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第四节　三角函数的图象与性质
课程标准 考情分析 核心素养
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)． 3．理解正切函数在区间内的单调性． 2021(Ⅰ)中的第4题考查了三角函数的单调区间． 直观想象 逻辑推理 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)y＝sin x五个关键点是：
(0，0)，________，(π，0)，________，(2π，0)．
(2)y＝cos x五个关键点是：
(0，1)，，________，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 ________ ________ R
周期性 2π ________ ________
奇偶性 ________ ________ 奇函数
递增区间 ________ ________ ________
递减区间 ________ ________ 无
对称中心 ________
对称轴方程 ________ ________ 无
【微点拨】
(1)求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．
(2)表示单调区间时，不要忘记k∈Z.
[常用结论]
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(3)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝A cos (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(4)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　　)
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．(　　)
3．函数f(x)＝sin 的最小正周期为2π．(　　)
4．三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．(　　)
题组二　教材改编
5．下列关于函数y＝4cos x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
6．函数y＝3＋2sin 的最大值为________，此时x＝________．
题组三　易错自纠
7．(多选)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
8．函数y＝1＋2sin 的单调递增区间是____________________．
题型突破·提高“四能”
题型一　三角函数的定义域　　
[例1]　[2022·安徽毛坦厂中学月考]x∈[0，2π]，y＝的定义域为________．
[听课记录]
类题通法
求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图象求解．
[巩固训练1]　[2022·湖北黄石月考]若函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
题型二　三角函数的值域或最值　　
[例2]　(1)已知函数f(x)＝2cos ，x∈，则f(x)的值域是(　　)
A．[－2，2] B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[－1，1]
(2)已知函数f(x)＝cos2x－sinx，x∈，则f(x)的最大值为________；最小值为________．
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________．
类题通法
求三角函数的值域(最值)的三种类型及方法
[巩固训练2]　(1)[2022·河北邯郸]当0(2)函数y＝|sin x|＋sin x的值域为________．
题型三　三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
[例3]　(1)[2022·江苏昆山模拟]下列区间中，函数f(x)＝3sin 单调递增的区间是(　　)
A． B．
C． D．
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
[听课记录]
类题通法
求三角函数的单调区间的两种常用方法
[巩固训练3]　[2022·广东深圳月考]下列区间是函数f(x)＝5cos 的单调递减区间的是(　　)
A． B．
C． D．
角度2 已知三角函数的单调性求参数
[例4]　[2022·安徽池州模拟]已知函数f(x)＝cos (ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．(0，1] B．[1，2]
C． D．
[听课记录]
类题通法
已知单调区间求参数范围的两种常用方法
[巩固训练4]　已知ω>0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是________．
题型四　三角函数的周期性、奇偶性与对称性　　
角度1 周期性
[例5]　(多选)下列函数中最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos |2x|
B．y＝|cos x|
C．y＝cos
D．y＝tan
类题通法
求三角函数的周期的两种常用方法
[巩固训练5]　函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
角度2 对称性与奇偶性
[例6]　(1)[2022·重庆月考]对于函数y＝sin x cos x的图象，下列说法正确的是(　　)
A．直线x＝－为其对称轴
B．直线x＝－为其对称轴
C．点为其对称中心
D．点为其对称中心
(2)[2022·福建厦门模拟]已知f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)是偶函数，则f＝________．
类题通法
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求三角函数图象的对称轴及对称中心，需先把所给三角函数式化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ整体看成一个变量z.若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令z＝ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解出x；若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令z＝ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解出x.
[巩固训练6]　(1)(多选)[2022·湖北恩施月考]下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝|sin |x||
B．f(x)＝
C．f(x)＝sin |x|
D．f(x)＝|sin x|
(2)[2022·北京景山中学月考]设函数f(x)＝cos 的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
三角函数解析式中“ω”的求法
在三角函数的图象与性质中ω的求解是一个难点，很多同学对其掌握不好．
一、利用三角函数的单调性求“ω”
[典例1]　[2022·湖北武汉模拟]若函数f(x)＝2cos (ω>0)在区间内单调递减．则ω的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　f(x)＝2cos ＝2cos (ω>0)
当x∈且ω>0时，<2ωx－<πω－，
因为余弦函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
所以， [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
所以，，解得6k＋1≤ω≤2k＋(k∈Z)，
由2k＋≥6k＋1，可得k≤，
∵k∈Z且ω>0，∴k＝0，1≤ω≤.
因此，ω的最大值为.
故选C.
【答案】　C
类题通法
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
二、利用三角函数的对称性求“ω”
[典例2]　已知函数f(x)＝cos (ω>0)的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
【解析】　因为余弦函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为＝(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.
【答案】　A
类题通法
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这又说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．
三、利用三角函数的最值求“ω”
[典例3]　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
【解析】　显然ω≠0.
若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知ω≤－，即ω≤－2.
所以ω的取值范围是(－∞，－2].
【答案】　(－∞，－2]
类题通法
利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
第四节　三角函数的图象与性质
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．(1)　(2)(π，－1)
2．[－1，1]　[－1，1]　2π　π　奇函数　偶函数　　[－π＋2kπ，2kπ]　　[2kπ，π＋2kπ]　(kπ，0)　x＝kπ＋　x＝kπ
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.√　3.×　4.√
5．解析：y＝4cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
故选A.
答案：A
6．解析：函数y＝3＋2sin 的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5　＋2kπ(k∈Z)
7．解析：∵y＝sin ＝－cos x，
∴y＝－cos x为偶函数，
T＝2π，在上是增函数，
图象关于直线x＝0对称，
∴ABC正确．故选ABC.
