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第二节　等差数列
课程标准 考情分析 核心素养
1.能够利用公式求等差数列指定项、前n项和． 2．会利用等差数列定义、等差中项证明数列是等差数列． 3．熟练掌握利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值． 2020(Ⅰ)第14题考查了等差数列及其前n项和； 2021(Ⅰ)第17题考查了等差数列的通项公式及数列求和； 2021(Ⅱ)第17题考查了等差数列的通项公式及等差数列前n项和公式． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于________，那么这个数列就叫做等差数列．
2．等差数列中的有关公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差是d，前n项和为Sn，则
等差数列定义式 ________________(n≥2，d为常数)
等差中项 A＝________(A是a与b的等差中项)
通项公式 ________________或________________
前n项和公式 Sn＝______________＝______________
【微点拨】
(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*) d＝(n≠m)．
(2)推导等差数列前n项和的方法为倒序相加法．
3.等差数列的性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w∈N*)．
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
4．等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝________，当d≠0时，它是关于n的________，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点．
【微点拨】
当d＞0时，{an}是递增数列；
当d＜0时，{an}是递减数列；
当d＝0时，{an}是常数列．
(2)前n项和公式可变形为Sn＝____________，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的________，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点．
【微点拨】
若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
[常用结论]
等差数列的性质
1．已知{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，Sn是{an}的前n项和，则有以下结论：
(1){a2n}是等差数列，公差为2d1.
(2){pan＋qbn}(p，q都是常数)是等差数列，且公差为pd1＋qd2.
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md1的等差数列．
(4)是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是d1.
(5)数列{pan}，{an＋q}(p，q都是常数)都是等差数列，且公差分别为pd1，d1.
2．关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若项数为2n－1(n≥2)，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则它们之间的关系为＝.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
2．等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
3．数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　)
4．等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　　)
题组二　教材改编
5．在等差数列{an}中，若a3＋a7＝10，a6＝7，则公差d＝(　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
6．《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　)
A． B．
C． D．
题组三　易错自纠
7．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d<
C．8．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
题型突破·提高“四能”
题型一　等差数列基本量的运算
[例1]　(1)[2021·北京卷]《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5(单位：cm)，且长与宽之比都相等，已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝(　　)
A．64　　 B．96
C．128 D．160
(2)[2020·新高考Ⅰ卷]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
[听课记录]
类题通法
等差数列基本运算的求解策略
[巩固训练1]　(1)[2022·重庆模拟]已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝，则a10＝(　　)
A．　　　B．5 C．10　　　D．40
(2)[2022·河北沧州模拟]设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4＝2S3－2，2a5－a6＝7，则S8＝________．
题型二　等差数列的判定与证明
[例2]　[2022·广东实验中学月考]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[听课记录]
类题通法
等差数列的四个判定方法
[巩固训练2]　已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
题型三　等差数列性质的应用
[例3]　(1)[2022·湖南怀化模拟]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＋a8＝44，则S9＝(　　)
A．66 B．99
C．110 D．198
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
(3)[2022·山东实验中学模拟]已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)
A．28 B．29
C．30 D．31
[听课记录]
类题通法
应用等差数列的性质的解题策略
[巩固训练3]　(1)[2022·福建莆田模拟]已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则a4－3a6的值为(　　)
A．－6 B．6
C．－12 D．12
(2)[2022·山东临沂一中月考]已知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 020，＝6，则S2 022＝________．
题型四　等差数列前n项和的最值问题
[例4]　[2022·湖南湘潭模拟]已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＋1＝an＋d，(n∈N*，d为常数)，若S3＝12，a3a5＋2a3－5a5－10＝0.求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)Sn的最值．
[听课记录]
类题通法
求等差数列前n项和Sn的最值的两种常用方法
[巩固训练4]　(多选)[2022·福建泉州模拟]记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝10，S5＝S2，则(　　)
A．S3＝S4 B．a6＝10
C．Sn的最大值为30 D．an的最大值为15
第二节　等差数列
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．同一个常数
2．an－an－1＝d　　an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
　na1＋d
4．(1)dn＋(a1－d)　一次函数　(2)n2＋n　
二次函数　
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.×
5．解析：在等差数列{an}中，
因为a3＋a7＝10，a6＝7，
所以
解得
故选B.
答案：B
6．解析：设五个人所分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，
∴a＝20.
又由题意知(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
即24d＝11a，
∴d＝×20＝.
∴最小的一份为a－2d＝20－×2＝.
故选A.
