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第三节　二次函数与一元二次方程、不等式
课程标准
1.从函数观点看一元二次方程：会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
2．从函数观点看一元二次不等式：①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
考情分析
近两年的新高考试卷中都没有单独考查一元二次不等式的解法，但有渗透到其它内容中，如：2020年(Ⅰ)中的第21题，2021(Ⅰ)中的第22题，2021(Ⅱ)中的17、18、22题．
核心素养
直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 __________ __________ R
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ __________
【微点拨】
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．
2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
[常用结论]
1．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)；
绝对值不等式|x|0)的解集为(－a，a)．
2．简单分式不等式
(1)≥0
(2)>0 f(x)g(x)>0.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
3．不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
题组二　教材改编
5．已知集合A＝{x|x2－16≤0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A＝(　　)
A．[－4，1)　　　　
B．[－4，4]
C．(－∞，1)　
D．R
6．已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则a＋b的值是________．
题组三　易错自纠
7．不等式8．要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，则m的取值范围为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　一元二次不等式的解法　　
角度1 不含参的一元二次不等式的解法
[例1]　(1)函数y＝的定义域是________．
(2)不等式≥0的解集为(　　)
A．[－2，1]　　
B．(－2，1]　
C．(－∞，－2)　
D．(－∞，－2]
[听课记录]
类题通法
解一元二次不等式的一般步骤
[巩固训练1]　[2022·重庆清华中学月考]已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3，1)
C．(－1，1)
角度2 含参的一元二次不等式的解法
[例2]　(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则不等式ax2－bx＋c>0的解集为________．
(2)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0，其中a∈R.
[听课记录]
[变式探究]　将本例(2)中的不等式“x2－(a＋1)x＋a<0”改为“ax2－(a＋1)x＋1<0”，求不等式的解集．
类题通法
解含参数的一元二次不等式
[巩固训练2]　
(1)[2022·渤海大学附属高级中学月考]二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1A．－5 B．5
C．－6 D．6
(2)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
题型二　一元二次不等式恒(能)成立问题
角度1 在R上的恒成立问题
[例3]　若不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，2)
B．(－∞，－2)
C．(－2，2]
D．(－∞，2]
[听课记录]
类题通法
一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
[巩固训练3]　已知函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围为________．
角度2 在给定区间上的恒成立问题
[例4]　若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
[听课记录]
类题通法
在给定区间上恒成立问题的求解策略
[巩固训练4]　[2022·北京海淀模拟]对 x∈(0，＋∞)，若不等式>4－x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
角度3 不等式能成立或有解问题
[例5]　[2022·山东枣庄模拟]若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，－2)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
[听课记录]
类题通法
不等式能成立问题的求解策略
不等式能成立问题，一般也是转化为函数最值，即：a>f(x)能成立 a>f(x)min；a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
[巩固训练5]　设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则(　　)
A．a≤2 B．a≥2
C．a≥ D．a≤
题型三　一元二次不等式的实际应用　　
[例6]　[2022·江苏南通月考]某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到区间[0.55，0.75](单位：元/(kW·h))内，而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区的电力成本价始终为0.3元/(kW·h)．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的利润y(单位：元)关于实际电价x(单位：元/kW·h)的函数解析式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%
[听课记录]
类题通法
解不等式应用题的一般步骤
[巩固训练6]　要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600 m，如果某段铁路两端相距156 m，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．
一元二次方程根的分布情况
　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
分布 情况 两根都在(m，n)内 两根有且仅有一根在(m，n)内 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内
大致 图象 (a >0)
得出的 结论 f(m)·f(n) <0
大致 图象 (a <0)
得出的 结论 f(m)·f(n) <0
[典例1]　关于x的方程x2＋(m －3)x ＋m ＝0满足下列条件，求m的取值范围：
(1)有两个正根；
(2)有两个负根；
(3)有一正一负根．
【解析】　
(1)解得{m |0 (2)解得{m |m ≥9}；
(3)解得{m |m <0}．
[典例2]　关于x的方程x2＋(m －3)x ＋m ＝0满足下列条件，求m的取值范围：
(1)一个根大于1，一个根小于1；
(2)一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内；
(3)一个根小于2，一个根大于4；
(4)两个根都在(0，2)内．
【解析】　令f(x) ＝x2 ＋(m －3)x ＋m，
(1)若方程x2 ＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于1，一个根小于1，则f(1) ＝2m －2 <0，解得m <1，故m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若方程x2 ＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内，则解得－ (3)若方程x2 ＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根小于2，一个根大于4，则解得－5 (4)若方程x2 ＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0，2)内，则解得 第三节　二次函数与一元二次方程、不等式
教材回扣　夯实“四基”
基础知识

基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.×　4.√
5．解析：A＝[－4，4]，B＝(－∞，1)＝R.故选D.
