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第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)及三角函数的应用
课程标准 考情分析 核心素养
1.了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2020(Ⅰ)第10题考查了已知三角函数图象求解析式． 2021年未考查． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的五个关键点
x －
ωx＋φ ____ ____ ____
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
【微点拨】
用“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的.
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
【微点拨】
先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，左右平移的量是|φ|个单位长度，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，左右平移的量是个单位长度．
[常用结论]
(1)在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．
(2)若直线x＝a为正(余)弦曲线的对称轴，则正(余)弦函数一定在x＝a处取得最值．
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝.
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin .(　　)
2．利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
3．将函数y＝2sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin 的图象．(　　)
4．由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)
题组二　教材改编
5．为了得到y＝3cos 的图象，只需把y＝3cos 图象上的所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
6．已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________________．
题组三　易错自纠
7．为了得到函数y＝2sin 的图象，只要把y＝2sin 3x上所有点(　　)
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
8．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是某年前四个月的统计情况：
月份x 1 2 3 4
收购价格y/(元/斤) 6 7 6 5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系为________．
题型突破·提高“四能”
题型一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换
[例1]　(1)[2022·河北张家口模拟]为了得到函数f(x)＝sin x＋cos x的图象，可以将函数g(x)＝cos x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
(2)[2022·山东淄博实验中学月考]要得到函数y＝sin 的图象，可以将函数y＝cos 的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
类题通法
三角函数图象平移变换问题的解题策略
[巩固训练1]　(1)[2022·江苏常州模拟]已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin 的图象，只需(　　)
A．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位
B．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位
C．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的
D．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍
(2)[2022·北京昌平模拟]已知函数g(x)＝2sin ，函数y＝f(x)的图象可由y＝g(x)图象向右平移个单位长度而得到，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin 2x 　B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝－2sin x D．f(x)＝2sin
题型二　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式　　
[例2]　(1)(多选)[2020·新高考Ⅰ卷]如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
(2)[2022·浙江嘉兴模拟]若函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ________，f＝________．
类题通法
求y＝A sin (ωx＋φ)中φ的两种常用方法
[巩固训练2]　[2022·江苏南通月考]函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象如图，则函数的解析式为(　　)
A．y＝2sin ＋1
B．y＝2sin ＋1
C．y＝2sin ＋1
D．y＝2sin ＋1
题型三　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
角度1 图象与性质的综合应用
[例3]　(多选)[2022·山东济宁模拟]将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．g＝
B．是函数g(x)图象的一个对称中心
C．函数g(x)在上单调递增
D．函数g(x)在上的值域是
类题通法
三角函数图象与性质综合问题的求解步骤
[巩固训练3]　[2022·河北邢台月考]将函数f(x)＝cos 的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g为奇函数
B．g(x)的图象关于直线x＝对称
C．g(x)的图象关于点对称
D．g(x)在上单调递减
角度2 三角函数零点、极值点问题
[例4]　(多选)[2022·重庆二十九中月考]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象经过点A(0，)，且f(x)在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是(　　)
A．ω＝2
B．φ＝
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在(0，2π)上有3个极小值点
类题通法
三角型函数的零点、极值点等函数的性质问题转化为图象交点问题、单调性问题求解，可将y＝A sin (ωx＋φ)中ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
[巩固训练4]　[2022·福建厦门模拟]已知函数f(x)＝x2－x－a sin πx＋1有且仅有一个零点，则实数a＝(　　)
A． B．
C． D．2
角度3 三角函数模型的应用
[例5]　[2022·北大附中月考]如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在t＝0时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是(结果精确到0.1米)(　　)
A．9.3米 B．9.9米
C．15.3米 D．15.9米
类题通法
三角函数模型应用的两种类型及解题策略
[巩固训练5]　(多选)[2022·湖北武昌一中月考]血压(bloodpressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝116＋22sin ，则(　　)
A．函数p(t)的最小正周期为6
B．当天早晨7点时李华的血压为138 mmHg
C．当天李华有高血压
D．当天李华的收缩压与舒张压之差为44 mmHg
第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)及三角函数的应用
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．0　π　2π
2．sin ωx　sin (ωx＋φ)
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.√
5．解析：因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos 图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos 的图象．
故选D.
答案：D
6．解析：由图象知：A＝2，T＝4×＝4π，
所以＝4π，又因为ω>0，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin ，
又f＝2，所以2sin ＝2，
即sin ＝1，
又因为0<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin .
