资源简介

第九节　函数模型及其应用
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 3．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 2020年新高考第6题考查了指数型函数的应用； 2021年新高考没有考查函数模型及其应用． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.指数、对数、幂函数性质比较
函数 性质　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与________平行 随x的增大逐渐表现为与________平行 随n值变化而各有不同
【微点拨】
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．注意确定实际问题中自变量的取值范围，求出结果后要验证其对实际问题的合理性．
[常用结论]
形如f(x)＝x＋(a为常数，a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，当x<0时，x＝－时取最大值－2.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.幂函数增长比直线增长更快．(　　)
2．不存在x0，使3．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　　)
4．“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)
题组二　教材改编
5．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)
A．8　 B．9
C．10　 D．11
题组三　易错自纠
7．一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则该函数的定义域是________．
8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________．
题型突破·提高“四能”
题型一　利用图象刻画实际问题　　
[例1]　[2022·湖北武汉模拟]在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是(　　)
[听课记录]
类题通法
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种策略
[巩固训练1]　如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)
题型二　已知函数模型解决实际问题　　
[例2]　(1)某市家庭煤气的使用量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2020年前三个月的煤气费如表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
(2)[2022·北京房山模拟]20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为(　　)
A．10－0.2 B．100.2
C．lg D．
[听课记录]
类题通法
已知函数模型解决实际问题的步骤
[巩固训练2]　[2022·河北张家口模拟]人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果．人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型：y＝y0·ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数约为(　　)
(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)
A．14.30亿 B．15.20亿
C．14.62亿 D．15.72亿
题型三　构建函数模型解决实际问题　　
角度1 构建二次函数、分段函数模型
[例3]　[2022·广东汕头模拟]某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)．当年产量不足90千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于90千件时，C(x)＝51x＋－1 300(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完．(利润＝销售收入－总成本)
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[听课记录]
类题通法
解决分段函数模型问题的三点提醒
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
(2)构造分段函数模型时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；
(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者．
[巩固训练3]　[2022·重庆南开中学月考]由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的市场销售回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台，一年后，实际月销售量P(台)与月份x之间存在如图所示函数关系(4月到12月近似符合二次函数关系)．
(1)写出P关于x的函数关系式；
(2)如果每台售价0.15万元，试求一年中利润最低的月份，并表示出最低利润．
角度2 构建指数、对数函数模型
[例4]　[2022·河北安平中学月考]最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4 200年(即：每经过4 200年，该元素的存量为原来的一半)，已知古生物中该元素的初始存量为a(参考数据：lg 2≈0.3)．
(1)写出该元素的存量y与时间x(年)的关系；
(2)经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？
[听课记录]
类题通法
指数、对数函数模型的应用策略
[巩固训练4]　为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1 600万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．2025年 B．2026年
C．2027年 D．2028年
第九节　函数模型及其应用
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
2．递增　递增　y轴　x轴
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.×
5．解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
故选D.
答案：D
6．解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．
故选C.
答案：C
7．解析：令h≥0解得0≤t≤26，故所求定义域为[0，26].
答案：[0，26]
8．解析：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，
则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，
解得1＋x＝，
即x＝－1.
答案：－1
题型突破　提高“四能”
例1　解析：为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，结合选项只有A选项能够较好的达到目的，
故选A.
答案：A
巩固训练1　解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，小孔打开后，鱼缸的水深h，减少的速度先快后慢，最后快，故对应的图象为B.
答案：B
例2　解析：(1)根据题意可知f (4)＝C＝4，f (25)＝C＋B(25－A)＝14，f (35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f (x)＝所以f (20)＝4＋×(20－5)＝11.5.
故选A.
解析：(2)由M＝lg A－lg A0，可得M＝lg ，即＝10M，A＝A0·10M，
当M＝8时，地震的最大振幅为A1＝A0·108，
当M＝7.8时，地震的最大振幅为A2＝A0·107.8，
所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是＝＝108－7.8＝100.2.
故选B.
答案：(1)A　(2)B
巩固训练2　解析：由马尔萨斯模型，得13.33＝12.43e10r，即e10r＝，
所以我国2020年末的全国总人口数y＝13.33e10r＝＝≈14.30(亿)．
故选A.
答案：A
例3　解析：(1)当0≤x<90，x∈N＋时，
L(x)＝x2－10x－300＝－x2＋40x－300.
当x≥90，x∈N＋时，
L(x)＝－51x－＋1 300－300＝1 000－.
∴L(x)＝
(2)当0≤x<90，x∈N*时，L(x)＝－(x－60)2＋900，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝900(万元)
当x≥90，x∈N*时，
L(x)＝1 000－≤1 000－2 ＝800
当且仅当x＝，即x＝100时等号成立．
即x＝100时，L(x)取得最大值800万元．
综上，生产量为6万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为900万元．
巩固训练3　解析：(1)从年初到4月函数关系为一次函数，经过点(0，40)和(4，24)，设函数为f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 k＝－4，所以f(x)＝－4x＋40.
从4月到12月函数关系为二次函数，顶点(7，15)，经过点(12，40)，(4，24)，
设f(x)＝a(x－7)2＋15，代入(12，40)得：a＝1，所以f(x)＝(x－7)2＋15.
所以f(x)＝
(2)从图象中可知，一年中的7月销售量最低，此时利润也最低．
此时利润为：15(0.15－0.1)＝0.75(万元)．
例4　解析：(1)由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，
所以，该元素的存量y与时间x(年)的关系式为y＝，x≥0；
(2)由＝a可得＝＝，
所以，＝＝＝，
∴x＝≈5 600.
因此，该古生物距今大约5 600年．
巩固训练4　解析：设经过n年后的投入资金为y万元，则y＝500(1＋20%)n，
令y≥1 600，即500(1＋20%)n≥1 600，所以1.2n≥，
所以n≥log1.2＝＝
＝＝
≈≈6.39.
所以第7年即2027年该市用于垃圾分类的资金开始不低于1 600万元．
故选C.
答案：C

展开更多......

收起↑