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第三节　函数的奇偶性与周期性
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解函数奇偶性的含义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 2020年(Ⅰ)第8题考查奇偶性、单调性与不等式的结合； 2021(Ⅰ)第13题考查利用奇偶性求参数； 2021(Ⅱ)第8题考查利用奇偶性与周期性求值． 数学抽象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有________________，那么函数f(x)就叫做偶函数 都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数
图象特征 关于________对称 关于________对称
【微点拨】
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
②f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________________，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
【微点拨】
若T是y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．若函数y＝f(x)是常数函数，则y＝f(x)是周期函数，且无最小正周期．
[常用结论]
1．函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(5)只有f(x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为非零常数)：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝±，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝f(x－b)，则T＝a＋b.
3．对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
(4)若y＝f(x)对任意的x∈R，都有f(a－x)＝f(b＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；都有f(－x)＝b－f(x)，即f(a－x)＋f(x)＝b，则函数y＝f(x)的图象关于点中心对称．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
2．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)
3．若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
4．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
题组二　教材改编
5．(多选)下列函数为奇函数的是(　　)
A．f(x)＝x4　 B．f(x)＝x5
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝
6．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
题组三　易错自纠
7．关于函数f(x)＝与h(x)＝的奇偶性，下列说法正确的是(　　)
A．两函数均为偶函数
B．两函数都既是奇函数又是偶函数
C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　函数的奇偶性及其应用　　
角度1 奇偶性的判断
[例1]　(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)·g(x)是偶函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数
D．|f(x)·g(x)|是奇函数
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝；
③f(x)＝
[听课记录]
类题通法
函数奇偶性的判定的三种常用方法
1．定义法：
2．图象法：
3．性质法：
(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
[巩固训练1]　(1)(多选)下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x|　 D．y＝2|x|
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
角度2 奇偶性的应用
[例2]　(1)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2，f(lg 5)＝3，则f(lg 0.2)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(3)[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
[听课记录]
类题通法
利用函数奇偶性可解决的问题及解题方法
[巩固训练2]　(1)[2022·河北石家庄二中月考]已知f(x)是奇函数，当x≥1时，f(x)＝x2＋sin πx，则f(－1)＝(　　)
A．1 B．0
C．－2 D．－1
(2)已知函数f(x)＝＋m为奇函数，则实数m＝________．
题型二　函数的周期性及其应用
[例3]　(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝1，若f(2)＝2，则f(2 022)＝(　　)
A.－1　 B．1
C．2　 D．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，且当x∈(1，4]时，f(x)＝3x－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________．
[听课记录]
类题通法
函数周期性有关问题的求解策略
[巩固训练3]　已知定义在R上的函数f(x)的周期为6，且
f(x)＝则f(－7)＋f(8)＝(　　)
A．11　 B．
C．7　 D．
题型三　函数性质的综合应用
角度1 奇偶性与单调性结合
[例4]　(1)[2022·湖北荆门模拟]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)
A．f(－3)B．f(－3)C．f(20.6)D．f(20.6)(2)[2020·新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]
B．[－3，－1]
C．[－1，0]
D．[－1，0]
[听课记录]
类题通法
奇偶性与单调性的综合问题及解题方法
　　
[巩固训练4]　(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b(2)[2022·河北沧州模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x)>f(x＋2)的x的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
C．
D．
角度2 奇偶性与周期性结合
[例5]　已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．2 022
[听课记录]
类题通法
奇偶性与周期性综合问题的解题策略
[巩固训练5]　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)，若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 022)＝________．
角度3 奇偶性、周期性与单调性结合
[例6]　(多选)[2022·重庆巴蜀中学月考]已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈(0，2)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是周期为4的周期函数
C．f(2 022)＝0
D．f>f
[听课记录]
类题通法
解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
[巩固训练6]　[2022·北京海淀模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(1)＝0，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x＋x.设a＝f(5)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b>a>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
抽象函数的单调性与奇偶性
[典例1]　若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0，则(　　)
A．f(x)是奇函数，且在R上是增函数
B．f(x)是奇函数，且在R上是减函数
C．f(x)是奇函数，但在R上不是单调函数
D．无法确定f(x)的单调性和奇偶性
【解析】　令x1＝x2＝0，则f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
令x1＝x，x2＝－x，则f(－x)＋f(x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数．
设x1因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0，故f(x2)【答案】　B
类题通法
解决抽象函数问题要注意以下两点：(1)选取适当的特殊值进行求解；(2)要运用所给的函数的性质求解．
对抽象函数单调性、奇偶性的判定，要在以上两点注意的基础上，再结合单调性、奇偶性的定义进行求解．
[典例2]　设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0(1)f(0)＝1；
(2)x∈R时，恒有f(x)>0；
(3)f(x)在R上是减函数．
【证明】(1)根据题意，令m＝0，
可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)．
∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意知x>0时，0当x＝0时，f(0)＝1>0，当x<0时，－x>0，
∴0∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)·f(－x)＝1，∴f(x)＝>0.
故x∈R时，恒有f(x)>0.
【证明】(3)任取x1，x2∈R，且x1∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1].
由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0∴f(x)在R上是减函数．
类题通法
抽象函数单调性的判断方法
这里的抽象函数一般由方程(不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法．一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试．
注意：若给出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]；
若给出的是积型(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f.
