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第三节　导数与函数的极值、最值
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2021(Ⅰ)中的第15题考查了利用导数求函数的最值． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.函数的极值与导数
条 件 f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)____0，右侧f′(x)____0 x0附近的左侧f′(x)____0，右侧f′(x)____0
图象 形如山峰 形如山谷
极值 f(x0)为极____值 f(x0)为极____值
极值点 x0为极____值点 x0为极____值点
【微点拨】
(1)f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系．
函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
(2)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
(3)函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点．
2．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________；
②将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【微点拨】
(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值；若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
[常用结论]
导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值，各类不等式与函数最值的关系如下：
不等式类型 与最值的关系
x∈D，f(x)>M x∈D，f(x)min>M
x∈D，f(x) x0∈D，f(x0)>M x∈D，f(x)max>M
x0∈D，f(x0) x∈D，f(x)>g(x) x∈D，[f(x)－g(x)]min>0
x∈D，f(x) x1∈D1， x2∈D2， f(x1)>g(x2) x1∈D1， x2∈D2， f(x1)min>g(x2)max
x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)min>g(x2)min
x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)max>g(x2)max
x1∈D1， x2∈D2，f(x1)>g(x2) x1∈D1， x2∈D2，f(x1)max>g(x2)min
(注：上述的大于、小于分别改为不小于、不大于，相应的与最值关系对应的不等号也改变)
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
2．对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)
3．函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)
4．开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
题组二　教材改编
5．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
6．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1
C．－e D．0
题组三　易错自纠
7．函数f(x)＝m2x3－2mx2＋x在x＝处取得极大值，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．3
C．1 D．0
8．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　用导数解决函数的极值问题
角度1 由图象判断函数的极值
　　
[例1]　(多选)[2022·湖北孝感模拟]已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)在x＝－4时取极小值
B．f(x)在x＝－2时取极大值
C．x＝1.5是f(x)极小值点
D．x＝3是f(x)极小值点
[听课记录]
类题通法
根据函数的图象判断极值的方法
根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型．
[巩固训练1]　[2022·浙江台州月考]已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则(　　)
A．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
B．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
角度2 已知函数解析式求极值
[例2]　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
[听课记录]
类题通法
求函数极值的一般步骤
[巩固训练2]　已知函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x在x＝1处的切线方程6x－y－2＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的极小值．
角度3 已知函数的极值求参数
[例3]　[2022·广东实验中学月考]函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋1在x∈(1，2)内存在极值点，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]
类题通法
已知函数极值点或极值求参数的方法
根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组)，通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围)．
[巩固训练3]　[2022·福建宁德模拟]设f(x)＝(x－1－a)ex－x2＋ax，若f(x)在x＝0处取得极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．[0，＋∞)
题型二　用导数解决函数的最值问题
[例4]　[2021·北京卷]已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．
[听课记录]
类题通法
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
[巩固训练4]　已知函数f(x)＝x3－x2－2ax＋1，且x＝－1是函数f(x)的一个极大值点．
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在[－1，3]上的最大值和最小值．
题型三　用导数解决生活中的优化问题
[例5]　[2022·河北石家庄一中月考]某工厂某种产品的年产量为1 000x吨，其中x∈[20，100]，需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x∈[20，80]时，C(x)＝x2－30x＋500；当x∈(80，100]时，C(x)＝.若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；
(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？
[听课记录]
类题通法
用导数解决生活中的优化问题的两点提醒
(1)理清数量关系，选取合适的自变量建立函数模型．
(2)最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案．
[巩固训练5]　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)求r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
第三节　导数与函数的极值、最值
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．>　<　<　>　大　小　大　小
2．(1)连续不断　(2)极值　端点处的函数值f(a)，f(b)
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.×　3.×　4.√
5．解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个，故选C.
答案：C
6．解析：因为f′(x)＝－1＝，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，e]时，f′(x)<0，
所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.
故选B.
答案：B
7．解析：f′(x)＝3m2x2－4mx＋1，
由题意得：f′＝m2－m＋1＝0，解得：m＝1或m＝3.
当m＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)>0，解得：x>1或x<；令f′(x)<0，解得：故f(x)在上递增，在上递减，在(1，＋∞) 上递增，故x＝是极大值点，符合题意．
当m＝3时，f(x)＝9x3－6x2＋x，f′(x)＝27x2－12x＋1.
令f′(x)>0，解得：x>或x<，令f′(x)<0，解得：综上所述：m＝1.故选C.
答案：C
8．解析：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2.