答案：f(x)＝2sin
7．解析：y＝2sin 3xy＝2sin ＝2sin .
故选C.
答案：C
8．解析：设y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，b＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin ＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin ＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin ＋6.
答案：(答案不唯一)y＝sin ＋6
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)f(x)＝sin x＋cos x＝cos
＝cos .
故选A.
(2)因为y＝cos ＝sin ＝sin ，
而y＝sin ，故将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度即可，
故选A.
答案：(1)A　(2)A
巩固训练1　解析：(1)对于A：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x，故A错误；
对于B：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，得到y＝2sin 2x，再右移个单位，得到y＝2sin 2，即为y＝2sin ，故B正确；
对于C：先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y＝2sin ，再将点的横坐标变为原来的，得到y＝2sin ，故C错误；
对于D：先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y＝2sin ，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin ，故D错误．
故选B.
(2)函数g(x)＝2sin 的图象向右平移个单位长度得到f(x)＝2sin ＝2sin .
故选D.
答案：(1)B　(2)D
例2　解析：(1)由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin .由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos ＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.
(2)由波谷处函数值为－，所以A＝，
＝＝，所以T＝2π，
ω＝1，由f(0)＝cos φ＝1，
0<φ<，所以φ＝，
f(x)＝cos ，
f＝cos ＝＝1.
答案：(1)BC　(2)　1
巩固训练2　解析：由图象，A＝＝2，b＝＝1，
T＝2×＝π，ω＝＝2.
2sin ＋1＝1，＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin ＋1.
故选B.
答案：B
例3　解析：g(x)＝sin ＝sin ，
g＝sin ＝，故A错误；
g＝sin ＝0，故B正确；
x∈时，2x－∈ ，所以函数g(x)在上单调递增，故C正确；x∈时，2x－∈，当2x－＝－时，函数取得最小值－1，当2x－＝时，函数取得最大值，所以函数的值域是，故D错误．
答案：BC
巩固训练3　解析：由题意得：g(x)＝f＝cos ；
对于A，g＝cos ＝－sin ，不是奇函数，A错误；
对于B，当x＝时，2x＋＝，∴x＝不是g(x)的对称轴，B错误；
对于C，当x＝－时，2x＋＝0，∴不是g(x)的对称中心，C错误；
对于D，当x∈时，<2x＋<，∴g(x)在上单调递减，D正确．
故选D.
答案：D
例4　解析：因为点A(0，)在f(x)的图象上，所以2sin φ＝，所以sin φ＝.
因为|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝2sin (ω∈N＋)．
由0≤x≤2π，得≤ωx＋≤2πω＋.
因为f(x)在[0，2π]上有且仅有4个零点，
所以4π≤2πω＋<5π，所以≤ω<.
因为ω∈N＋，所以ω＝2，则f(x)＝2sin ，故A正确，B错误．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时，－≤x≤.因为，
所以f(x)在上单调递增，故C正确．
由f(x)的图象易知f(x)在(0，2π)上有2个极小值点，故D错误．
故选AC.
答案：AC
巩固训练4　解析：由f(x)＝x2－x－a sin πx＋1＝0得，x2－x＋1＝a sin πx，
当a<0时，函数g(x)＝x2－x＋1与h(x)＝a sin πx的图象如下图所示，
由于两个函数都关于x＝对称，此时不可能只有一个零点
当a＝0时，方程x2－x＋1＝a sin πx＝0无解，
当a>0时，函数g(x)＝x2－x＋1与h(x)＝a sin πx的图象如下图所示，
要使得只有一个交点，必须g＝h，
即＝a sin ，a＝.
故选B.
答案：B
例5　解析：设∠AOP＝θ，则sin θ＝＝，cos θ＝，由于sin θ＝＝<，所以θ<60°，5秒钟后点P逆时针转了×4×360°＝120°，则θ＋120°<180°，
此时点P与水面的距离是
h＝10sin (120°＋θ－90°)＋6＝10sin (30°＋θ)＋6＝9＋4≈15.9.
故选D.
答案：D
巩固训练5　解析：因为ω＝，所以T＝＝12；
当t＝1时，p(t)＝138，所以当天早晨7点时李华的血压为138 mmHg；
因为p(t)的最大值为116＋22＝138，最小值为116－22＝94>90，所以李华的收缩压为138 mmHg，舒张压为94 mmHg，因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为44 mmHg.
故选BCD.
答案：BCD

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