答案：A
7．解析：由题意可得
即
所以答案：D
8．解析：∵S5∴a6＝S6－S5>0.
∵S6＝S7>S8，
∴a7＝S7－S6＝0，a8＝S8－S7<0，
∴d＝a8－a7<0，
∵a7＝a5＋2d＝a3＋4d＝0，
∴a5＝－2d，a3＝－4d.
∴S9＝＝9a5＝－18d，
S5＝＝5a3＝－20d.
∴S9∵S6＝S7>S8，S5∴S6与S7均为Sn的最大值．
故选ABD.
答案：ABD
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由题意，五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，设公差为d，
因为a1＝288，a5＝96，可得d＝＝＝－48，
可得a3＝288＋(3－1)×(－48)＝192，
又由长与宽之比都相等，且b1＝192，可得＝，所以b3＝＝＝128.
故选C.
解析：(2)设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝＝＝＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝×n＝3n2－2n.
答案：(1)C　(2)3n2－2n
巩固训练1　解析：(1)设数列公差为d，则由已知得，由于d≠0，故解得a1＝d＝，
所以a10＝×9＝.
故选A.
解析：(2)设{an}的公差为d.因为所以，
解得
所以S8＝8a1＋d＝8×1＋×2＝64.
答案：(1)A　(2)64
例2　解析：(1)证明：由已知＝2得Sn＝，且bn≠0，bn≠，
取n＝1，由S1＝b1得b1＝，
由于bn为数列{Sn}的前n项积，
所以··…·＝bn，
所以··…·＝bn＋1，
所以＝，
由于bn＋1≠0，
所以＝，即bn＋1－bn＝，其中n∈N*，
所以数列{bn}是以b1＝为首项，以d＝为公差的等差数列；
解析：(2)由(1)可得，数列{bn}是以b1＝为首项，以d＝为公差的等差数列，
∴bn＝＋(n－1)×＝1＋，
Sn＝＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－，显然对于n＝1不成立，
∴an＝.
巩固训练2　解析：(1)因为an＋1＋1＝＋1＝，
所以＝＝3＋，
所以＝3，
所以是首项为＝3，
公差为3的等差数列．
(2)由①得＝3n，所以an＝－1.
例3　解析：(1)a2＋a4＋a6＋a8＝44，得4a5＝44，解得a5＝11，
则S9＝＝9a5＝9×11＝99，
故选B.
(2)在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7，14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
故选B.
(1)B (3)设等差数列{an}共有2n＋1项，
则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，中间项为an＋1，
故S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，
an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29，
故选B.
答案：(1)B　(2)B　(3)B
巩固训练3　解析：(1)由等差中项的性质可得a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，
设等差数列{an}的公差为d，则a4－3a6＝a4－a6－2a6＝－2d－2a6＝－2(a6＋d)＝－2a7＝－6.
故选A.
(2)因为S7＝＝＝7a4，T11＝＝＝11b6，
所以＝＝＝，
故选A.
解析：(3)由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 021d＝－2 020＋2 021＝1，
所以S2 022＝1×2 022＝2 022.
答案：(1)A　(2)A　(3)2 022
例4　解析：(1)在数列{an}中，an＋1＝an＋d，(n∈N*，d为常数)，则数列{an}是等差数列，公差为d，
由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝12得：a2＝4，
又a3a5＋2a3－5a5－10＝0，即(a3－5)(a5＋2)＝0，于是有a3＝5，或a5＝－2，
由得：d＝a3－a2＝1，a1＝3，此时，an＝n＋2，
由得：d＝＝－2，a1＝6，此时，an＝－2n＋8，
所以数列{an}的通项公式是an＝n＋2或an＝－2n＋8；
解析：(2)当an＝n＋2时，Sn＝，显然Sn＝是关于正整数n的增函数，
所以S1＝3为Sn的最小值，Sn无最大值；
当an＝－2n＋8时，Sn＝－n2＋7n＝－＋，而n为正整数，则当n＝3或n＝4时，Sn有最大值S3＝S4＝12，Sn无最小值，
所以S3＝S4＝12是Sn的最大值，Sn无最小值．
巩固训练4　解析：设等差数列的公差为d，
则由题可得，解得a1＝15，d＝－5，
∴an＝15＋(n－1)×(－5)＝20－5n，Sn＝＝，
∴a4＝0，S3＝S4，故A正确；a6＝－10，故B错误；
当n＝3或4时，Sn取得最大值为30，故C正确；
由于d<0，所以an的最大值为a1＝15，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD

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