∵0≤x≤3，∴x＝2，
当0∴函数f(x)在区间(0，2)上单调递减；
当20，
∴函数f(x)在区间(2，3)上单调递增．
又f(0)＝m，f(3)＝m－3，
∵m>m－3，
∴x＝0时，f(x)在[0，3]上取得最大值f(0)＝m.
∴m＝4.
答案：4
题型突破　提高“四能”
例1　解析：由导函数f′(x)的图象可得，
当x＝－4时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以f(x)在x＝－4时取极小值，所以A正确，
当x＝1.5时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以x＝1.5是f(x)极小值点，所以C正确，
而x＝－2和x＝3，左右两边的导数值同号，所以x＝－2和x＝3不是函数的极值点，
所以BD错误，
故选AC.
答案：AC
巩固训练1　解析：由y＝f′(x)的图象可知，
当x0，所以y＝f(x)单调递增，
当x2当x>x3时，y＝f′(x)≥0，所以y＝f(x)单调递增，
所以y＝f(x)在x＝x2时为极大值，在x＝x3时为极小值．
故选B.
答案：B
例2　解析：(1)当a＝时，f (x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝＝.
令f ′(x)＝0，解得x＝2.
于是当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表．
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ?↗ ln 2－1 ↘?
故f (x)在定义域上的极大值为f (2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－a＝.
当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x)在定义域上无极值点；
当a>0，x∈时，f ′(x)>0，
x∈时，f ′(x)<0，
故函数f (x)在x＝处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点；
当a>0时，函数f (x)有一个极大值点，且为x＝.
巩固训练2　解析：(1)f′(x)＝＋2bx＋1，由已知可得，解得.
(2)由(1)可得f(x)＝－ln x＋3x2＋x，
∴f′(x)＝－＋6x＋1＝(x>0)，
令f′(x)>0，解得x>；令f′(x)<0，解得0∴f(x)在单调递减，在单调递增，
∴当x＝时，f(x)的极小值为＋ln 3.
例3　解析：若函数f(x)在x∈(1，2)内存在极值点，
则f′(x)＝x2＋2ax－2在(1，2)内有变号零点，
即－2a＝x－在(1，2)上有解，
设g(x)＝x－，x∈(1，2)，
则g′(x)＝1＋＞0，
则g(x)在(1，2)上是增函数，
∵g(1)＝－1，g(2)＝1，
∴g(x)∈(－1，1)，
∴－2a∈(－1，1)，∴a∈.
答案：
巩固训练3　解析：∵f(x)＝(x－1－a)ex－x2＋ax，
∴f′(x)＝ex＋(x－1－a)ex－x＋a＝(ex－1)(x－a)
由f′(x)＝0得，x＝0或x＝a，
∵f(x)在x＝0处取得极小值，
由极小值的定义可知a<0.
故选C.
答案：C
例4　解析：(1)当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝，
∴f(1)＝1，f′(1)＝－4，此时，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0.
(2)因为f(x)＝，则f′(x)＝＝，
由题意可得f′(－1)＝＝0，解得a＝4，
故f(x)＝，f′(x)＝，列表如下：
所以，函数f(x)的增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．
当x<时，f(x)>0；当x>时，f(x)<0.
所以，f(x)max＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(4)＝－.
巩固训练4　解析：(1)f′(x)＝x2－x－2a.
∵x＝－1是函数f(x)的一个极大值点．
∴f′(－1)＝1＋1－2a＝0.
得a＝1，
经检验，当a＝1时，x＝－1是函数f(x)的一个极大值点．
∴a＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋1，
∴f′(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.
则当－10，
所以函数f(x)在(－1，2)上递减，在(2，3)上递增，
∴当x＝2时，f(x)取得最小值，f(2)＝－.
又∵f(－1)＝，f(3)＝－，
∴f(x)的最大值为.
∴f(x)在[－1，3]上的最大值为，最小值为－.
例5　解析：(1)由题意，L(x)＝1 000ln x－C(x)＝
(2)当x∈[20，80]时，L′(x)＝－，
由L′(x)>0，得20∴L(x)在(20，50)上单调递增，在(50，80)上单调递减，
∴当x＝50时，L(x)max＝1 000ln 50－250；
当x∈(80，100]时，L(x)＝1 000ln x－单调递增，
∴L(x)max＝1 000ln 100－2 000.
∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)
＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0，
∴当x＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元．
巩固训练5　解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)．
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得0故函数V(r)的定义域为(0，5)．
解析：(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，(0所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，
故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，
故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

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