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第二节　函数的单调性与最值
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查函数的单调性与最值，但有与其它知识一起考查的，如：2020年(Ⅰ)中的第8、21题；2021(Ⅰ)中的第15、22题；2021(Ⅱ)中的第7、17、21、22题． 数学抽象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.增函数、减函数
增函数 减函数
定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D
当x1图象 描述 自左向右看图象是______的 自左向右看图象是______的
【微点拨】
增、减函数定义的等价形式
对于 x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0(<0)或>0(<0)，则函数f(x)在D上单调递增(减)．
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【微点拨】
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间时，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m)
条件 (1)对于任意x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有________ (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m
结论 M为最大值 m为最小值
【微点拨】
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
[常用结论]
函数单调性的常用结论：
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同．
(5)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　)
2．函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
3．如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)
4．所有的单调函数都有最值．(　　)
题组二　教材改编
5．下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
6．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
题组三　易错自纠
7．函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1)　　　　　
B.(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
8．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________．
题型突破·提高“四能”
题型一　函数的单调性　　　
角度1 求函数的单调区间
[例1]　(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是(　　)
A．
B．和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和
D．和[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
[听课记录]
类题通法
求函数的单调区间的常用方法
[巩固训练1]　函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
角度2 讨论函数的单调性
[例2]　讨论函数f(x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性．
[听课记录]
类题通法
判断函数的单调性的方法
定义法 一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降判断函数的单调性
导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法 对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
[巩固训练2]　(1)[2022·北京海淀模拟]下列函数值中，在区间(0，＋∞)上不是单调函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x＋ D．y＝|x－1|
(2)讨论函数y＝x＋(k>0)在区间(0，＋∞)上的单调性．
题型二　函数的最值(值域)
[例3]　(1)已知函数f(x)＝x＋，则函数f(x)有(　　)
A．最小值，无最大值
B．最大值，无最小值
C．最小值1，无最大值
D．最大值1，无最小值
(2)函数y＝的值域为________．
[听课记录]
类题通法
求函数最值(值域)的五种常用方法
[巩固训练3]　(1)函数y＝的值域是________．
(2)[2022·河北石家庄模拟]对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
题型三　函数单调性的应用
角度1 比较大小
[例4]　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b　　 B．c＞b＞a
C．a＞c＞b　 D．b＞a＞c
[听课记录]
类题通法
比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
[巩固训练4]　[2022·北京东城模拟]若函数f(x)是R上的减函数，a>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．f(a2)C．f(a)角度2 解不等式
[例5]　已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
[听课记录]
类题通法
求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)[巩固训练5]　[2022·河北石家庄二十二中月考]已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(2a－1)A． B．
C．(0，2) D．(0，＋∞)
角度3 利用函数的单调性求参数(范围)
[例6]　(1)[2022·河北衡水十四中月考]已知函数y＝a(x－a)2＋2在[2，＋∞)单调，则实数a的取值范围为________．
(2)[2022·江苏南通模拟]若函数f(x)＝，是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
[听课记录]
类题通法
利用单调性求参数的范围(或值)的策略
[巩固训练6]　(1)[2022·福建三明一中月考]函数f(x)＝ax2＋2x－1在[1，2]上是增函数，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．
(2)[2022·浙江杭州模拟]若函数f(x)＝＋4ax在[1，3]内不单调，则实数a的取值范围是________．
第二节　函数的单调性与最值
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．f(x1)f(x2)　上升　下降
2．单调递增　单调递减
3．f(x)≤M　f(x)≥m
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.×
5．解析：对于A.一次函数f(x)＝3－x在R上单调递减，故该选项不符合题意；
B．二次函数f(x)＝x2－3x的图象的对称轴是x＝，函数在上单调递减，故该选项不符合题意；
C．f(x)＝－是由反比例函数y＝－向左平移1个单位得到的，因为反比例函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－在(－1，＋∞)上单调递增，故该选项符合题意；
D．f(x)＝－|x|，当x＞0时，f(x)＝－x为减函数，故该选项不符合题意．
故选C.
