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第六节　对数与对数函数
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体事例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数． 2020年新高考第11题考查了对数运算及不等式，第12题考查了新定义以及对数运算与对数函数； 2021(Ⅰ)第15题考查了对数函数与利用导数求最值，第22题考查了对数函数与导数的综合； 2021(Ⅱ)第7题考查了对数比较大小． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1.M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝________________；
②loga＝________________；
③logaMn＝________(n∈R)．
【微点拨】
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
【微点拨】
换底公式使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
01
图象
定义域 ________
值域 R
性质 过定点________，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y<0； 当00 当x>1时，y>0； 当0________函数 ________函数
【微点拨】
对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
[常用结论]
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝.
bn＝logab.
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.函数y＝log2x及y＝都是对数函数．(　　)
2．若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
4．函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．(　　)
　
题组二　教材改编
5．使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．6．计算：lg －＋lg 7＝________．
题组三　易错自纠
7．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
8．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
题型突破·提高“四能”
题型一　对数式的化简与求值　　　
[例1]　(1)[2022·河北唐山模拟]已知log212＝m，则log312＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(多选)[2022·广东梅州模拟]若10a＝4，10b＝25，则(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab＞8lg22 D．b－a＜lg 6
(3)[2022·北京陈经纶中学月考 －log5－log514＝________．
[听课记录]
类题通法
对数式化简与求值的策略
[巩固训练1]　(1)[2022·江苏盐城模拟]已知2m＝5n＝10，则等于(　　)
A．1 B．2
C．5 D．10
(2)[2022·河北张家口模拟]溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是(　　)
A．[7.25，7.55] B．[7.25，7.45]
C．[7.25，7.35] D．[7.35，7.45]
题型二　对数函数的图象及其应用　　
角度1 与对数函数有关的图象识别
[例2]　[2022·河北秦皇岛模拟]函数y＝的大致图象为(　　)
[听课记录]
类题通法
研究对数型函数图象的两种策略
[巩固训练2]　[2022·浙江温州模拟]函数y＝|lg (x－1)|的图象是(　　)
角度2 对数函数图象的应用
[例3]　设函数f(x)＝，则f(f(0))＝________，若方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．
[听课记录]
类题通法
一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[巩固训练3]　当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2题型三　对数函数的性质及应用　高频考点　　
角度1 比较大小
[例4]　(1)[2022·北京101中学月考]已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
(2)[2022·广东江门模拟]正实数a，b，c满足a＋2－a＝2，b＋3b＝3，c＋log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为(　　)
A．bC．a[听课记录]
类题通法
比较对数值大小的方法
[巩固训练4]　(1)[2022·湖北汉阳一中模拟]若a＝log2π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b>a>c B．b>c>a
C．a>b>c D．a>c>b
(2)[2022·福建龙岩模拟]设a＝log35，b＝log53，c＝log42，则(　　)
A．aC．b角度2 与对数函数有关的不等式问题
[例5]　[2022·山东济南模拟]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为(　　)
A．
B．(2，＋∞)
C．(0，2)
D．(－∞，－1]
[听课记录]
类题通法
与对数函数有关的不等式的求解策略
[巩固训练5]　已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>1的解集为
________________________________________________________________________．
角度3 对数函数性质的综合应用
[例6]　已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象过点(9，2)．
(1)求a的值．
(2)若g(x)＝f(2－x)＋f(2＋x)．
(ⅰ)求g(x)的定义域并判断其奇偶性；
(ⅱ)求g(x)的单调递增区间．
[听课记录]
类题通法
解决对数函数性质的综合问题的三点提醒
(1)要分清函数的底数a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
[巩固训练6]　已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中a>1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值为2，求a的值．
第六节　对数与对数函数
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．x＝logaN
2．logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM
3．(0，＋∞)　(1，0)　减　增
4．y＝x
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.×
5．解析：要使log(2x－1)(2－x)有意义，则，解得答案：D
6．解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5
＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：
7．解析：由5d＝10得d＝，
∴cd＝lg b·＝log5b＝a.
答案：B
8．解析：∵loga <1＝logaa，
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，不等式成立；
当0∴0综上所述，a的取值范围是
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)因为log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，
所以log312＝＝＝＝，
故选B.
