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第五节　指数与指数函数
课程标准 考情分析 核心素养
1.通过对有理数指数幂、实数指数幂的含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 2020(Ⅰ)第6题考查了指数的运算及指数型函数模型，第21题中渗透了指数知识； 2021(Ⅰ)第7题考查了指数函数与导数的综合，第13题指数函数与偶函数的综合； 2021(Ⅱ)第16题考查了指数函数与导数的综合． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.根式
(1)根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的________，其中n＞1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
①当n为奇数时，＝________；
②当n为偶数时，＝|a|＝
【微点拨】
(1)n次方根实际上就是平方根与立方根的推广．
(2)化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数．
2．有理数指数幂
幂的有 关概念 正数的正分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
正数的负分数指数幂：＝＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________
指数幂的运算性质 aras＝________(a>0，r，s∈Q)；(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝________(a＞0，b>0，r∈Q)
【微点拨】
注意幂指数不能随意约分．
3．指数函数
(1)定义：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
函数 y＝ax(a>0，且a≠1)
图象 a>1 0图象特征 在x轴上方，恒过定点________
当x逐渐增大时，图象 逐渐上升 当x逐渐增大时，图象 逐渐下降
性质 定义域 R
值域 ________
单调性 ________ ________
当x<0时，______；当x>0时，______． 当x<0时，______；当x>0时，______．
【微点拨】
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
[常用结论]
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过三个定点：(1，a)，(0，1)，.
2．y＝ax(a>0，且a≠1)的图象特征：如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是03．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.与()n都等于a(n∈N*)．(　　)
2．2a·2b＝2ab.(　　)
3．函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)
4．若am0，且a≠1)，则m题组二　教材改编
5．计算－(－1)0的结果为(　　)
A．－9　　 B．7
C．－10 D．9
6．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________．
题组三　易错自纠
7．式子a 化简得(　　)
A． B．
C．－ D．－
8．若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　　)
A． B．
C．或2 D．或
题型突破·提高“四能”
题型一　指数幂的化简与求值　　 　　
[例1]　(1)计算：＋＋＝________．
(2)化简： ÷ (1－2·)×＝________．
[听课记录]
类题通法
指数幂运算的一般原则
[巩固训练1]　(1)(多选)下列各式中一定成立的有(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
(2)[2022·河南南阳模拟]化简：÷(ab4)＋(a>0，b>0)＝________．
题型二　指数函数的图象及应用
角度1 与指数函数有关的图象识别
[例2]　[2022·浙江北仑中学月考]函数y＝2|x|－1的图象大致为(　　)
[听课记录]
类题通法
识别与指数函数图象有关问题的策略
[巩固训练2]　[2022·江苏扬州模拟]函数y＝a－x－a(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
角度2 指数函数图象的应用
[例3]　[2022·北京市大兴区模拟]已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中不可能成立的是(　　)
A.0C．b[听课记录]
类题通法
指数函数图象的应用问题的求解方法
[巩固训练3]　若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
题型三　指数函数的性质及其应用
角度1 比较大小
[例4]　[2022·湖南娄底一中月考]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小顺序为(　　)
A．c>a>b B．a>b>c
C．b>a>c D．a>c>b
[听课记录]
类题通法
指数式比较大小的策略
[巩固训练4]　[2022·河北衡水模拟]已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
角度2 解简单的指数方程或不等式
[例5]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
(2)[2022·河北唐山模拟]不等式的解集是(　　)
A． B．
C． D．[，＋∞)
[听课记录]
类题通法
解指数不等式的三种方法
[巩固训练5]　[2022·浙江师范大学附属中学月考]不等式4|x＋1|>16的解集为(　　)
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－3)
C．(－∞，－3]
D．(－∞，－3)
角度3 指数函数性质的综合问题
[例6]　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式f(x2＋x)＋f(x－3)<0.
[听课记录]
类题通法
1.指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应注意结合指数函数的性质进行解决．
2．求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
[巩固训练6]　已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2].
(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f(x)的最大值与最小值．
第五节　指数与指数函数
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．n次方根　a　a
2．0　没有意义　ar＋s　ars　arbr
3．(0，1)　(0，＋∞)　单调递增　单调递减　01　y>1　0基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.×
5．解析：原式＝－1＝23－1＝7.
故选B.
答案：B
6．解析：由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，
所以f(－1)＝＝.
答案：
7．解析：由题意知a<0，
∴a＝a＝－.故选D.
答案：D
8．解析：当a>1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，
故有a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
当0解得a＝或a＝0(舍去)．
综上a＝或a＝.
答案：D
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)原式＝＋|－e|＝＋1－1＋＋e－＝e＋.
÷
＝
＝
＝
＝a.
答案：(1)e＋　(2)a
巩固训练1　解析：(1)＝n7m－7，A错误；
＝＝，B正确；
＝，C错误；
＝＝＝，D正确．
故选BD.
÷(ab4)＋
＝ab－1－(a2b3)÷(ab4)＋|－a|＝ab－1－ab－1＋a＝a.
答案：(1)BD　(2)a
例2　解析：设y＝f(x)＝2|x|－1，因为f(－x)＝2|－x|－1＝2|x|－1＝f(x)，
所以函数y＝2|x|－1是偶函数，图象关于y轴对称，
当x≥0时，f(x)＝2x－1，此时函数单调递增，所以有f(x)≥f(0)＝0，
所以选项B符合，故选B.
答案：B
巩固训练2　解析：因为x＝－1时y＝a－x－a＝0，所以y＝a－x－a(a>0，a≠1)过点(－1，0)，故选D.
答案：D
例3　解析：作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象，如图，
当2a＝3b>1时，根据图象得0当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确；
当2a＝3b<1时，根据图象得a故不可能成立的是b答案：C
巩固训练3　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．
由图象可得b的取值范围是(0，1)．
答案：(0，1)
例4　解析：∵a＝＝，c＝＝且>1，
∴y＝为增函数，
又
∴a>b，
又y＝为增函数，且>，
∴b>c，
∴a>b>c，故选B.
答案：B
巩固训练4　解析：a＝30.2>30＝1；b＝0.2－3＝＝53>33>30.2＝a，c＝(－3)0.2＝<0，
∴b>a>c.故选B.
答案：B
例5　解析：(1)当a<1时，41－a＝2，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
当＝时，解得x＝，
由图象知：的解集是.
故选B.
答案：(1)　(2)B
巩固训练5　解析：4|x＋1|>16 4|x＋1|>42 |x＋1|>2，解得：x>1或x<－3.
故选B.
答案：B
例6　解析：(1)函数f(x)＝是R上的奇函数，所以f(0)＝＝0，
解得：a＝1，经检验满足题意．
(2)由(1)得f(x)＝＝－1，可判断该函数为减函数，证明如下：
设x1f(x1)－f(x2)＝＝＝，
＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)单调递减．
解析：(3)因为f(x)是R上的奇函数，且单调递减，
所以f(x2＋x)＋f(x－3)<0 f(x2＋x)<－f(x－3)＝f(3－x)，
所以x2＋x>3－x，解得x<－3或x>1，
所以解集为{x|x<－3或x>1}．
巩固训练6　解析：(1)∵t＝3x为增函数，
∴tmax＝t(2)＝9，tmin＝t(－1)＝3－1＝，
∴t的最大值为9，最小值为.
(2)令t＝3x则y＝g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，t∈，
∴g(t)min＝g(1)＝3，g(t)max＝g(9)＝81－18＋4＝67，
∴f(x)最大值为67，最小值为3.

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