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第一节　等式性质与不等式性质
课程标准 考情分析 核心素养
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查不等式的性质，但有渗透到其它内容中，如：2020年中的第8、9、12题，2021(Ⅰ)中的第5、22题，2021(Ⅱ)中的7、21题． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
　　
基础知识
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法a，b∈R
(2)作商法a∈R，b>0
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b ________
传递性 a>b，b>c ________
可加性 a>b ________
可乘性 ________ 注意c的符号
________
同向可加性 ________
同向同正可乘性 ________
可乘方性 a>b>0 ________(n∈N，n≥2) a，b同为正数
可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2) a，b同为正数
【微点拨】
1．在利用不等式的性质进行证明时，一定要注意性质的前提条件是否具备．
2．在应用不等式传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的，如a≤b，b[常用结论]
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0 <；
(2)a＜0＜b <；
(3)a＞b＞0，0＜c＜d >；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 <<.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜；＞(b－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a2．若>1，则a>b.(　　)
3．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
4．a>b>0，c>d>0 >.(　　)
题组二　教材改编
5．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M＞N　　　 B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
6．已知ac2>bc2，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2－b2>0　 B．a＋c>b＋c
C．ac>bc　 D．lg a>lg b
题组三　易错自纠
7．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
8．已知12题型突破·提高“四能”
题型一　比较两个数(式)的大小　　　
[例1]　(1)已知实数a，b，c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．
[听课记录]
类题通法
比较大小的三种常用方法
[巩固训练1]　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M、N的大小关系为________．
(2)若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”)．
题型二　不等式的性质　　　
[例2]　(1)[2022·北京房山区模拟]已知a，b∈R，且a>b，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．< B．a3>b3
(2)(多选)[2022·江苏高邮模拟]下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2≥bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c>0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
[听课记录]
类题通法
解决不等式有关问题常用的三种方法
[巩固训练2]　(1)[2022·湖南对口考试]若a>b，c>d则(　　)
A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d
C．ac>bd D．ad>bc
(2)[2022·广东金山中学月考]已知bA．ab>a2 B．<
C．a＋题型三　利用不等式的性质求代数式的范围　　
[例3]　已知－1[听课记录]
变式探究1　将本例的条件改为“－1变式探究2　将本例的条件改为“－1类题通法
利用不等式性质求代数式的取值范围应注意两点
[巩固训练3]　(多选)[2022·湖南长沙一中月考]设x，y为实数满足1≤x≤4，0A．1C．0状元笔记
比较大小的其它方法
一、中间量法
[典例1]　(1)已知：a＝log0.62, b＝log20.6, c＝0.62，则(　　)
A．a >b >c B．b >c >a
C．c >b >a D．c >a >b
(2)已知实数a ＝2 ln 2，b ＝2 ＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c C．b 【解析】　(1)c ＝0.62 >0，b ＝log20.6 <0，且b ＝log20.6 >log20.5 ＝－1，即b∈(－1，0)．a ＝log0.62＝ ＝∈(－∞，－1)，所以c >b >a，故选C.
(2)∵a ＝2 ln 2∈(1，2)，b ＝2 ＋2ln 2 >2，c ＝(ln 2)2∈(0，1)，
∴b >a >c , 选B.
【答案】　(1)C　(2)B
类题通法
中间量法比较大小的思路
利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．
二、特殊值法
[典例2]　(1)若 < <0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2 C．a ＋b <0 D．|a|＋|b|>|a ＋b|
(2)[2022·山东滨州模拟]下列命题为真命题的是(　　)
A．若a >b，则ac2>bc 2
B．若aC．若c>a>b>0，则<
D．若a>b>c>0，则>
【解析】　(1)由于<<0，不妨令a＝－1，b＝－2，可得a2ab＝2，b2＝4，故B正确；
a＋b＝－3<0，故C正确；
|a |＋|b |＝3，|a＋b|＝3，|a |＋|b |＝|a＋b|，所以D不正确．
(2)对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；
对于B选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a 对于C选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，＝>＝，不满足，故C选项为假命题；
对于D选项，由于a >b >c >0，所以＝＝＝>0，
即>，故D选项为真命题．
故选D.
