资源简介

第三节　等比数列
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 3．了解等比数列与指数函数的关系． 2020(Ⅰ)第18题考查了等比数列的通项公式与求和； 2021(Ⅰ)第16题考查了等比数列求和． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比都等于________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
【微点拨】
(1)等比数列的每一项都不可能为0.
(2)公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n无关的常数．
2.等比数列中的有关公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比是q，前n项和为Sn，则
等比数列定义式 ________(n≥2，q≠0且q为常数)
等比中项 ＝(G是a与b的等比中项)
通项公式 ________
前n项和公式 当q＝1时，Sn＝________； 当q≠1时，Sn＝________＝________
【微点拨】
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)并不是任意两个实数都有等比中项，只有同号的两个非零实数才有．
3.等比数列的性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝，其中m，n，w∈N*.
(2)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.
4．等比数列与函数的关系
(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an＝qn(q≠1)，
前n项和公式可以写成Sn＝qn－(q≠1)．
(2)①当或时，{an}是递增数列；
②当或时，{an}是递减数列；
③当q＝1时，数列{an}是常数列；
④当q<0时，数列{an}为摆动数列．
【微点拨】
当q≠1且a1≠0时，y＝qx是指数函数，y＝·qx是指数型函数，因此数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上一些孤立的点．
[常用结论]
等比数列的性质
(1)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则}，{an·bn}，，{pan·qbn}和仍然是等比数列(其中b，p，q是非零常数)．
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*).
(3)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，…成等比数列．
(4)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增．(　　)
2．满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
3．G为a，b的等比中项 G2＝ab.(　　)
4．如果数列{an}为等比数列，则数列{lg an}是等差数列．(　　)
题组二　教材改编
5．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)
A．179　　B．211
C．243 D．275
6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)
题组三　易错自纠
7．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4　 B．4
C．± D．
8．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和Sn＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　等比数列基本量的运算
[例1]　(1)[2022·山东章丘模拟]已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝＝a4，则a5＝(　　)
A． B．
C．8 D．16
(2)[2022·河北唐山模拟]在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a3＝4，a2＋a4＝10，则S5＝________．
[听课记录]
类题通法
等比数列基本量的运算的解题策略
[巩固训练1]　(1)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
(2)[2022·辽宁中学月考]等比数列{an}中，a3＝－12，a11＝－，则a7＝________．
题型二　 等比数列的判断与证明
[例2]　[2022·湖北十堰模拟]已知Sn是数列{an}的前n项和，an＋1－3an＋2an－1＝1，a1＝1，a2＝4.
(1)证明：数列{an＋1－an＋1}是等比数列；
(2)求Sn.
[听课记录]
类题通法
等比数列的三种常用判定方法
[巩固训练2]　在数列{an}中＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
题型三　 等比数列性质的应用
[例3]　(1)[2022·渤海大学附中月考]已知递增等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，若an＝128，则n＝(　　)
A．5　　B．6
C．7 D．8
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A． B．－
C． D．
(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
[听课记录]
类题通法
应用等比数列的性质解题策略
[巩固训练3]　(1)设等比数列{an}中，每项均是正数，a5a6＝81，则＝(　　)
A．20　 B．－20
C．－4　 D．－5
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn.若＝，则公比q＝________．
10 数列中的数学文化
一、等差数列模型
[典例1]　[2022·北京171中学月考]中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为(　　)
A．3.4尺 B．4.36尺
C．5.32尺 D．21.64尺
【解析】　设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列{an}的前13项，则a1＝13，a13＝1.48，
