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第三节　三角恒等变换
课程标准 考情分析 核心素养
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． 近两年的新高考试卷中都没有单独考查三角恒等变换，但有渗透到三角函数、解三角形及平面向量中，如2020(Ⅰ)中的第17题，2021(Ⅰ)中的第6、10题． 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin (α±β)＝________________________．
(2)cos (α±β)＝________________________．
(3)tan (α±β)＝________________________．
【微点拨】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝____________＝____________．
(3)tan2α＝.
【微点拨】
二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角．
3．半角公式
sin＝± ，cos ＝± ，
tan ＝± (符号由所在象限决定)．
[常用结论]
(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tanα±tan β＝tan (α±β)(1 tan α·tan β)．
(4)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
2．存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
3．公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
4．存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
题组二　教材改编
5．sin 164°·sin 224°＋sin 254°·sin 314°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
6．(多选)下列各式的值正确的是(　　)
A．sin 15°cos 15°＝
B．cos2－sin2＝
C．＝1
D．2cos222.5°－1＝
题组三　易错自纠
7．化简：＝(　　)
A．2sin 3　 B．2cos 3
C．－2sin 3　 D．－2cos 3
8．已知α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝________．
题型突破·提高“四能”
题型一　三角函数式的化简
[例1]　(1)[2022·湖南长郡中学模拟]设sin 20°＝m，cos 20°＝n，化简＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)若<α<2π，则＝________．
[听课记录]
类题通法
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
[巩固训练1]　(1)cos (α－35°)cos (α＋25°)＋sin (α－35°)sin (α＋25°)等于(　　)
A．　 B．－
C． D．－
(2)已知0＜θ＜π，则＝_____________________.
题型二　三角函数式的求值
角度1 给角求值
[例2]　(1)[2022·广东佛山模拟]sin 40°(tan 10°－)＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
(2)求值：cos ·cos ·cos ＝________．
[听课记录]
类题通法
给角求值的思路
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．
[巩固训练2]　(1)＝(　　)
A．4　 B．2
C．－2　 D．－4
(2)[2022·山东泰安模拟]计算＝________．
角度2 给值求值
[例3]　(1)[2022·福建宁化一中月考]若cos＝，α∈，则sin 2α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
(2)[2022·重庆南开中学模拟]已知sin ＝，则sin ＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
(3)[2022·湖南衡阳模拟]已知α，β为锐角，tan ＝，tan ＝，则tan (α＋2β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
[听课记录]
类题通法
给值求值的策略
[巩固训练3]　(1)[2022·河北保定模拟]已知cos θ＝，tan θ<0，则sin (π－2θ)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
(2)已知sin ＝，且α为锐角，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(3)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝________．
角度3 给值求角
[例4]　若sin 2α＝，sin (β－α)＝且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A．　 B．
C．或 D．或
[听课记录]
类题通法
给值求角的求解原则
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
[巩固训练4]　[2022·湖北武汉月考]已知0<α<<β<π且sin α＝，cos (β－α)＝，则β＝(　　)
A． B．
C． D．
题型三　三角恒等变换的综合应用
[例5]　[2022·湖南怀化月考]已知函数f(x)＝2cos x·sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若锐角α满足f＝－，求sin α的值．
[听课记录]
类题通法
1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝sin (x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
[巩固训练5]　已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωx cos ωx(ω>0)图象的任意两条相邻对称轴间距离为.
(1)求ω的值；
(2)若α是第一象限角，且f＝，求sin 的值．
第三节　三角恒等变换
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)sin αcos β±cos αsin β　(2)cos αcos β sin αsin β　(3)
2．(2)2cos2α－1　1－2sin2α
基本技能、思想、活动经验
1．√　2.√　3.×　4.√
5．解析：原式＝sin16°·(－cos 46°)＋(－cos 16°)·(－sin 46°)＝sin 46°·cos 16°－cos 46°sin 16°＝sin (46°－16°)＝sin 30°＝.故选B.