第三节　函数的奇偶性与周期性
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．f(－x)＝f(x)　f(－x)＝－f(x)　y轴　原点
2．(1)f(x＋T)＝f(x)　(2)最小的正数　最小正数
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.√　4.√
5．解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．
答案：BC
6．解析：f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
7．解析：函数f(x)＝的定义域满足即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．而函数h(x)＝的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数．
答案：D
8．解析：当x<0时，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．
答案：f(x)＝
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，故函数f(x)·g(x)是奇函数，故A错误；
|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，故函数|f(x)|·g(x)是偶函数，故B错误；
f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，故函数f(x)·|g(x)|是奇函数，故C正确；
|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，故函数|f(x)·g(x)|为偶函数，故D错误．故选C.
(2)①由得x2＝36，解得x＝±6，
即函数f(x)的定义域为{－6，6}，关于原点对称，
所以f(x)＝＝0.
所以f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
②由得定义域为(－1，0)
关于原点对称．
所以x－2<0，所以|x－2|－2＝－x，
所以f(x)＝.
又因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
解析：③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)关于原点对称．
因为当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，
总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
答案：(1)C　(2)见解析
巩固训练1　解析：(1)由偶函数的定义可知B、D为偶函数．
(2)易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}．
因为f(－x)＋g(－x)＝
＝－＝＝
＝f(x)＋g(x)，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．
故选A.
答案：(1)BD　(2)A
例2　解析：(1)令g(x)＝ax3＋bx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋2，
∵f(lg 5)＝g(lg 5)＋2＝3，∴g(lg 5)＝1，∴g(－lg 5)＝－1.
又lg 5＋lg 0.2＝0，∴f(lg 0.2)＝f(－lg 5)＝g(－lg 5)＋2＝－1＋2＝1，
故选A.
(2)当x<0时，－x>0.因为当x≥0时，f (x)＝ex－1，所以 f (－x)＝e－x－1. 又因为 f (x)为奇函数，所以f (x)＝－f (－x)＝－e－x＋1.
故选D.
(3)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)，
所以x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，
故a＝1.
答案：(1)A　(2)D　(3)1
巩固训练2　解析：(1)由题意，f(－1)＝－f(1)＝－(1＋sin π)＝－1.
(2)因为f(x)＝＋m中2x－1≠0，所以定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以＋m＝－，所以2m＝，
所以2m＝，所以2m＝1，所以m＝.
答案：(1)D　(2)
例3　解析：(1)由f(x)·f(x＋2)＝1，得f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝＝f(x)．
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
F(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2.
故选C.
解析：(2)由题意，得f(1)＝f(4)＝11，f(2)＝5，f(3)＝8.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＝24，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)
＝33×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(33×3＋1)＝803.
答案：(1)C　(2)803
巩固训练3　解析：根据f(x)的周期是6，
故f(－7)＝f(－1)＝－(－1)＋1＝4，
f(8)＝f(2)＝f(－2)＝－(－2)＋1＝7，
所以f(－7)＋f(8)＝11.
故选A.
答案：A
例4　解析：(1)∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－3)＝f(3)，f(－log313)＝f(log313)，
又∵20<20.6<21 1<20.6<2，log39∴20.6∴f(20.6)故选C.
(2)因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，当x>0时，f(x－1)≥0＝f(2)，即0所以不等式xf(x－1)≥0的解集为[－1，0]
故选D.
答案：(1)C　(2)D
巩固训练4　解析：(1)易知g(x)＝xf (x)在R上为偶函数，
因为奇函数f (x)在R上单调递增，且f (0)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.
故选C.
解析：(2)∵y＝f(x＋1)为定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，
由f(2x)>f(x＋2)得：|2x－1|>|x＋2－1|，解得：x<0或x>2，
即满足f(2x)>f(x＋2)的x的取值范围为(－∞，0)
故选B.
答案：(1)C　(2)B
例5　解析：因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
所以f(0)＝0且f(－x)＝－f(x)，
又因为函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，
所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
令1＋x＝t，则f(t)＝－f(t－2)，
即f(x)＝－f(x－2)，
则f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
因为f(0)＝0，f(1)＝1，
所以f(4)＝－f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)
＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(2 021)＋f(2 022)
＝0＋f(505×4＋1)＋f(505×4＋2)
＝f(1)＋f(2)＝1.故选B.
答案：B
巩固训练5　解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(2 022)＝f(337×6)＝f(0)，
又f(0)＝1.所以f(2 022)＝1.
答案：1
例6　解析：对选项A，由y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，有f(x)＝f(－x)，即y＝f(x)为偶函数，故A错；
对选项B，取x＝－2代入f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，有f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，故函数y＝f(x)为周期T＝4的周期函数，故B对；
对选项C，f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0，故C对；
对选项D，对任意x1，x2∈(0，2)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，
所以函数y＝f(x)在区间(0，2)单调递增，所以f＝f故选BC.
答案：BC
巩固训练6　解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，且f(0)＝0，又x∈(0，1)，f(x)＝2x＋x，因为y＝2x与y＝x在x∈(0，1)上单调递增，所以f(x)＝2x＋x在x∈(0，1)上单调递增，根据奇函数的对称性可得f(x)在(－1，1)上单调递增，所以a＝f(5)＝f(1)＝0＝f(0)，c＝f＝f，b＝f.
因为>0>－，所以f>f(0)>f，即b>a>c.
故选A.
答案：A

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