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第一节　数列的概念
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 3．能够利用an与Sn的关系求通项公式an. 4．掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式an. 近两年的新高考试卷中都没有单独考查数列的概念等有关问题． 数学抽象 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照________排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项与________之间的关系式
前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an
【微点拨】
(1)数列研究的是有规律的一列数，归纳与猜想是研究数列的重要方法．
(2)有序性是数列的主要特征，数列的项an是序号n的函数，其中n是正整数．
2．数列的表示法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点________画在平面直角坐标系中
公式法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法
递推 公式 使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法
【微点拨】
(1)并不是所有的数列都有通项公式．
(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一．
3．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
按项 的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列 an递减数列 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列 an>an＋1
常数列 各项________的数列 an＝an＋1
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
【微点拨】
数列的前三项的增减性是判断数列是否具有增减性的必要条件，解题时要灵活运用．
4.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝
【微点拨】
由Sn求an的三个步骤：①求a1＝S1；②当n≥2时，求an＝Sn－Sn－1；③验证首项．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
2．一个数列中的数是不可以重复的．(　　)
3．所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)
4．根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　)
题组二　教材改编
5．已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，则a5等于(　　)
A．　　　B．　　　　C．　　　D．
6．根据如图所示的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．
题组三　易错自纠
7．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是(　　)
A． B．30
C．31 D．32
8．已知Sn＝2n＋3，则an＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　根据数列的前几项求数列的通项公式
[例1]　(1)(多选)数列1，2，1，2，…的通项公式可能为(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
(2)数列－，－，…的通项公式可能是an＝(　　)
A． B．
C． D．
(3)一个数列{an}的前4项是0.8，0.88，0.888，0.888 8，则这个数列的一个通项公式是an＝________．
[听课记录]
类题通法
根据数列的前几项求通项公式的常用策略
[巩固训练1]　(1)数列，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
(2)数列，－，－，…的一个通项公式可以为________．
题型二　由an与Sn的关系求通项an　　
[例2]　(1)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，n∈N*，则an＝(　　)
A.2n B．2n－1
C.2n D．2n－1
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝SnSn＋1，a1＝－1，则an＝________．
(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
[听课记录]
类题通法
Sn与an关系问题的求解策略
[巩固训练2]　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1　 B．
C． D．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则an＝________．
题型三　数列的函数特征
角度1 数列的周期性
[例3]　[2022·河北邯郸模拟]已知数列{an}满足2an＋1＝4＋anan＋1且a3＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 022＝________．
[听课记录]
类题通法
解决数列周期性问题的一般方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
[巩固训练3]　已知数列{an}中，a1＝2，an＝1－ (n≥2)，则a2 021＝(　　)
A．　　　B．　
C．－1 D．2
角度2 数列的单调性
[例4]　已知k>0且k≠1，函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，3) D．(3，＋∞)
[听课记录]
类题通法
[巩固训练4]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn(λ∈R)，且为严格单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．
角度3 数列中的最值
[例5]　(1)(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·，则数列的最大项可能为(　　)
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第11项
(2)[2022·天津河西区模拟]已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为________．
[听课记录]
类题通法
求数列的最大项与最小项的三种常用方法
[巩固训练5]　已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________．
由数列的递推关系求通项公式
方法一　累加法
[典例1]　[2022·天津一中月考]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an＝ B．an＝
C.an＝ D．an＝n2－n＋1
【解析】　因为an＋1＝an＋n，所以an＝an－1＋n－1(n≥2)
又a1＝1，利用累加法，有
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1
＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1＋1
＝＋1
＝
故选C.
【答案】　C
类题通法
已知a1，且an－an－1＝f(n)时，用累加法求解．
方法二　累乘法
[典例2]　[2022·辽宁大连模拟]已知a1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝n B．an＝
C．an＝n2 D．an＝2n－1
【解析】　由an＝n(an＋1－an)(n∈N*)得：(n＋1)an＝nan＋1(n∈N*)，即＝(n∈N*)，
则＝＝＝，…，＝，
由累乘法可得＝n，又因为a1＝1，所以an＝n.
故选A.
【答案】　A
类题通法
已知a1，且＝f(n)时，用累乘法求解．
方法三　待定系数法
[典例3]　设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则an＝________．
【解析】　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故an＋1＋3＝＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.
【答案】　5×2n－1－3
类题通法
已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．
方法四　取倒数法
[典例4]　在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则an的表达式为(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
【解析】　数列{an}中，由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，可得＝3＋，所以数列是首项为，公差为3的等差数列，所以＝＋3(n－1)＝.
