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第一节　导数的概念及其意义、导数的运算
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查导数的几何意义和导数的运算，但有与导数的单调性、最值等一起考查的，如：2021(Ⅰ)中的第7、15、22题；2021(Ⅱ)中的第21、22 题． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.导数的概念及其几何意义
(1)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝，即f′(x0)＝＝.
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义，是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的________．相应地，切线方程为________________．
(3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.
【微点拨】
(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，且[f(x0)]′＝0.
(2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．
2．导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝________
(2)导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
①[f(x)±g(x)]′＝________________．
②[f(x)g(x)]′＝________________．
③＝________________(g(x)≠0).
(3)复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________________________．
[常用结论]
1．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切时只有一个公共点．
2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
3.＝－ (f(x)≠0).
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　)
2．f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)
3．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
4．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (　　)
题组二 教材改编
5．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　)
A．9.1米/秒　　B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
6．曲线y＝x2＋ 在点(1，4)处的切线方程为________．
题组三 易错自纠
7．已知函数f(x)＝ln x－f′(1)ex＋2，则f(1)＝(　　)
A．＋2 B．－＋2
C．2 D．－2
8．已知函数f(x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R).若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝________，b＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　导数的运算　 　　
[例1]　(1)函数f(x)＝的导函数f′(x)＝(　　)
A．2 B．
C． D．
(2)[2022·浙江舟山中学月考]函数f(x)＝cos x(sin x＋1)的导数是(　　)
A．cos 2x＋sin x
B．cos 2x－sin x
C．cos 2x＋cos x
D．cos 2x－cos x
(3)[2022·河北保定模拟]已知函数f(x)＝xe2x－e的导函数为f′(x)，则f′(0)＝________；若ln x0＋2x0＝3，则f(x0)＝________．
[听课记录]
类题通法
[巩固训练1]　(1)下列求导运算正确的是(　　)
A．′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(x cos x)′＝－sin x D．′＝1＋
(2)已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．
(3)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f＝________．
题型二　导数的几何意义　　
角度1 求切线方程
[例2]　[2022·河北石家庄二中月考]已知函数f(x)＝2ln x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程；
(2)求曲线y＝f(x)过点(0，0)的切线方程．
[听课记录]
类题通法
求曲线的切线方程的2种类型及方法
[巩固训练2]　(1)[2022·山东泰安模拟]曲线y＝在x＝0处的切线方程是________．
(2)已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
角度2 求切点坐标
[例3]　[2022·河北辛集中学月考]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(－1，3)和(1，1) D．(－1，3)和(1，3)
[听课记录]
类题通法
求切点坐标的思路
先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式，求出切点的纵坐标．
[巩固训练3]　设a∈R，函数f(x)＝ex＋的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．
角度3 求参数的值或范围
[例4]　(1)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(2)[2022·山东菏泽模拟]若直线ax＋y＋1＝0与曲线y＝在点(3，2)处的切线垂直，则实数a＝(　　)
A． B．－
C．2 D．－2
[听课记录]
类题通法
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
[提醒]　(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)切点既在切线上，又在曲线上．
[巩固训练4]　(1)[2022·重庆模拟]直线y＝9x＋b是曲线y＝x3＋6x＋3的一条切线，则实数b＝(　　)
A．－4或3 B．1或5
C．－4 D．5
(2)[2022·河北邯郸模拟]若曲线y＝x2＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线x－2y＋2＝0平行，则实数a的值为________．
角度4 两曲线的公切线问题
[例5]　[2022·湖南衡阳模拟]若函数f(x)＝1－ax2(a>0)与g(x)＝1－ln x的图象存在公切线，则实数a的最小值为(　　)
A． B．
C． D．1
[听课记录]
类题通法
解决公切线问题的思路
设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.
解出x1，x2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．
[巩固训练5]　若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________．
第四章　一元函数的导数及其应用
第一节　导数的概念及其意义、导数的运算
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(2)斜率　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
2．(1)0　nxn－1　cos x　－sin x　ax ln a　ex　　(2)f′(x)±g′(x)　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　　(3)y′u·u′x
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.√　4.×
5．解析：因为函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，
所以h′(t)＝－9.8t＋8，所以在t＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．
故选C.
答案：C
6．解析：∵y′＝2x－，
∴y′|x＝1＝2－3＝－1.
∴所求切线方程为：
y－4＝－(x－1)，
即x＋y－5＝0.
答案：x＋y－5＝0
7．解析：因为f(x)＝ln x－f′(1)ex＋2，
则f′(x)＝－f′(1)ex，
则f′(1)＝1－f′(1)e，
即f′(1)＝，
则f(1)＝－＋2.故选B.
答案：B
8．解析：∵f(x)＝(bx－1)ex＋a，
∴f′(x)＝ex(bx＋b－1)．
又f′(0)＝1，f(0)＝0，
∴b－1＝1，－1＋a＝0，
解得a＝1，b＝2.
答案：1　2
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)∵f(x)＝＝，
∴f′(x)＝×2＝
＝ .
故选D.
