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第二节　基本不等式
课程标准 考情分析 核心素养
掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 2020年新高考第11题考查了基本不等式与函数的综合，第20 题在立体几何中求线面角的最大值时运用了基本不等式； 2021年(Ⅰ)卷中第5题考查椭圆知识时运用了基本不等式． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．
【微点拨】
基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤ (a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).
(2)a＋b≥2 (a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号).
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值________．(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当________时，xy有最大值________．(简记：和定积最大).
【微点拨】
连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
[常用结论]
1.≥.
2.＋≥2(ab>0).
3.≤≤≤ (a>0，b>0).
基本技能、思想、活动经验
题组一 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)
2．(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　)
3．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　)
4．x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．(　　)
题组二　教材改编
5．已知0A．　　B．
C． D．
6．若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
题组三　易错自纠
7．若函数f(x)＝x＋ (x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3　　　 D．4
8．y＝2＋x＋ (x<0)的最大值为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　利用基本不等式求最值　　
角度1拼凑法求最值
[例1]　(1)(多选)[2022·辽宁辽阳模拟]已知x>1，则x＋的值可以为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
[听课记录]
类题通法
拼凑法求最值的策略
[巩固训练1]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．x＋(x>0)的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．2－3x－的最大值是2－4
角度2常值代换法求最值
[例2]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
[听课记录]
变式探究　将本例条件改为“a>0，b>0，a＋b＝4ab”，则a＋b的最小值为________．
类题通法
常数代换法求最值的一般步骤
[巩固训练2]　[2022·河北石家庄精英中学月考]已知x，y>0，且2x＋3y－xy＝0，则3x＋2y的最小值是(　　)
A．2 B．5 C．20 D．25
角度3消元法求最值
[例3]　若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]
类题通法
消元法求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
[巩固训练3]　已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________．
题型二　利用基本不等式解决实际问题　　
[例4]　某厂家拟在2022年国庆假期举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
[听课记录]
类题通法
利用基本不等式解实际应用问题的技巧
[巩固训练4]　[2022·河北唐山一中模拟]某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为s(单位：元)，AD长为x(单位：m)．s的最小值是________，此时x的值是________．
题型三　基本不等式的综合应用　　
[例5]　(1)[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B. 12 C. 9 D. 6
(2)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________．
[听课记录]
类题通法
利用其它知识点的知识进行条件转化，表示出要求最值的式子，根据条件，利用基本不等式求最值．
[巩固训练5]　[2022·重庆巴蜀中学模拟]已知函数f(x)＝ax－4＋2(a>0且a≠1)过定点A，且点A在直线l：mx＋ny－mn＝0(m，n>0)上，则点A的坐标为____________；m＋n的最小值为____________．
利用基本不等式求解恒成立问题
一般解法：
(1)f(x)≤a(或≥a)恒成立 f(x)max≤a(或f(x)min≥a)；
(2)含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为f(x)≥a(或≤a)形式，其次是数形结合．
[典例1]　若x≠0，不等式≤a恒成立，则实数a的最小值等于________．
【解析】　若x≠0，不等式≤a恒成立，
可得a≥恒成立，
由x2 ＋ ＋3≥2 ＋3 ＝5，当且仅当x ＝±1时，取得等号．
则的最大值为，所以a≥，
即有a的最小值为.
【答案】　
[典例2]　已知a>0，b>0，若不等式 ＋恒成立，则m的最大值为________．
【解析】　由题意，不等式 ＋恒成立，且a >0，b >0，即为m≤(3a ＋b)恒成立，即m≤成立，由(3a ＋b) ＝10 ＋ ＋≥10 ＋2 ＝16，当且仅当 ＝，即a ＝b，取得等号，即有m≤16，则m的最大值为16.
【答案】　16
[典例3]　若正实数x，y满足x ＋2y ＝2xy，且不等式(x ＋2y －a)xy ＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】　因为正实数x，y满足x＋2y＝2xy，
所以2xy≥2，所以xy≥2；
又因不等式(x ＋2y －a)xy ＋1≥0恒成立，
所以(2xy －a)xy ＋1≥0恒成立，
即a≤2xy ＋恒成立，
则a≤，
因为2xy ＋，
当且仅当xy＝2时取等号，此时2xy ＋取得最小值，故a≤.
【答案】　
第二节　基本不等式
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(2)a＝b　(3)
2．(1)x＝y　2　(2)x＝y　S2
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.√　4.√
5．解析：因为0故选B.
答案：B
6．解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，
则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x) m，所以y＝x(10－x)≤＝25 (m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
答案：25
7．解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.
答案：C
8．解析：∵x<0，∴－x>0，∴y＝2＋x＋＝2－，
又∵－x－≥2＝2，
∴y＝2＋x＋＝2－≤2－2，
当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立．
答案：2－2
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝11，
当且仅当x－1＝，即x＝6时，等号成立，故x＋≥11.
故选CD.
(2)∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝＝(x－1)＋＋2
≥2＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取“＝”．
答案：(1)CD　(2)2＋2
巩固训练1　解析：由基本不等式可知，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故A正确；
＝，当x＝0时取得等号，故B正确；
＝，令t＝，则t≥2，
因为y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值，故C错误；
2－在x<0时，没有最大值，故D错误．故选AB.
答案：AB
例2　解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1
∴＝·1
＝(a＋b)
＝2＋≥2＋2＝4
当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．
答案：4
变式探究　解析：∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，
∴同除ab得＝4，
∴a＋b＝(a＋b)·＝
≥×2
＝＝1.
当且仅当＝即a＝b＝时取等号．
答案：1
巩固训练2　解析：因为2x＋3y－xy＝0，
所以＝1，
所以3x＋2y＝(3x＋2y)＝9＋＋4≥13＋2＝25.
当且仅当x＝y＝5时等号成立．
故选D.
答案：D
例3　解析：∵x，y均为正数，x2＋6xy－1＝0，
∴y＝，
∴x＋2y＝x＋＝＝≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．故选A.
答案：A
巩固训练3　解析：∵正实数a，b满足ab－b＋1＝0，
∴a＝>0，即b>1
∴＋4b＝＋4b
＝＋4b＝1＋＋4(b－1)＋4
＝5＋＋4(b－1)≥5＋2＝9，
当且仅当b＝，a＝时取等号，故＋4b的最小值是9.
答案：9
例4　解析：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k k＝2，∴x＝3－，
每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
∴2022年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
巩固训练4　解析：由题意，AM＝，又AM>0，有0s＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×
＝4 200x2＋42 000－210x2＋
＝4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时，等号成立，
所以当x＝，s最小且最小值为118 000.
答案：118 000　
例5　解析：(1)由题意，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．
故选C.
(2)设等差数列{an}的公差为d.
则a9－a3＝19－7＝6d，
∴d＝2，
∴an＝a3＋(n－3)×2＝7＋2(n－3)＝2n＋1，
Sn＝＝＝n(n＋2)＝n2＋2n，
∴＝＝
＝≥2×
＝3.
当且仅当n＋1＝，即n＝2时取等号．
答案：(1)C　(2)3
巩固训练5　解析：f(x)＝ax－4＋2的图象是由y＝ax图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的，y＝ax图象过定点(0，1)，所以f(x)＝ax－4＋2过定点(4，3)，即点A的坐标为(4，3)，因为点A(4，3)在直线l：mx＋ny－mn＝0(m，n>0)上，所以4m＋3n＝mn，
所以＝1，所以
m＋n＝(m＋n)＝7＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当即时等号成立，
所以点A的坐标为(4，3)，m＋n的最小值为7＋4.
答案：(4，3)　7＋4

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