(2)∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg 4，b＝lg 25，∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，
b－a＝lg 25－lg 4＝lg ＞lg 6，ab＝2lg 2×2lg 5＝4lg 2·lg 5＞4lg 2·lg 4＝8lg22.
故选AC.
(3)原式＝＝log5－1＝2－log52－1＝1－log52.
答案：(1)B　(2)AC　(3)1－log52
巩固训练1　解析：(1)因为2m＝5n＝10，所以log210＝m，log510＝n，
所以＝lg 2，＝lg 5，
所以＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
故选A.
(2)依题意，令pH1＝－lg [1×10－7.45]＝7.45，pH2＝－lg [1×10－7.35]＝7.35，
因此，正常人体血液的pH值的范围是[7.35，7.45].
答案：(1)A　(2)D
例2　解析：当x＝1时，y＝>0，排除C、D.
当x＝－时，y＝＝<0，排除B.
故选A.
答案：A
巩固训练2　解析：将函数y＝lg x的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数y＝lg (x－1)的图象，
再将所得函数图象位于x轴下方的图象关于x轴翻折，位于x轴上方图象不变，可得到函数y＝|lg (x－1)|的图象．
故合乎条件的图象为选项C中的图象．
故选C.
答案：C
例3　解析：(1)由题得f(0)＝30＋1＝2，所以f(f(0))＝f(2)＝log2 2＝1.所以f(f(0))＝1.
(2)作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝a，方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为1答案：1　1巩固训练3　解析：设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax，
要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2当0当a>1时，如图所示，要使在(1，2)上，f(x)＝(x－1)2的图象在g(x)＝logax的下方，只需f(2)≤g(2)，即(2－1)2≤loga2，
∴loga2≥1，
∴1答案：(1，2]
例4　解析：(1)由题意结合对数函数的性质可知：
a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0，1)，c＝＝log23>log2e，
据此可得：c>a>b.
故选D.
解析：(2)c＋log4c＝4 log4c＝4－c，
即c为函数y＝log4x与y＝4－x的图象交点的横坐标，
b＋3b＝3 1＋3b＝4－b，
即b为函数y＝1＋3x与y＝4－x的图象交点的横坐标，
a＋2－a＝2 2＋＝4－a，
即a为函数y＝2＋与y＝4－x的图象交点的横坐标，
在同一坐标系中画出图象，如图所示：
由图象可知：b故选A.
答案：(1)D　(2)A
巩固训练4　解析：(1)显然a＝log2π>b＝log2，再由b－c＝log2－log3>log3－log3>0，
所以a>b>c.
故选C.
(2)∵log35>log33＝1，∴a>1，
∵∵c＝log42＝，
∴c答案：(1)C　(2)B
例5　解析：由题意知函数f(x)的大致图象如图所示，
则不等式f(log2x)>0 log2x<－1或log2x>1，
解得02.
故选A.
答案：A
巩固训练5　解析：由题可知：
－1所以不等式f(x)>1的解集为x∈.
答案：
例6　解析：(1)由条件知f(9)＝loga9＝2，即a2＝9，又a>0且a≠1，所以a＝3；
(2)g(x)＝f(2－x)＋f(2＋x)＝log3(2－x)＋log3(2＋x)．
(ⅰ)由得－2因为g(－x)＝log3(2＋x)＋log3(2－x)＝g(x)，故g(x)是偶函数；
(ⅱ)g(x)＝log2(2－x)＋log2(2＋x)＝log2(4－x2)，
因为函数y＝log3u单调递增，函数u＝4－x2在(－2，0)上单调递增，
故g(x)的单调递增区间为(－2，0)．
巩固训练6　解析：(1)∵函数f(x)的定义域为(－3，1)，
当x∈(－∞，－1)时，y＝－x2－2x＋3单调递增，
结合定义域及复合函数单调性可知y＝f(x)的单调递增区间为(－3，－1)，同理单调递减区间为(－1，1)．(－1写成闭区间也正确)
(2)f(x)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
∵－3∵a>1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≤loga4，
即f(x)max＝loga4＝2，∴a＝2.

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