【答案】　(1)D　(2)D
类题通法
特殊值法比较大小的思路
利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选项两数大小是确定的，如果出现两数大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值法进行检验；赋值应该满足前提条件；当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．
三、单调性法
[典例3]　(1)[2022·河北沧州月考]若实数a，b满足a2 A．< B. <
C．a(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a C．c 【解析】　(1)由a2对于A，∵y＝在上单调递减，∴>，A错误；
对于B，∵y＝在上单调递增，
∴>，B错误；
对于C，∵y＝x在R上单调递减，∴a>b，C错误；
对于D，∵0 故选D.
(2)方法一　对于函数y＝f(x)＝，y ′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5, 所以f(3)>f(4)>f(5)，即c 方法二　易知a，b，c都是正数，
＝＝<1，所以a>b；
＝＝>1，
所以b>c，即c【答案】　(1)D　(2)B
类题通法
(1)利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；
(2)通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较；
(3)导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视．
第一节　等式性质与不等式性质
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．>　＝　<　>　＝　<
2．bc　a＋c>b＋c　ac>bc　acb＋d　ac>bd　an>bn
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.×　4.√
5．解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.
答案：A
6．解析：由ac2>bc2可得，a>b，A中，当a＝0，b＝－1时，a2－b2＝0－1＝－1<0，所以A错误；B中，由a>b可得a＋c>b＋c，所以B正确；C中，当c<0时，aca>b或a>0，b<0时，对数没有意义，所以D错误．
故选B.
答案：B
7．解析：∵－<α<π，－<β<π，∴－π<－β<，∴－<α－β<，又α<β，∴α－β<0，∴－<α－β<0，故选B.
答案：B
8．解析：∵15又12∴<<4.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
所以c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，所以(b＋c)－(c－b)＝(6－4a＋3a2)－(4－4a＋a2)
即2b＝2＋2a2，b＝a2＋1，
所以b－a＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0，
所以b>a，所以c≥b>a.
(2)∵＝＝，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
∴>1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba.
答案：(1)A　(2)aabb>abba
巩固训练1　解析：(1)∵M－N＝(2p＋1)(p－3)－(p－6)(p＋3)－10
＝2p2－5p－3－p2＋3p＋18－10
＝p2－2p＋5
＝(p－1)2＋4>0，
∴M>N.
(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：(1)M>N　(2)<
例2　解析：(1)因为a，b∈R，且a>b，
对于A：若a＝1，b＝－1，显然>，故A错误；
对于B：因为函数y＝x3在定义域R上单调递增，所以a3>b3，故B正确；
对于C：若b＝0，则ab＝b2＝0，故C错误；
对于D：若a＝1，b＝－1，则＝，故D错误；
故选B.
(2)对于A，若a>b>0，则ac2－bc2＝c2≥0，即ac2≥bc2，故A正确；
对于B，若a0，ab－b2＝b>0，
所以a2>ab>b2，故B正确；
对于C，若a>b>0且c>0，则＝＝<0，
所以<，故C错误；
对于D，若a>b且>，则b－a<0，＝>0，
所以ab<0，故D正确．
故选ABD.
答案：(1)B　(2)ABD
巩固训练2　解析：(1)A.根据不等式的性质可知，A正确；
B．若1>－1，2>－2，1－2<－1－，可知B不正确；
C．若1>－1，2>－2，1×2＝，故C不正确；
D．若1>－1，2>－2，1×＝×2，故D不正确．
故选A.
(2)根据等式的性质可知A正确；B错误；D错误；
当b＝－3，a＝－2时，a>b＋，故C不正确；
故选A.
答案：(1)A　(2)A
例3　解析：∵－1∴－3<－y<－2，
∴－4由－1∴1<3x＋2y<18.
答案：(－4，2)　(1，18)
变式探究1　解析：∵－1∴－3<－y<1，
∴－4又∵x由①②得－4答案：(－4，0)
变式探究2　解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则，∴，
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又－1∴－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，
∴－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
故3x＋2y的取值范围是.
答案：
巩固训练3　解析：∵1≤x≤4，0∵1≤x≤4，－2≤－y<0，∴－1≤x－y<4，B错误；
∵1≤x≤4，0∵1≤x≤4，0<，∴，D错误．
故选BD.
答案：BD