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第七节　函数的图象
课程标准 考情分析 核心素养
1.掌握图象的作法：描点法和图象变换． 2．会用函数的图象理解和研究函数性质． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查函数的图象，但有与其它知识一起考查的，如2021(Ⅰ)第7题考查了利用导数研究函数的切线问题． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.利用描点法作函数图象的流程
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
(2)伸缩变换：
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝________；
y＝f(x)y＝________；
y＝f(x)y＝________．
(4)翻折变换：
y＝________．
[常用结论]
1．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)；
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)；
(4)若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件f(a＋x)＋f(b－x)＝c(a，b，c为常数)，则函数y＝f(x)的图象关于点对称．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
2．当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
3．函数 y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)的图象相同．(　　)
4．函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)
题组二　教材改编
5．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称　 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称　 D．直线y＝x对称
6．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，则与以上事件吻合最好的图象是(　　)
题组三　易错自纠
7．下列图象是函数f(x)＝的图象的是(　　)
8．将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　作函数的图象　　
[例1]　分别作出下列函数的图象
(1)y＝|lg (x－1)|；
(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝.
[听课记录]
类题通法
作函数图象的三种常用方法
[巩固训练1]　分别画出下列函数的图象
(1)y＝；
(2)y＝x2－|x|－2.
题型二　函数图象的辨识　　
[例2]　(1)[2021·天津卷]函数y＝的图象大致为(　　)
(2)[2021·浙江卷]已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为如图的函数可能是(　　)
A.y＝f(x)＋g(x)－
B．y＝f(x)－g(x)－
C．y＝f(x)g(x)
D．y＝
[听课记录]
类题通法
辨识函数图象的五种策略
[巩固训练2]　(1)[2022·山东省实验中学月考]函数f(x)＝ln 的图象大致为(　　)
(2)已知函数f(x)的大致图象如下，下列选项中e为自然对数的底数，则函数f(x)的解析式可能为(　　)
A． B．
C． D．
题型三　函数图象的应用　　
角度1 利用函数图象研究函数的性质
[例3]　(多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．2是函数f(x)的周期
B．函数f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增
C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0
D．当x∈(3，4)时，f(x)＝
[听课记录]
类题通法
利用图象研究函数性质问题的思路
[巩固训练3]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减
C．f(x)是奇函数，在区间(－1，1)上单调递减
D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增
角度2 利用函数图象解不等式
[例4]　已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(　　)
A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}
[听课记录]
类题通法
利用函数图象求解不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
[巩固训练4]　函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．
角度3 利用函数图象求参数的取值范围
[例5]　设函数f(x)＝|x＋a|，对于任意的x∈R，不等式f(x)－x＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]
类题通法
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
[巩固训练5]　设函数f(x)＝若f(m)＞1，则实数m的取值范围是________．
第七节　函数的图象
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
2．(1)f(x－a)　f(x)＋b　(2)f(ωx)　Af(x)　(3)－f(x)　f(－x)　－f(－x)　(4)f(|x|)　|f(x)|
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.×　4.×
5．解析：因为f(x)＝－x是奇函数，所以图象关于原点对称．
故选C.
答案：C
6．解析：与学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．
故选C.
答案：C
7．解析：函数f (x)的图象是由y＝x2的图象中x<0的部分和y＝x－1的图象中x≥0的两部分组成．
故选C.
答案：C
8．解析：f(x)＝(2x＋1)2f(x)＝[2(x＋1)＋1]2＝(2x＋3)2.
答案：f(x)＝(2x＋3)2
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．
(3)∵y＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示．
巩固训练1　解析：(1)先画出y＝的图象，再向左平移1个单位得到y＝的图象，如图①.
解析：(2)y＝x2－|x|－2＝如图②.
例2　解析：(1)设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除AC；
当x∈(0，1)时，ln |x|<0，x2＋1>0，所以f(x)<0，排除D.
故选B.
解析：(2)对于A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，y＝f(x)g(x)＝sin x，则y′＝2x sin x＋cos x，
当x＝时，y′＝>0，与图象不符，排除C.
故选D.
答案：(1)B　(2)D
巩固训练2　解析：(1)∵函数的定义域为(－2，2)，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除CD.
∵f(x)＝ln ＝ln ，y＝－1在(－2，2)为单调递减函数，
∴ 由复合函数的单调性法则“同增异减”得f(x)在定义域内为减函数，排除B.
故选A.
(2)由图可知，函数f(x)为奇函数．
对于A选项，函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝≠－＝－f(x)，
函数f(x)＝不是奇函数，排除A选项；
对于B选项，函数f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝≠－＝－f(x)，
函数f(x)＝不是奇函数，排除B选项；
对于C选项，由ex－e－x≠0可得x≠0，即函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝＝－f(x)，函数f(x)＝为奇函数，f(2)＝<1，C选项不满足要求；
对于D选项，由ex－e－x≠0可得x≠0，即函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝＝－f(x)，函数f(x)＝为奇函数，
当x>0时，f(x)＝>1，满足题意．
故选D.
答案：(1)A　(2)D
例3　解析：由已知条件，得f(x＋2)＝f(x)，故y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝，函数y＝f(x)的图象如图所示，
当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)＝f(x－4)＝，因此B，D正确，C不正确．
答案：ABD
巩固训练3　解析：f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图
观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
故选C.
答案：C
例4　解析：由已知f(x)的图象，在此坐标系作出y＝log2 (x＋1)的图象，如图满足不等式f(x)≥log2 (x＋1)的x范围是－1＜x≤1.所以不等式f(x)≥log2 (x＋1)的解集是{x|－1＜x≤1}．
故选C.
答案：C
巩固训练4　解析：当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，
当1所以在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为.
答案：
例5　解析：不等式变形为f (x)≥x－1，令g(x)＝x－1，
作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，如图，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
巩固训练5　解析：如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．
若f(m)＞1，则实数m的取值范围是(－∞，0)
答案：(－∞，0)

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