资源简介

第四节　二次函数与幂函数
课程标准 考情分析 核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2020年新高考没考查幂函数； 2021(Ⅱ)第14题考查了幂函数的性质． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.幂函数
(1)幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上________．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上________．
【微点拨】
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内．
2．二次函数的图象与性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递增；在上单调递减 在上单调递增；在上单调递减
奇偶性 当________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
【微点拨】
二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
[常用结论]
1．幂函数y＝xα的图象在第一象限的两个重要结论
(1)恒过点(1，1)；
(2)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．
2．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.函数y＝是幂函数．(　　)
2．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
3．当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　)
题组二　教材改编
5．如图是①y＝xa，②y＝xb，③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b6．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数y＝f(x)的解析式为________．
题组三　易错自纠
7．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
8．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
题型突破·提高“四能”
题型一　幂函数的图象与性质　　　
[例1]　(1)[2022·湖北武汉模拟]若a＝，b＝，c＝，d＝，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．a>b>c>d B．b>a>d>c
C．b>a>c>d D．a>b>d>c
(2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m＝(　　)
A．2 B．－1
C．4 D．2或－1
(3)如图所示的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
[听课记录]
类题通法
幂函数图象与性质问题的求解策略
[巩固训练1]　(1)函数y＝的图象是(　　)
(2)已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，且f(a＋1)＜f(3)，则a的取值范围是(　　)
A．(－4，2)
B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4)　
D．(2，＋∞)
题型二　二次函数的解析式
[例2]　已知函数f(x)＝2x2＋bx＋c(b，c∈R)的图象过点(1，0)，且f(x－1)为偶函数，求函数f(x)的解析式．
[听课记录]
类题通法
求二次函数解析式的策略
[巩固训练2]　已知函数f(x)为二次函数，不等式f(x)>0的解集是(1，5)，且f(x)在区间[－1，4]上的最小值为－12，求f(x)的解析式．
题型三　二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象及应用
[例3]　若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　)
[听课记录]
类题通法
识别二次函数图象应学会“三看”
[巩固训练3]　已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(－x)的图象为(　　)
角度2 二次函数的性质及应用
[例4]　已知二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)．
(1)若此函数在[1，2)上是单调减函数，求实数a的取值范围；
(2)求f(x)在[1，＋∞)上的最小值g(a)，并求g(a)的值域．
[听课记录]
类题通法
求二次函数在闭区间上最值的类型及策略
[巩固训练4]　已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－3，3].
(1)当a＝－5时，求f(x)的最小值；
(2)若y＝f(x)在区间[－3，3]上的最大值为14，求实数a的值．
第四节　二次函数与幂函数
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)y＝xα　(3)②单调递增　③单调递减
2．b＝0
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.×
5．解析：根据幂函数的性质，可知选D.
答案：D
6．解析：设y＝xα，则＝2α，即＝2α，∴α＝.
∴f(x)＝.
答案：f(x)＝
7．解析：因为幂函数f(x)＝xα为奇函数，所以α可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，
所以α＜0，故α＝－1.
答案：－1
8．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)上单调递增．当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增．
则a需满足解得－≤a<0.
综上可知，－≤a≤0.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)∵>0，
∴幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
又∵3>2>>>0，
，
∴b>a>c>d.
(2)由题意知：m2－m－1＝1，即(m＋1)(m－2)＝0，解得m＝－1或m＝2，
∴当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)单调递减，符合题意．
∴m＝2.
解析：(3)设曲线C1，C2，C3，C4的函数解析式分别为y＝，y＝，y＝，y＝，
作直线x＝，由图象可知，
由于指数函数y＝为增函数，
所以n1>n2>n3>n4，因此，
相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为2，，－，－2.
答案：(1)C　(2)A　(3)2，，－，－2
巩固训练1　解析：(1)函数y＝f(x)＝＝()4，满足f(－x)＝f(x)，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；该函数是幂函数y＝xα，α＝>1，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误．
解析：(2)已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，
则8n＝，则n＝log8＝－，
故幂函数f(x)的解析式为f(x)＝.
若f(a＋1)＜f(3)，则|a＋1|＞3，
解得a＜－4或a＞2.
答案：(1)A　(2)B
例2　解析：因为f(x)为二次函数，且f(x－1)为偶函数，所以f(x)的图象的对称轴方程为x＝－1，
又f(x)的图象过点(1，0)，故，解得，
所以f(x)＝2x2＋4x－6.
巩固训练2　解析：因为不等式f(x)>0的解集是(1，5)，
令f(x)＝a(x－1)(x－5)(a<0)，
因为f(x)在区间[－1，4]上的最小值为－12，所以f(x)min＝f(－1)＝12a＝－12，
解得a＝－1，
所以f(x)＝－(x－1)(x－5)＝－x2＋6x－5.
例3　解析：因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x＝－<0，只有选项C适合．
答案：C
巩固训练3　解析：因为函数f (x)＝ax2－x－c，且f (x)>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2.所以f (x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f (－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0)．故选D.
答案：D
例4　解析：(1)由题意可知函数f(x)＝ax2－4x＋c开口向上，且在对称轴x＝处取得最小值0，
所以a>0，且f＝a×－4×＋c＝－＋c＝0，即c＝，
因此f(x)＝ax2－4x＋，因为函数在[1，2)上是单调减函数，
所以≥2，所以a≤1，故实数a的取值范围为(0，1].
解析：(2)若<1，即a>2，所以f(x)＝ax2－4x＋在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝a－4＋；
若≥1，即0所以g(a)＝，
因为函数g(a)＝a＋－4在(2，＋∞)上单调递增，且g(2)＝2＋－4＝0，因此g(a)的值域为[0，＋∞)．
巩固训练4　解析：(1)当a＝－5时，f(x)＝x2＋10x＋2＝(x＋5)2－23，x∈[－3，3]，
又因为二次函数开口向上，且对称轴为x＝－5，
所以当x＝－3时，f(x)min＝－19；
(2)当a≤0时，f(x)max＝f(3)＝11－6a＝14 a＝－；
当a>0时，f(x)max＝f(－3)＝11＋6a＝14 a＝.
综上所述：a＝±.

展开更多......

收起↑