答案：B
6．解析：A中，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A错；B中，cos2－sin2＝cos＝，B正确；C中，＝·tan45°＝，C错；D中，2cos222.5°－1＝cos45°＝，D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：因为
＝
又因为＜3＜π，
所以原式＝sin 3－cos 3＋sin 3＋cos 3＝2sin 3.
故选A.
答案：A
8．解析：因为α，β为锐角，且cos α＝，cos β＝，所以sin α＝，sin β＝.由α，β为锐角，可得0<α＋β<π，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，故α＋β＝.
答案：
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)因为sin 20°＝m，cos 20°＝n，
所以＝，
＝
＝
＝
＝＝，
故选A.
(2)由<α<2π，
得cos α>0，∈，
∴cos <0.
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝－cos .
答案：(1)A　(2)－cos
巩固训练1　解析：(1)原式＝cos [(α－35°)－(α＋25°)]
＝cos (－60°)＝cos 60°＝.
故选A.
(2)由θ∈(0，π)得0＜＜，所以cos ＞0，
所以＝＝2cos.
又(1＋sin θ＋cos θ)＝·＝2cos ＝－2coscos θ.
故原式＝＝－cos θ.
答案：(1)A　(2)－cos θ
例2　解析：(1)sin 40°·(tan 10°－)
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝
＝
＝－1
故选D.
(2)cos ·cos ·cos
＝cos ·cos ·cos
＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
答案：(1)D　(2)－
巩固训练2　解析：(1)＝＝＝＝＝－4.
故选D.
(2)＝＝
＝＝.
答案：(1)D　(2)
例3　解析：(1)∵cos ＝sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－，
∴sin2α＝2sin αcos α＝2×＝－.
故选B.
(2)sin ＝sin ＝cos
＝1－2sin2＝1－2×＝.
故选A.
(3)因为tan＝tan
＝＝＝，
所以tan(α＋2β)＝tan
＝
＝＝－.
故选A.
答案：(1)B　(2)A　(3)A
巩固训练3　解析：(1)由cos θ＝，tan θ<0，
则sin θ＝－＝－，
所以sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝－.
故选A.
(2)因为sin ＝，且α为锐角，
则－<α－<，
即cos ＝＝，
则cos α＝cos
＝cos cos －sin sin
＝＝.
故选C.
(3)由已知得sin α＝，sin (α＋β)＝.
∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝＝.
答案：(1)A　(2)C　(3)
例4　解析：因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，
故cos (β－α)＝－.
所以cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－＝，又α＋β∈，故α＋β＝.
故选A.
答案：A
巩固训练4　解析：因为sin α＝，
且0<α<<β<π，所以0<β－α<π，因为cos (β－α)＝，所以0<β－α<，所以cos α＝＝，sin(β－α)＝＝，所以cosβ＝cos [(β－α)＋α]
＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)sin α＝＝－，
因为<β<π，所以β＝.
故选D.
答案：D
例5　解析：(1)因为f(x)＝2cos x·sin
＝2cos x，
所以f(x)＝sin x cos x－cos2x＋＝sin2x－(cos 2x＋1)＋，
所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin ，
所以最小周期T＝＝π.
(2)因为f＝sin ＝sin ＝－，所以cos 2α＝－，
又因为cos 2α＝1－2sin2α＝－，且α为锐角，
所以sinα＝.
巩固训练5　解析：(1)f(x)＝cos2ωx＋sinωx cos ωx
＝
＝sin .
又因为函数f(x)图象的任意两条相邻对称轴间距离为，
所以函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，
所以＝3π，
解得ω＝.
(2)据(1)求解知，f(x)＝sin ，
又因为f＝，
所以sin ＝sin ＝cos α＋＝，
所以cos α＝.
又因为α是第一象限角，故sin α＝，
所以sin ＝(sin α＋cos α)＝.

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