答案：ABC
8．解析：y＝1＋2sin ＝1－2sin .令u＝x－，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间，解＋2kπ≤x－＋2kπ(k∈Z)，得π＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin 的单调递增区间是[π＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
答案：(k∈Z)
题型突破　提高“四能”
例1　解析：依题意得
因为x∈[0，2π]，
所以有：，因此x∈.
答案：
巩固训练1　解析：要使函数有意义，则2sin x－1≥0，
即sin x≥，
即2kπ＋x≤2kπ＋，k∈Z，得6k＋≤x≤6k＋，k∈Z，
即函数的定义域为(k∈Z)．
故选B.
答案：B
例2　解析：(1)∵x∈，
∴x＋∈，
∴cos ∈，
∴2cos ∈[－1，2]，
即f(x)的值域是[－1，2].
故选B.
(2)f(x)＝1－sin2x－sinx＝－(sin x＋)2＋.
∵－≤x≤，∴－≤sin x≤，
∴当sin x＝－，即x＝－时，f(x)max＝；
当sin x＝，即x＝时，f(x)min＝.
(3)令t＝sin x－cos x，又x∈[0，π]，
∴t＝sin ，t∈[－1，].
由t＝sin x－cos x，得t2＝1－2sin x cos x，
即sin x cos x＝.
∴原函数变为y＝t＋，t∈[－1，].
即y＝－t2＋t＋.
∴当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1；当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1.
故最大值为1，最小值为－1.
∴函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为[－1，1].
答案：(1)B　(2)　(3)[－1，1]
巩固训练2　解析：(1)由题意得f(x)＝
＝，
当0设t＝tan x，t∈(0，1)，
所以g(t)＝＝，
所以当t＝时，函数g(t)取最大值－4.
所以f(x)的最大值为－4.
(2)当sin x≥0时，|sin x|＝sin x，
当sin x<0时，|sin x|＝－sin x，
∴y＝|sin x|＋sin x＝
由－1≤sin x≤1，可知0≤y≤2，
∴函数y＝|sin x|＋sin x的值域为[0，2].
答案：(1)－4　(2)[0，2]
例3　解析：(1)由题知，f(x)＝3sin
＝－3sin ，
由＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
令k＝－1，有f(x)在上单调递增；
令k＝0，有f(x)在上单调递增；
令k＝1，有f(x)在上单调递增；
对于选项所给的区间，只有在区间内，其余的都不在f(x)的任何一个单调增区间内．
故选C.
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
答案：(1)C　(2)，k∈Z　，k∈Z
巩固训练3　解析：因为f(x)＝5cos ＝5cos ，
且函数y＝cos x在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减，
所以2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
kπ＋≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)＝5cos 的单调递减区间是(k∈Z)，
当k＝0，函数f(x)＝5cos 的单调递减区间是，
结合选项知，D选项符合，
故选D.
答案：D
例4　解析：2kπ≤ωx－≤π＋2kπ ≤x≤，
所以f(x)＝cos (ω>0)的单调减区间为，
所以 ，
所以
解得，且k∈Z，
则1≤ω≤，则ω的取值范围是，
故选C.
答案：C
巩固训练4　解析：由0，得<ωx＋<ωπ＋.
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
答案：
例5　解析：A中，y＝cos |2x|＝cos 2x，
它的最小正周期为：＝π；
B中，y＝|cos x|的最小正周期为：＝π；
C中，y＝cos 的最小正周期为：＝π；
D中，y＝tan 的最小正周期为：.
故选ABC.
答案：ABC
巩固训练5　解析：f(x)＝(1－cos 4x)，最小正周期T＝＝.
答案：
例6　解析：(1)∵y＝sin x cos x＝sin 2x，
∴x＝－时，y＝sin ＝0；
x＝－时，y＝sin ＝×1＝；
x＝时，y＝sin ＝，
∴直线x＝－为其对称轴，直线x＝－不是其对称轴，点不是对称中心．
故选B.
(2)f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)是偶函数，则φ＝＋kπ，(k∈Z)，而0<φ<π，故取k＝0时，得φ＝，此时f(x)＝sin ＝cos 2x，所以f＝cos ＝.
答案：(1)B　(2)
巩固训练6　解析：(1)对于A：f(x)＝|sin |x||定义域为R，f(－x)＝|sin |－x||＝|sin |x||＝f(x)，所以f(x)＝|sin |x||为偶函数，
对于B：f(x)＝定义域为R，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)＝不是偶函数，
对于C：f(x)＝sin |x|定义域为R，f(－x)＝sin |－x|＝f(x)，所以f(x)＝sin |x|为偶函数，
对于D：f(x)＝|sin x|定义域为R，f(－x)＝|sin (－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，故f(x)＝|sin x|为偶函数．
故选ACD.
(2)因为函数f(x)＝cos 的最小正周期为，
所以＝，解得ω＝10，
所以f(x)＝cos ，
所以当x＝时，10x－＝，x＝不是函数y＝cos x的对称轴，故A错误；
当x＝－时，10x－＝－π，x＝－是函数y＝cos x的对称轴，故B正确；
当x＝时，10x－＝，x＝不是函数y＝cos x的对称轴，故C错误；
当x＝－时，10x－＝－，x＝－不是函数y＝cos x的对称轴，故D错误．
故选B.
答案：(1)ACD　(2)B

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