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第二节　常用逻辑用语
课程标准 考情分析 核心素养
1.必要条件、充分条件、充要条件 (1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． (2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． (3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 2．全称量词与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． (2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 2020和2021年新高考未单独考查，只是在2020年(Ⅱ)卷中第20题与解析几何结合考查． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的________条件，q是p的________条件
p是q的________________条件 p q且qDp
p是q的________________条件 pDq且q p
p是q的________条件 p q
p是q的________________条件 pDq且qDp
　　
【微点拨】
1．A是B的充分不必要条件是指：A B且BDA.
2．A的充分不必要条件是B是指：B A且ADB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
2．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ________
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ________
3.全称量词命题和存在量词命题及其否定
　　名称 形式　　 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立
简记 ________，p(x) ________，p(x)
否定 ________， p(x) ________， p(x)
【微点拨】
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”．
　　　　　　
[常用结论]
1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，
(1)p是q的充分不必要条件 AB；
(2)p是q的必要不充分条件 AB；
(3)p是q的充要条件 A＝B.
2．若p是q的充分不必要条件，则 q是 p的充分不必要条件．
　 基本技能、思想、活动经验
　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.“长方形的对角线相等”是存在量词命题．(　　)
2．命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)
3．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
4．“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)
　教材改编
5．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件　　
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
6．(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．任意实数的平方大于或等于0
B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称
C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3
D．存在一个无理数，它的立方是有理数
　易错自纠
7．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1　　　　　　　B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
8．命题“ x<1，<1”的否定是
________________________________________________________________________．
题型突破·提高“四能”
题型一　充分条件、必要条件的判断　　
[例1]　(1)[2022·广东韶关模拟]命题p：x2－x－2<0是命题q：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2022·河北石家庄模拟]a>2是a＋>3的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[听课记录]
类题通法
充分、必要条件的两种常用判断方法
[巩固训练1]　(1)[2022·湖南长郡中学模拟]设a，b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2022·山东济南模拟]△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
题型二　充分条件、必要条件的应用　　
[例2]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[听课记录]
变式探究　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
类题通法
利用充分、必要条件求参数的两点提醒
[巩固训练2]　[2022·山东日照模拟]若不等式2<1成立的充分不必要条件是1题型三　全称量词命题与存在量词命题　　
角度1 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
[例3]　[2022·江苏盐城模拟]下列4个命题中，真命题的是(　　)
A． x∈，xB． x∈，xC． x∈，x>logx
D． x∈，logx>logx
[听课记录]
类题通法
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
[巩固训练3]　下列四个命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，x2≥0
B． x∈R，2x－1＞0
C． x∈R，lg x＜1
D． x∈R，sin x＋cos x＝2
角度2 全称量词命题和存在量词命题的否定
[例4]　(1)[2022·湖北武汉模拟]命题“ x≥0，2x＋x－a≤0”的否定是(　　)
A． x≤0，2x＋x－a≤0
B． x≥0，2x＋x－a>0
C． x≤0，2x＋x－a>0
D． x≥0，2x＋x－a>0
(2)[2022·山东潍坊模拟]命题“ a>0，a＋≥2”的否定是(　　)
A． a≤0，a＋<2
B． a>0，a＋<2
C． a≤0，a＋≥2
D． a>0，a＋<2
[听课记录]
类题通法
对全称量词命题与存在量词命题进行否定的步骤
[巩固训练4]　(1)[2022·山东德州模拟]已知命题p： x>0，ln >0，则 p为(　　)
A． x>0，ln ≤0
B． x>0，ln ≤0
C． x<0，ln ≤0
D． x≤0，ln ≤0
(2)[2022·北京二中月考]已知命题p： x>0，ln x<0，则 p为________．
角度3 由全称(存在)量词命题的真假求参数的范围
[例5]　[2022·福建上杭一中月考]已知命题p： x∈R，mx2＋2≤0；命题q： x∈R，x2－2mx＋1>0.若p、q都为假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1，1]
[听课记录]
类题通法
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的一般步骤
[巩固训练5]　[2022·湖北襄阳模拟]若“ x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
第二节　常用逻辑用语
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2． 　
3． x∈M　 x∈M　 x∈M　 x∈M
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.√
5．解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.
故选B.
答案：B
6．解析：A、B为真命题；C为假命题，因为2x＋4y＝2(x＋2y)必为偶数；D为真命题，如x＝，x3＝2∈Q.故选ABD.
答案：ABD
7．解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．
故选A.
答案：A
8．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，既改量词，又否结论，“<1”的否定是“0≤x≤1”．
答案： x<1，0题型突破　提高“四能”
例1　解析：x2－x－2<0 －1所以pDq，反之q p.
故p是q的必要不充分条件．
故选B.
答案： B　
解析：由不等式a＋>3，即a＋－3＝＝>0，
解得02，即不等式的解集为{a|02}，
所以a>2是a＋>3的充分不必要条件．
故选C.
答案： C
巩固训练1　解析：若a＝0，b＝－2，则a2b2，而a答案： D　
解析：在△ABC中，若sin A＝，则A＝或，
因为，因此，“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．
故选C.
答案： C
例2　解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.又∵S≠ ，如图所示．
则，∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].
答案：[0，3]
变式探究　　解析：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴，∴，
∴不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
答案：不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件
巩固训练2　解析：由2<1得a－1因为1∴满足且等号不能同时取得，即，解得1≤a≤2.
答案：
例3　解析：因为 x∈，x x∈，x<0＝＝1，即x，故B为真命题；
取x＝，则＝<0＝1，所以，故C为假命题；
x∈，log4x>log5x>0，所以－log4x<－log5x<0，即x，
故D为假命题．
故选B.
答案：B
巩固训练3　解析：A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin ，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．故选D.
答案：D
例4　
解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得，命题“ x≥0，2x＋x－a≤0”的否定是“ x≥0，2x＋x－a>0”
故选B.
答案：B　
解析：命题“ a>0，a＋≥2”为全称量词命题，
则其的否定为 a>0，a＋<2，
故选B.
答案：B　
巩固训练4　
解析：对命题否定时，全称量词改成存在量词，即 x>0，ln ≤0；
故选B.
答案：B　
解析：根据题意，命题p： x>0，ln x<0是存在量词命题，
则 p： x>0，ln x≥0.
答案： x>0，ln x≥0
例5　解析：p，q都是假命题．由p： x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得 x∈R，mx2＋2>0，∴m≥0.
由q： x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，得 x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题
∴Δ＝(－2m)2－4≥0，得m≤－1或m≥1.
∴m≥1.
故选A.
答案：A
巩固训练5　解析：若“ x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，则其否定若“ x∈R，x2－2x－a≠0”是真命题，
所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4＋4a<0，解得a<－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)

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