＝{x|2mA．≤m< B．m≥0
C．m≥ D．[听课记录]
类题通法
利用集合的运算求参数的方法
[巩固训练4]　(1)[2022·山东泰安模拟]集合A＝，B＝.若A＝，则a＝(　　)
A．±1 B．±2
C．±3 D．±4
(2)已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
　　 集合的新定义问题
一、集合的新定义问题的解决方法
1．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．
2．按新定义的要求，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
3．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
二、常见的命题角度
角度1　创新集合新定义
创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以创新，结合相应的数学知识，来解决创新集合的新定义问题．
[典例1]　若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．
【解析】　因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，所以若a＝0，则B＝ ，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝＝，若A与B构成“全食”或“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.
【答案】　0或1或4
角度2　创新集合新运算
创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．
[典例2]　(1)(多选)[2022·山东烟台模拟]若非空集合G和G上的二元运算“ ”满足：① a，b∈G，a b∈G；② I∈G，对 a∈G，a I＝I a＝a；③ I∈G，使 a∈G， b∈G，有a b＝I＝b a；④ a，b，c∈G，(a b) c＝a (b c)，则称(G， )构成一个群．下列选项对应的(G， )构成一个群的是(　　)
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合G＝{－1，1，－i，i}(i为虚数单位)，“ ”为复数的乘法运算
D．集合G＝{0，1，2，3，4，5，6}，“ ”为求两整数之和被7除的余数
【解析】　A.G＝N时，不满足③，若I＝0，则由1＋b＝0得b＝－1 G，若I∈N* N，则在G中设a>I，由a＋b＝I得b＝I－a<0 G，所以(N， )不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然1∈G，对任意a∈G，a 1＝a＝1 a，③对任意正有理数a，也是正有理数，且a ＝1＝ a，即I＝1，④有理数的乘数满足结合律，B中可构成群；
C．G＝{－1，1，－i，i}(i为虚数单位)，①可验证G中任意两数(可相等)的乘积仍然属于G；②I＝1，满足任意a∈G，有a 1＝1 a；③I＝1，满足任意a∈G，存在b∈G，有a b＝b a＝1，实质上有－1×(－1)＝1×1＝i×(－i)＝1；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构成群；
D．G＝{0，1，2，3，4，5，6}，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于G，②I＝0，满足对任意a∈G，a I＝I a，③I＝1，I＝0，0＋0＝0，1＋6＝2＋5＝3＋4＝7除以7的余数为0；④加法满足交换律，又a＋b除以7的余数等于a除以7的余数加b除以7的余数的和再除以7所得余数，因此 a，b，c∈G，(a b) c＝a (b c)，D中可构成群；
故选BCD.
【答案】　BCD
(2)[2022·湖北联考]对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B }，A *B＝(A－B)记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________．
【解析】　由题意知A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A *B＝[－3，0)
【答案】　[－3，0)
角度3　创新集合新性质
创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．
[典例3]　[2022·北京东城区模拟]设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x ＋y∈A，xy∈A，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若A1，A2具有性质P，且A1则A1具有性质P；
③若A1，A2具有性质P，则A1具有性质P；
④若A具有性质P，且A≠R，则 RA不具有性质P.
其中所有真命题的序号是________．
【解析】　对于①，取集合A＝具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于②，取x，y∈A1则x∈A1，x∈A2，y∈A1，y∈A2，又A1，A2具有性质P，∴x＋y∈A1, xy∈A1，x＋y∈A2, xy∈A2，∴x＋y∈A1所以A1具有性质P，故②正确；
对于③，取A 1＝，A2＝，2∈A1，3∈A2，但2＋3 A1故③错误；
对于④，假设 RA具有性质P，即对任意x，y∈ RA，都有x ＋y∈ RA，xy∈ RA ，即对任意x，y A，都有x ＋y A，xy A，举反例A＝，取1 A，3 A，但1＋3＝4∈A，故假设不成立，故④正确．
【答案】　①②④
第一章　集合与常用逻辑用语
第一节　集合
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)互异性　(2)属于　不属于　(3)列举法　描述法
2．A B(或B A)　A?B(或B?A)　A＝B
3．且　且　A　或　或　A　不属于　 　 UA
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.×
5．解析：因为2不是自然数，所以a A.故选D.
答案：D
6．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A＝{x|－1≤x≤4}．故选A.
答案：A
7．解析：∵B A，当B≠ ，即a≠0时，B＝，
∴－∈A，即a＝±1；
当B＝ ，即a＝0时，满足条件．
综上可知实数a所有可能取值的集合是{－1，0，1}．
答案：D
8．解析：因为集合A的代表元素是实数，而集合B的代表元素是图象上的点，故A＝ .
答案：D
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)因为∈Z且x∈N*，所以x的可取值有：1，2，4，5，6，9，
所以列举法表示集合为：，
故选B.
(2)集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，
当a＝0时，可得x＝，集合A只有一个元素为：.
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，
可得：a＝.故选D.
答案：(1)B　(2)D
巩固训练1　解析：(1)因集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，又x∈A，y∈B，
则当y＝5时，x＋y的值有：6，7，8，9，
当y＝6时，x＋y的值有：7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，
所以C中元素的个数为5.
故选C.
(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
故选C.
答案：(1)C　(2)C
例2　解析：(1)M＝，N＝，
n＋2表示整数，2n＋1表示奇数，故N M，
故A错误，B错误，C正确，而M中的元素有分数，故D错误．
故选C.
(2)因M N，而 N,
所以M＝ 时，即2a≤1－a，则a≤，
M≠ 时，M N，则 ，无解，
综上得a≤，即实数a的取值范围是.
故选C.
答案：(1)C　(2)C
巩固训练2　解析：(1)∵A＝＝，B＝，
∴B A，A＝B＝，
故选D.
(2)∵A＝＝，有2个元素，
则集合A的子集的个数是22＝4.
故选C.
答案：(1)D　(2)C
例3　解析：(1)因集合A＝，则A＝，又B＝，
所以A＝{1，2，3}．
故选C.
(2)因为A＝＝，B＝，则A＝或，
因此， U＝或.
故选D.
答案：(1)C　(2)D
巩固训练3　
解析：(1)由题设有A＝，故选B .
(2)U＝＝，
因为B＝{3，4，5}，可得 UB＝，
因为A＝{1，2，3，5}，所以A＝{1，2}，
故选C.
答案：(1)B　(2)C
例4　解析：(1)由已知可得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，
又∵A＝{x|－2≤x≤1}，
∴－＝1，
∴a＝－2.故选B.
(2)由A＝ ，得：
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；
②若2m<1－m，即m<时，由A＝ ，
则或，解得0≤m<，
综上可得：m≥0，
所以实数m的取值范围是m≥0.
故选B.
答案：(1)B　(2)B
巩固训练4　
解析：(1)由A＝知，
，解得a＝±2.
故选B.
(2)因为B＝{x|1故选C.
答案：(1)B　(2)C

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