答案：C
6．解析：易知函数f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减，
故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2　
7．解析：f(x)＝＝＝－1＋，
又f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，
由函数的图象平移可知，
f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．故选C.
答案：C
8．解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
答案：－3
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如图所示，
函数的单调递减区间是(－∞，1]和.
故选C.
解析：(2)由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
答案：(1)C　(2)D
巩固训练1　解析：函数y＝的定义域是(－∞，＋∞)，
设u＝x2＋x＋2，则函数u＝x2＋x＋2在上是单调递减的，在上单调递增，
因为函数y＝在u>0时单调递减，于是得函数y＝在上是单调递增的，在上单调递减，
所以函数y＝的单调递增区间为，单调递减区间为.
答案：
例2　解析：方法一　 x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，由于x1∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．
方法二　f′(x)＝＝－，
∵(x－1)2>0，a>0，∴f′(x)<0，故a>0时，f(x)在(－∞，1)上是减函数．
巩固训练2　解析：(1)由一次函数的性质可知，y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增；
由二次函数的性质可知，y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增；
由幂函数的性质可知，y＝x＋在区间(0，＋∞)上单调递增；
结合一次函数的性质可知，y＝|x－1|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
故选D.
解析：(2)y′＝1－
令y′>0得，x2>k，即x<－或x>，
令y′<0得，x2∴当x∈(，＋∞)时，函数是增函数；
当x∈(0，)时，函数是减函数．
答案：(1)D　(2)见解析
例3　解析：(1)因为函数f(x)的定义域为，设t＝，
则t≥0，且x＝，
所以f(x)＝g(t)＝＋t＝－t2＋t＋
＝－(t－1)2＋1，t≥0，所以g(t)≤g(1)，
即g(t)≤1，所以函数f(x)的最大值为1，无最小值．
故选D.
解析：(2)方法一　由y＝，可得x2＝，由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，故所求函数的值域为[－1，1)．
方法二　y＝＝1－，
∵0<≤2，∴－1≤y<1.
∴函数值域为[－1，1)．
答案：(1)D　(2)[－1，1)
巩固训练3　解析：(1)y＝＝＝3＋，
∴函数y＝的值域为{y|y≠3}．
解析：(2)在同一坐标系中，作出函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图中实线所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
答案：(1){y|y≠3}　(2)1
例4　解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．
所以a＝f＝f，f(2)>f>f(3)，
所以b＞a＞c.
故选D.
答案：D
巩固训练4　解析：因为函数f(x)是R上的减函数，a>0，
A选项，a2－a＝a(a－1)，当a>1时，a2>a，所以f(a2)f(a)，即A不一定成立；
B选项，当a>1时，a>，所以f(a)f，即B不一定成立；
C选项，a>0时，2a>a，则f(a)>f(2a)，所以C不成立；
D选项，a2－(a－1)＝a2－a＋1＝＋>0，则a2>a－1；所以f(a2)故选D.
答案：D
例5　解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得f(x2－4)答案：(－，－2))
巩固训练5　解析：因为函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(2a－1)所以，解得所以实数a的取值范围是.
答案：B
例6　解析：(1)当a＝0时，y＝2在[2，＋∞)不单调，不合题意；
当a<0时，函数y的对称轴为x＝a<0，显然在[2，＋∞)上y单调递减，符合题意；
当a>0时，函数y的对称轴为x＝a>0，
此时，若a≤2时，[2，＋∞)上y单调递增，而a>2时，[2，＋∞)上y不单调．
综上，a的取值范围为(－∞，0)
解析：(2)因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以，解得≤a<.
答案：(1)(－∞，0)　(2)A
巩固训练6　解析：(1)由题意得，
当a＝0时，函数f(x)＝2x－1在[1，2]上是增函数；
当a≠0时，要使函数f(x)＝ax2＋2x－1在[1，2]上是增函数，应满足或，解得a>0或－≤a<0.
综上所述，a∈[－，＋∞)．
故选B.
解析：(2)由题意得f(x)＝－x2＋4ax的对称轴为x＝2a，
因为函数f(x)在[1，3]内不单调，所以1<2a<3，得答案：(1)B　(2)

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