可得an＝(n∈N*)．
故选B.
【答案】　B
类题通法
形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
第六章　数列
第一节　数列的概念
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．一定顺序　序号n　
2．(n，an)
3．有限　无限　大于　小于　都相等
4．S1　Sn－Sn－1
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.√
5．解析：由已知得a2＝2－＝2－＝，
a3＝2－＝2－＝，
a4＝2－＝2－＝，
a5＝2－＝2－＝.
故选D.
答案：D
6．解析：由a1＝1＝5 ×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.
答案：5n－4
7．解析：将数列{an}的通项公式看作一个关于n的二次函数．
则an＝－n2＋11n＝－＋，
∵n∈N*，
∴当n＝5或6时，an取最大值，
最大值为a5＝a6＝30.
故选B.
答案：B
8．解析：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n－1－3＝2n－1.
当n＝1时，an＝S1＝5不满足上式．
故an＝.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)A中，当n为奇数时，an＝＝1，当n为偶数时，an＝＝2，A正确；B中，当n为奇数时，an＝＝2，B不正确；C中，当n为奇数时，an＝＝1，当n为偶数时，an＝＝2，C正确；D中，当n为奇数时，an＝＝1，当n为偶数时，an＝＝2，D正确．
故选ACD.
(2)因为数列－，－，…可写成
(－1)×，(－1)2×，(－1)3×，(－1)4×，…，
所以其通项公式为an＝(－1)n×＝.
故选D.
(3)数列变为，…，故它的一个通项公式an＝.
答案：(1)ACD　(2)D　(3)
巩固训练1　解析：(1)因为，…可写为，…，
所以an＝为该数列的一个通项公式．
故选B.
解析：(2)数列中每个项的分子分别为1，4，9，16，…可以用n2表示．
分母分别为3，5，7，9，…为等差数列，可以用2n＋1表示．
符号为奇数项为正，偶数项为负，可以用(－1)n＋1表示，
综上：数列的通项公式可以是an＝(－1)n＋1.
答案：(1)B　(2)an＝(－1)n＋1
例2　解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2(an－1)－2(an－1－1)
＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，又a1＝2，
∴an＝2n.
故选C.
(2)∵an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
同除以SnSn＋1得：＝－1，
∴数列是以为首项，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，∴Sn＝－.
当n≥2时，
∴an＝Sn－Sn－1＝－＝，
故an＝
解析：(3)当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得，nan＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝.
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝
答案：(1)C　(2)　(3)
巩固训练2　解析：(1)由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，
即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，
所以Sn＝.
故选B.
解析：(2)当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，即a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
故＝－2，故an＝(－2)n－1.
答案：(1)B　(2)(－2)n－1
例3　解析：根据题意，2an＋1＝4＋anan＋1，a3＝1，得2a3＝4＋a2a3，即2＝4＋a2，得a2＝－2，
又2a2＝4＋a1a2，得a1＝4，类似地，可得a4＝4，a5＝－2，a6＝1，…，
则可知数列an是以3为周期的数列，
所以S2 022＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a2 020＋a2 021＋a2 022)＝674(a1＋a2＋a3)＝3×674＝2 022.
答案：2 022
巩固训练3　解析：因为a1＝2，an＝1－(n≥2)，
所以a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，a5＝1－＝，…，
所以数列{an}的周期为3，
又2 021÷3＝673……2，所以a2 021＝a2＝.
故选A.
答案：A
例4　解析：因为{an}是递增数列，所以，解得k>3，所以实数k的取值范围是(3，＋∞)．
故选D.
答案：D
巩固训练4　解析：由数列{an}是严格单调递增数列，
所以an＋1－an>0，即(n＋1)2－λ(n＋1)－n2＋λn＝2n＋1－λ>0，
即λ<2n＋1(n∈N*)恒成立，
又数列{(2n＋1)}是单调递增数列，
所以当n＝1时，2n＋1取得最小值3，
所以λ<3.
答案：(－∞，3)
例5　解析：(1)因为an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝，所以当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1解析：(2)令an＝≥0，解得n≤3或n≥，
∴当n≤3时，an≥0，Sn单调递增，
当4≤n≤8时，an<0，Sn单调递减，
当n≥9时，an>0，Sn单调递增，
所以Sn取得最小值时n的值为8.
答案：(1)BC　(2)8
巩固训练5　解析：an＝＝＝1＋，
当n≥11时，＞0，且单调递减；当1≤n≤10时，＜0，且单调递减．
因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项．
a11＝3，a10＝－1.
答案：3，－1

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