所以公差为d＝×(1.48－13)＝－0.96，
则立夏的晷影长应为a10＝a1＋(10－1)d＝13－9×0.96＝4.36(尺)
故选B.
【答案】　B
二、等比数列模型
[典例2]　[2022·湖南湘潭模拟]
我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533－1606年)所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯(　　)
A．192盏 B．128盏
C．3盏 D．1盏
【解析】　设这个塔顶层有x盏灯，
则问题等价于一个首项为x，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以＝381，解得x＝3，
所以这个塔的最底层有3×27－1＝192盏灯．
故选A.
【答案】　A
三、递推数列模型
[典例3]　[2022·山东烟台模拟]任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1－4－2－1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．例如：正整数m＝6，
根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．“冰雹猜想”可表示为数列{an}：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝.若a6＝2，则m的所有可能取值之和为________．
【解析】　由题意，a1→a2→a3→a4→a5→a6可能情况有：
1、1→4→2→1→4→2，则a1＝m＝1；
2、8→4→2→1→4→2，则a1＝m＝8；
3、10→5→16→8→4→2，则a1＝m＝10；
4、64→32→16→8→4→2，则a1＝m＝64；
∴m的所有可能取值之和1＋8＋10＋64＝83.
【答案】　83
类题通法
1.解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2．解答数列应用题需过好“四关”
第三节　等比数列
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．2　同一个常数　公比
2.＝q　an＝a1qn－1　na1　 　
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.×
5．解析：设公比为q，
因为a1＝81，a5＝16，所以q4＝＝＝，且q>0，
∴q＝，∴S5＝＝＝211.
故选B.
答案：B
6．解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，所以an＝2n，
则2n＝8×210＝213，所以n＝13.
即病毒共复制了13次．
所以所需时间为13×3＝39(秒).
答案：39
7．解析：设a4与a8的等比中项是x.由等比数列{an}的性质可得＝a4a8，所以x＝±a6.
所以a4与a8的等比中项x＝±a6＝±×25＝±4.
故选A.
答案：A
8．解析：∵a≠0，an＝an，
∴{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．
当a＝1时，Sn＝n.
当a≠1时，Sn＝.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)设递增的等比数列{an}的公比为q，且q>1，
∵S3＝＝a4，
∴a1(1＋q＋q2)＝q4＝a1q3，
解得a1＝，q＝2；a1＝2，q＝(舍去)．
则a5＝×24＝8.
故选C.
解析：(2)设等比数列{an}的公比为q，依题意有，解得或，
当时，S5＝＝31，
当时，S5＝＝＝31，
综上S5＝31.
答案：(1)C　(2)31
巩固训练1　解析：(1)∵S2＝3，S4＝15
∴S4－S2＝a3＋a4＝12
由
即
得＝4＝q2(q>0)
∴q＝2，故选D.
解析：(2)由题意知，设等比数列{an}的公比为q，
则a3＝a1q2＝－12
a11＝a1q10＝a3q8＝－12·q8＝－，
所以q8＝，得q4＝，
所以a7＝a1q6＝a3q4＝－12＝－6.
答案：(1)D　(2)－6
例2　解析：(1)证明：因为an＋1－3an＋2an－1＝1，
所以an＋1－an＝2(an－an－1)＋1，
即＝2.
因为a1＝1，a2＝4，所以a2－a1＋1＝4，
故数列{an＋1－an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知an＋1－an＋1＝2n＋1.
因为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(22＋23＋…＋2n)－(n－1)＋1，
所以an＝2n＋1－n－2.
所以Sn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n)－2n＝－2n，
故Sn＝2n＋2－－4.
巩固训练2　解析：(1)证明：因为＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即＝.
因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以＝2，
所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
解析：(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，
所以Sn＝－n＝3·2n－n－3.
例3　解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由等比数列的性质可得a3·a4＝a2·a5＝32.
则，解得或，
因为数列是递增数列，所以，
则由a5＝a2q3，得16＝2q3，解得q＝2，
所以an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1，
由an＝128，得2n－1＝128，解得n＝8，
故选D.
(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列．
所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝.
故选A.
解析：(3)由题意，得
解得，
所以q＝＝＝2.
答案：(1)D　(2)A　(3)2
巩固训练3　解析：a1＋a2＋…＋a10＝ (a1·a2·…·a10)＝5＝－20.
故选B.
解析：(2)由＝，a1＝－1知公比q≠±1，
则可得＝－.
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，
故q5＝－，q＝－.
答案：(1)B　(2)－

展开更多......

收起↑