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第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解任意角的概念和弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查三角函数的定义． 数学抽象 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.任意角
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向分为________角、________角、________角．
(3)与角α终边相同的角的集合：S＝{β|β＝________________}．
2．弧度制
(1)角度制和弧度制
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制 长度等于________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝________rad，1°＝________rad，1 rad＝°.
(3)扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为n°(α为其圆心角的弧度数)，则：
扇形的弧长 l＝ l＝________
扇形的面积 S＝ S＝lR＝________
【微点拨】
角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝________；cos α＝________，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝____________，cos α＝____________，tan α＝(x≠0)．
【微点拨】
三角函数就是以角α为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点P在α的终边上的位置的改变而改变．
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若α∈，则sin α<α基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
2．角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
3．不相等的角终边一定不相同．(　　)
4．三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　)
题组二　教材改编
5．角－870°的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
6．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
题组三　易错自纠
7．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　象限角与终边相同的角
[例1]　(1)(多选)下列命题正确的是(　　)
A．－是第二象限角
B．是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
(2)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
(3)若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
类题通法
1.判断象限角的两种常用方法
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的一般步骤
[巩固训练1]　(1)[2022·山东济南月考]若α＝＋kπ，k∈Z，则角α的终边在(　　)
A．第一或第三象限
B．第二或第三象限
C．第三或第四象限
D．第二或第四象限
(2)与－2 010°终边相同的最小正角是________．
题型二　扇形的弧长、面积公式　　
[例2]　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
[听课记录]
类题通法
解有关扇形弧长、面积公式问题的三种策略
[巩固训练2]　(1)[2022·河北邢台月考]已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B．
C．2sin 1 D．sin 2
(2)[2022·北京11中月考]若扇形的周长是8 cm，面积是4 cm2，则扇形的圆心角为________rad.
题型三　三角函数定义的应用　　
角度1 利用三角函数定义求值
[例3]　(1)[2022·湖南师大附中月考]已知角θ的终边经过点P(3，4)，则sin θ＋2cos θ＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________．
[听课记录]
类题通法
利用三角函数定义求值的三种类型及策略
[巩固训练3]　(1)[2022·福建福州模拟]已知角α的终边经过点(m，2)，且cos α＝－，则实数m＝(　　)
A．－ B．±2
C．2 D．－2
(2)[2022·山东淄博实验中学月考]在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(－，1)，则sin α(　　)
A．－ B．
C．－ D．
角度2 三角函数值的符号判断
[例4]　(1)(多选)若＝－1，则x可能在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．大于等于0
[听课记录]
类题通法
判断三角函数值符号的关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
[巩固训练4]　(1)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知角α是第二象限角，且＝－cos ，则角是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)端点　(2)正　负　零　(3)α＋k·360°，k∈Z
2．(1)半径　(2)π　　(3)αR　αR2
3．(1)y　x　(2)
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.×
5．解析：－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的终边相同，所以－870°的终边在第三象限．
故选C.
答案：C
6．解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
答案：6π
7．解析：由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．
故选C.
答案：C
8．解析：由三角函数定义知：sin θ＝＝－＜0，故y＜0，解得y＝－3.
答案：－3
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故D正确．故选BCD.
(2)根据题意，角α的终边在直线y＝－x上，
α为第二象限角时，
α＝2kπ＋＝(2k＋1)π－，k∈Z.
α为第四象限角时，
α＝2kπ＋＝(2k＋2)π－，k∈Z.
综上，角α的取值集合是.
故选D.
(3)∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以是第一或第三象限角．
故选C.
答案：(1)BCD　(2)D　(3)C
巩固训练1　解析：(1)当k＝2n，n∈Z时，α＝＋2nπ，n∈Z在第一象限；
当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝＋2nπ，n∈Z在第三象限．
故选A.
(2)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.
答案：(1)A　(2)150°
例2　解析：(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝(cm)．
S弓＝S扇形－S三角形＝×2－×22×sin ＝(cm)2.
巩固训练2　解析：(1)设扇形的半径为R，
由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得R＝，
由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是2R＝，
故选B.
(2)设扇形的圆心角为α，半径为R，则 .
答案：(1)B　(2)2
例3　解析：(1)因为角θ的终边经过点P(3，4)，
所以sin θ＝＝，cos θ＝＝，
所以sin θ＋2cos θ＝＋2×＝2.
故选A.
(2)由题意可知，角α的终边在第二象限，在其终边上任意一点P(x，－x)，由三角函数的定义可知tan α＝＝－1.
答案：(1)A　(2)－1
巩固训练3　解析：(1)由题意得
＝－，且m<0，
解得m＝2(舍去)，或m＝－2，
故选D.
(2)由三角函数的定义可得sin α＝＝.
故选B.
答案：(1)D　(2)B
例4　解析：(1)当x是第一象限角时，＝3≠－1，故x一定不是第一象限角；当x是第二象限角时，＝1－1－1＝－1，即x可以是第二象限角；当x是第三象限角时，＝－1－1＋1＝－1，即x可以是第三象限角；当x是第四象限角时，＝－1＋1－1＝－1，即x可以是第四象限角．
故选BCD.
(2)因为＜2＜3＜π＜4＜，
所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0.
所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.
故选A.
答案：(1)BCD　(2)A
巩固训练4　解析：(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
故选C.
(2)因为角α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k是偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
此时为第一象限角；
当k是奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
此时为第三象限角；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为|cos |＝－cos ，所以cos ≤0，所以为第三象限角．
故选C.
答案：(1)C　(2)C

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