(2)由f(x)＝cos x(sin x＋1)可得：
f′(x)＝－sin x(sin x＋1)＋cos x·cos x＝cos2x－sin2x－sinx＝cos 2x－sin x.
故选B.
解析：(3)∵f(x)＝xe2x－e，
∴f′(x)＝e2x＋2xe2x＝(2x＋1)e2x，
令x＝0，得f′(0)＝(2×0＋1)×e0＝1；
∵ln x0＋2x0＝)＝3，
＝e3，
∴f(x0)＝－e＝e3－e.
答案：(1)D　(2)B　(3)1　e3－e
巩固训练1　解析：(1)A：′＝－＝－，故错误；
B：(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝(2x＋x2)ex，故错误；
C：(x cosx)′＝(x)′cos x＋x(cos x)′＝cos x－x sin x，故错误；
D：′＝(x)′－′＝1＋，故正确．
故选D.
(2)∵f(x)＝，则f′(x)＝，其中x≠0，
由f′(x0)＋f(x0)＝＝0，可得＋1＝0，解得x0＝.
(3)f′(x)＝2x＋f′cos x，
∴f′＝f′，
∴f′＝，
∴f＝.
答案：(1)D　(2)　(3)
例2　解析：(1)f′(x)＝－1(x>0)．
f′＝2e－1，f＝－2－.
所以曲线在x＝处的切线方程为y－＝(2e－1)，
即y＝(2e－1)x－4.
(2)设切点为P(x0，y0)，则曲线在点P处的切线方程为
y－(2 ln x0－x0)＝(x－x0)，
代入点(0，0)得ln x0＝1，∴x0＝e，y0＝2－e.
所以曲线y＝f(x)过点(0，0)的切线方程为y－(2－e)＝(x－e)，
即y＝x.
巩固训练2　解析：(1)y＝的导数为y′＝，
可得曲线y＝在x＝0处的切线的斜率为k＝－1，
又切点为(0，1)，
所以切线的方程为y＝－x＋1.
(2)点(0，－1)不在曲线f (x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0)．
因为f ′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝)x.
由
解得
所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：(1)y＝－x＋1　(2)x－y－1＝0
例3　解析：设切点P(x0，y0)，
由函数f(x)＝x3－x＋3，可得f′(x)＝3x2－1，
可得切线的斜率为k＝f′(x0)＝－1，
因为曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，
所以－1＝2，解得x0＝±1，
当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)；
当x0＝－1时，可得f(－1)＝3，此时P(－1，3)．
故选D.
答案：D
巩固训练3　解析：∵f′(x)＝ex－，且f′(x)是偶函数，∴e－x－＝ex－，得a＝－1.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝＝，解得x0＝ln 2或x0＝－ln 2.
答案：±ln 2
例4　解析：(1)因为y′＝aex＋ln x＋1，
所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2.
所以a＝e－1.所以切点坐标为(1，1)．
将(1，1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.
故选D.
(2)由y＝，得y′＝＝，
则y′|x＝3＝－，
∵直线ax＋y＋1＝0与曲线y＝在点(3，2)处的切线垂直，
∴(－a)×＝－1，得a＝－2.
故选D.
答案：(1)D　(2)D
巩固训练4　解析：(1)因为y＝x3＋6x＋3，所以y′＝3x2＋6，令y′＝3x2＋6＝9，解得x＝±1，故切点为(1，10)或(－1，－4)，而b＝y－9x，所以b＝10－9＝1或b＝－4＋9＝5.
故选B.
解析：(2)由y＝x2＋a ln x，得y′＝2x＋，
则曲线y＝x2＋a ln x在点(1，1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝2＋a，
因为曲线在点(1，1)处的切线与直线x－2y＋2＝0平行，
所以＝2＋a，所以a＝－.
答案：(1)B　(2)－
例5　解析：方法一：设公切线与f(x)，g(x)图象分别切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则f(x)图象在A处的切线方程为：)＝－2ax1(x－x1)，
即y＝＋1，
同理：g(x)图象在B处的切线方程为：y－(1－ln x2)＝－(x－x2)，
即y＝－x＋2－ln x2，
由上述两直线重合，x1可得，＝(1－ln x2)，
令h(x)＝x2(1－ln x)(x>0)，
则h′(x)＝(1－2ln x)，当x∈(0，)时，h′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，h′(x)<0，
所以h(x)在(0，)单调递增，在(，＋∞)单调递减，
则≤h(x)max＝h()＝，解得a≥.
方法二：在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象如图所示：
由图象知：f(x)，g(x)分别为上凸和下凸函数，要使f(x)，g(x)存在公切线，
只须f(x)≤g(x)在(0，＋∞)上恒成立即可，
即a≥在(0，＋∞)上恒成立．
令h(x)＝，求导得h′(x)＝，
当x∈(0，)时，h′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，h′(x)<0，
所以当x＝时，h(x)取得最大值为，
所以a≥.故选A.
答案：A
巩固训练5　解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln (x2＋1))．则切线方程分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln (x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln (x2＋1)，依题意，
解得x1＝，
从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
答案：1－ln 2

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