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第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
课程标准 考情分析 核心素养
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 2021(Ⅰ)中的第6题考查了同角三角函数的基本关系的应用． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：________________(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝________________.
【微点拨】
(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．
(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化．
(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ________ ________ ________ ________ ________
余弦 cos α ________ ________ ________ ________ ________
正切 tan α ________ ________ ________
【微点拨】
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan αcos α；sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
2．给角求值的基本原则
负化正，大化小，化到锐角为终了．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
2．对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　)
3．若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)
4．sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
题组二　教材改编
5．已知sin ＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．已知tan α＝2，则的值为________．
题组三　易错自纠
7．已知sin (π－α)＝－，且α∈，则tan (2π－α)等于(　　)
A． B．－
C． D．－
8．已知A＝(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
题型突破·提高“四能”
题型一　诱导公式的应用　　　　
[例1]　(1)[2022·山东临沂模拟]已知sin ＝－，则cos ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．2
(2)计算：2sin ＋cos 12π＋tan ＝______________________．
[听课记录]
类题通法
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
2．常见的互余和互补的角．
互余 的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α；－α与α＋
互补 的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ
[巩固训练1]　(1)[2022·广东广州月考]已知cos ＝，则cos ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)点A(sin 2 021°，cos 2 021°)在直角坐标平面上位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型二　同角三角函数基本关系式的应用
角度1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值
[例2]　(1)[2022·天津南开区模拟]已知sin (α＋3π)＝－，且α为第二象限角，则cos α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
(2)[2022·湖南武汉月考]已知tan α＝－2，α(0，π)，则cos (π－α)的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
[听课记录]
类题通法
解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．
[巩固训练2]　(1)已知2sin αtan α＝3，则cos α的值是(　　)
A．－1　 B．－
C．　 D．
(2)[2022·江苏灌云一中月考]已知α是第二象限角，且sin α＝，tan α＝________．
角度2 弦切互化
[例3]　(1)[2021·新高考Ⅰ卷]若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)已知＝5，则cos2α＋sinαcos α的值是________．
[听课记录]
类题通法
“弦化切”的两种结构与技巧
[巩固训练3]　(1)[2022·河北沧州模拟]若α∈，2sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　)
A．－2 B．2
C． D．－
(2)已知tan (π－θ)＝2，则sin sin θ的值为________．
角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系
[例4]　(1)[2022·福建三明二中月考]已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)已知sin α·cos α＝，且<α<，则cos α－sin α＝________．
[听课记录]
类题通法
“sin α±cos α，sin α·cos α”关系的应用
sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题中已知1个可求另外2个．
[巩固训练4]　已知sin θ－cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．1
第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)
2．－sin α　－sin α　sin α　cos α　cos α　－cos α　cos α
－cos α　sin α　－sin α　tan α　－tan α　－tan α
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.×
5．解析：∵sin ＝sin
＝－sin ＝－cos α＝，∴cos α＝－，故选B.
答案：B
6．解析：＝＝＝＝3.
答案：3
7．解析：∵sin (π－α)＝－，∴sin α＝－，
又∵α∈，∴cos α＝，则tan α＝－，
∵tan (2π－α)＝－tan α＝.
故选A.
答案：A
8．解析：当k为偶数时，
A＝＝2.
当k为奇数时，
A＝＝－2.
∴A的值构成的集合是{2，－2}．
答案：{2，－2}
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由三角函数的诱导公式，可得
cos ＝cos ＝sin ＝－.
故选B.
(2)原式＝2sin ＋cos 0＋tan
＝2sin ＋1－tan ＝2sin ＋1－1＝2sin ＝1.
答案：(1)B　(2)1
巩固训练1　解析：(1)cos ＝cos ＝－cos ＝－.
(2)sin 2 021°＝sin 221°＝－sin 41°＜0，cos 2 021°＝cos 221°＝－cos 41°＜0.故选C.
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：(1)∵sin (α＋3π)＝－sin α，
∴sin α＝.
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴＋cos2α＝1
即cos2α＝，∵α为第二象限角，∴cosα＝－.
故选D.
(2)∵tan α＝＝－2，α∈(0，π)，故α为钝角，
又∵sin2α＋cos2α＝1，
所以cosα＝－，
所以cos (π－α)＝－cos α＝，
故选C.
答案：(1)D　(2)C
巩固训练2　解析：(1)因为2sin αtan α＝2sin α·＝＝＝3，所以2cos 2α＋3cos α－2＝0，
解得cos α＝.
故选D.
(2)由α是第二象限角，知cos α＝－＝－＝－，
则tan α＝＝－.
答案：(1)D　(2)－
例3　解析：(1)将式子进行齐次化处理得：
＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.
故选C.
(2)由＝5，得＝5，
解得tan α＝2.
则cos2α＋sinαcos α＝
＝＝＝.
答案：(1)C　(2)
巩固训练3　解析：(1)(2sin α＋cos α)2＝4sin2α＋cos2α＋4sinαcos α＝＝＝，所以11tan2α＋20tanα－4＝0，解得tan α＝－2或tan α＝，又α∈，所以tan α＝－2.
故选A.
(2)∵tan (π－θ)＝－tan θ＝2，∴tan θ＝－2.∴sin sin θ＝cos θ·sin θ＝＝＝＝－.
答案：(1)A　(2)－
例4　解析：(1)(sinθ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝，
而(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，又θ∈，
∴sin θ>cos θ，则sin θ－cos θ＝.
故选A.
(2)由题意，(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
因为<α<，所以cos α答案：(1)A　(2)－
巩固训练4　解析：由sin θ－cos θ＝，得1－2sin θcos θ＝2，所以2sin θcos θ＝－1，又θ∈(0，π)，所以cos θ<0，所以θ∈，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝0，解得sin θ＋cos θ＝0，所以tan θ＝－1.
故选A.
答案：A

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