答案：D
6．解析：若关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.
答案：－1
7．解析：－x<0，即<0，
即x(1－x2)<0，即x(x－1)(x＋1)>0，
所以或
解得x>1或－1所以不等式的解集为(－1，0)
答案：(－1，0)
8．解析：函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，－1<0恒成立；
当m≠0时，要使其恒成立，
则有解得m<0.
综上，m的取值范围为{m|m≤0}．
答案：(－∞，0]
题型突破　提高“四能”
例1　解析：由题意知7＋6x－x2≥0.
即x2－6x－7≤0.解得－1≤x≤7，
故函数的定义域为[－1，7].
答案：(1)[－1，7]　
解析：不等式≥0 (x－1)(2＋x)≤0且x≠－2 －2≤x≤1且x≠－2 －2即不等式的解集为：(－2，1].
故选B.
答案： B
巩固训练1　解析：f(1)＝1－4＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，所以0≤x<1或x>3；
当x<0时，x＋6>3，所以－3所以不等式f(x)>f(1)的解集是(－3，1)
故选A.
答案：A
例2　解析：由条件知－2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，∴－2－＝－，(－2)×＝，∴b＝a，c＝a.
从而不等式ax2－bx＋c>0可化为a>0.
∵a<0，∴2x2－5x＋2<0.
即(x－2)(2x－1)<0，解得∴不等式的解集为.
答案：(1)　
答案：不等式可化为(x－1)(x－a)<0且不等式对应方程的实数根为1和a，
①当a>1时，不等式的解集为{x|1②当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为 ；
③当a<1时，不等式的解集为{x|a答案：(1)　(2)见解析
变式探究　解析：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1；
若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，
解得x<或x>1；
若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得③当01，解(x－)(x－1)<0得1综上所述，当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|巩固训练2　解析：∵不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1∴a<0，
∴原不等式等价于－ax2－bx－1<0，
由韦达定理知－1＋＝－，－1×＝，
∴a＝－3，b＝－2，
∴ab＝6.
答案： D　
解析：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
不等式的解集为；
②当a＝0时，x2>0，
不等式的解集为{x|x≠0}；
③当a<0时，－>，
不等式的解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
答案：(1)D　(2)见解析
例3　解析：由题意，不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需
解得－2综上所述，所以a的取值范围为(－2，2]，
故选C.
答案：C
巩固训练3　解析：当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－4综上，－4答案：(－4，0]
例4　解析：(方法一)令f (x)＝x2－2x＋a.则由题意，
得
解得a≤－3.故选A.
(方法二)当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f (x)＝－x2＋2x(x∈[－1，2])．而f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f (x)min＝－3，所以a≤－3.故选A.
答案：A
巩固训练4　解析：对 x∈(0，＋∞)，若不等式>4－x恒成立，
则a>4x－x2＝－(x－2)2＋4，
因为－(x－2)2＋4≤4，所以a>4.
故选C.
答案：C
例5　解析：令f(x)＝x2－4x－2－a，
则函数的图象为开口朝上且以直线x＝2为对称轴的抛物线，
故在区间(1，4)上，f(x)若不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，
则－2－a>0，
解得a<－2，
即实数a的取值范围是(－∞，－2)．
故选B.
答案：B
巩固训练5　解析：关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解 a≤x＋，在x∈[1，2]上有解 a≤，x∈[1，2]，又f(x)max＝f(2)＝，∴a≤.故选D.
答案：D
例6　解析：(1)y＝(x－0.3)，x∈[0.55，0.75].
(2)当k＝0.2a时，y＝(x－0.3)
由题意可得：
整理得：解得0.6≤x≤0.75
所以当电价最低定为0.6元/(kW·h)时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%.
巩固训练6　解析：如图所示，设圆弧的半径OA＝OB＝R m，圆弧弓形的高CD＝x m，
在Rt△BOD中，DB＝78，OD＝R－x，
则(R－x)2＋782＝R2，
∴R＝，依题意知R≥600，
即≥600，
∴x2－1 200x＋6 084≥0，解得x≤5.09或x≥1 194.9(不合题意)．
∴圆弧弓形的高所允许的取值范围是{x|0

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