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第八节　函数与方程
课程标准 考情分析 核心素养
1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查函数与方程． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.函数的零点
(1)函数零点与方程根的关系：
(2)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得________．
【微点拨】
(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内．
(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示．所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
2．二分法
条件 (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象连续不断 (2)所在区间端点的函数值满足________________
方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间________，使所得区间的两个端点逐步________，进而得到零点近似值
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 ________ ________ ________
[常用结论]
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(　　)
3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　)
4．若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　)
题组二　教材改编
5．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
6．函数f(x)＝3x＋log2x的零点所在区间为(　　)
A． B．
C． D．
题组三　易错自纠
7．(多选)已知函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是(　　)
A．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内
B．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内
C．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内
D．函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1，2)内
8．若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．
题型突破·提高“四能”
题型一　函数零点所在区间的判定　　
[例1]　(1)[2022·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝x3－－4，则f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(3，4) D．(4，5)
(2)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
[听课记录]
类题通法
判定函数零点所在区间的2种常用方法
[巩固训练1]　[2022·湖南明达中学月考]方程log3x＋2x＝6的根必定属于区间(　　)
A．(－2，1) B．(1，2)
C． D．
题型二　零点个数的判定　　
[例2]　(1)[2022·北京海淀模拟]已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)[2022·辽宁大连模拟]定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当x∈(0，2)时，f(x)＝(x－1)2，则函数f(x)在区间[－6，4]上的零点个数为(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
[听课记录]
类题通法
判定零点个数的方法
[巩固训练2]　(1)[2022·山东济宁模拟]函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)函数f(x)＝－log2x－1的零点个数为________．
题型三　函数零点的应用　　
角度1 根据函数零点所在的区间求参数
[例3]　(1)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．
(2)[2022·湖南怀化模拟]已知x0是函数f(x)＝lg x＋x－4的零点，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
[听课记录]
类题通法
根据函数零点所在区间求参数的常用方法
[巩固训练3]　已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
角度2 根据函数零点的个数求参数
[例4]　[2022·湖南长沙模拟]已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)＋2－m有4个零点，则m的取值范围为(　　)
A．(0，1) B．(－1，0)
C．(1，3) D．(2，3)
[听课记录]
类题通法
利用函数零点个数求参数的方法
由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后数形结合求解．
[巩固训练4]　[2022·河北石家庄一中月考]已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(－1，0) D．[－1，0)
第八节　函数与方程
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)实根　x轴　零点　(2)f(a)·f(b)<0　f(x0)＝0
2．f(a)f(b)<0　一分为二　逼近零点
3．2　1　0
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.×
5．解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．
故选A.
答案：A
6．解析：由题意，函数f(x)＝3x＋log2x，可得函数f(x)为单调递增函数，
可得f＝3×＋log2＝－4<0，f＝－3<0，f＝－2<0，f＝－1>0，f(1)＝3>0，
所以ff<0，所以函数f(x)的零点所在区间为.
答案：C
7．解析：因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，
又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0，
若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确．
若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，故A正确．
综上两种情况，可知选项C错误，D正确．
故选ABD.
答案：ABD
8．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝4x－1.令f(x)＝0，得4x－1＝0，x＝∈(－1，1)．
∴当a＝0时，f(x)在(－1，1)内恰有一个零点．
(2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a.
①若Δ＝0，即a＝－，
则函数f(x)的图象与x轴交于点(，0)，
x＝是(－1，1)内的唯一零点．
②若Δ>0，即a>－，
则
－综上可得，a的取值范围是.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由题意，知函数f(x)是增函数并且是连续函数．
因为f(1)＝1－－4＝－－3<0，f(2)＝8－－4＝4－>0，
所以f(x)的零点所在区间为(1，2)．
故选B.
解析：(2)因为a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．
故选A.
答案：(1)B　(2)A
巩固训练1　解析：令f(x)＝log3x＋2x－6，
则f(3)＝log3 3－6＋2×3＝1>0，f(2)＝log32－6＋2×2＝log32－2<0，
f＝log3－6＋2×＝log3<0，
所以f·f(3)<0，
由于函数y＝log3x，y＝2x－6均为定义域内的增函数，
所以函数f(x)＝log3x＋2x－6是连续增函数，
所以函数的零点一定在区间.
故选D.
答案：D
例2　解析：(1)令f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，
则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数等价于函数f(x)与函数y＝2|x|的图象的交点个数，
∵y＝2|x|＝，作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象如下图所示：
由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数y＝f(x)－2|x|的零点个数为2.
故选C.
(2)∵当x∈(0，2)时，f(x)＝(x－1)2，
又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴当x∈(－2，0)时，f(x)＝－(x＋1)2，f(0)＝0，f(－2)＝－f(2)．
∵f(x＋4)＝f(x)
∴函数f(x)是周期函数，且周期为4，f(－2)＝f(2)，
∴f(－2)＝f(2)＝0
∴函数f(x)在[－2，2)的零点有4个，即－2，－1，0，1，
∴函数f(x)在[－6，－2)的零点有4个，又函数f(x)在[2，4]的零点有2，3，4，
∴函数f(x)在区间[－6，4]上的零点个数为11个，
故选B.
答案：(1)C　(2)B
巩固训练2　解析：(1)因为f(x)＝令f(x)＝0，当，解得x＝－2；
当解得x＝3，f(x)的零点有－2和3共2个；
故选B.
解析：(2)函数f(x)＝－log2x－1的零点个数即为－log2x－1＝0 ＝log2x＋1的解的个数，即为y＝，y＝log2x＋1两个函数的交点个数，画图可知有1个交点．
答案：(1)B　(2)1
例3　解析：(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.
解析：(2)因为函数f(x)＝lg x＋x－4显然是单调递增函数，
又f(3)＝lg 3＋3－4＝lg 3－1<0，所以f(4)＝lg 4＋4－4＝lg 4>0，
根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)有唯一零点，且零点位于区间(3，4)；
又x0是函数f(x)＝lg x＋x－4的零点，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，
所以只需k＝3.
答案：(1)　(2)3
巩固训练3　解析：设f (x)＝x2＋ax＋1，
由题意知
解得－答案：
例4　解析：由g(x)＝f(x)＋2－m＝0，得f(x)＝m－2，所以问题转化为函数f(x)的图象与直线y＝m－2有4个不同的交点，
函数f(x)的图象如图所示，
所以0所以m的取值范围为(2，3)．
故选D.
答案：D
巩固训练4　解析：因为函数f(x)＝(a∈R)，
当x<0时，f(x)＝2x＋1有一个零点x＝－，
所以只需当x≥0时，ex＋2a＝0，
即ex＝－2a有一个根即可，
因为y＝ex单调递增，
当x≥0时，ex∈[1，＋∞)，
所以－2a∈[1，＋∞)，
即a∈.
故选A.
答案：A

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