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第六节　余弦定理、正弦定理及应用举例
课程标准 考情分析 核心素养
掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题． 2020(Ⅰ)第17题考查了应用正弦、余弦定理解三角形． 2021(Ⅰ)第19题考查了应用正弦、余弦定理解三角形． 2021(Ⅱ)第18题考查了应用正弦、余弦定理解三角形． 直观想象 数学运算
教材回扣·夯实“四基”
基础知识
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝__________＝__________＝2R (2)a2＝____________； b2＝____________； c2＝____________
变形 (3)a＝2R sin A，b＝________，c＝________． (4)sin A＝，sin B＝________，sin C＝________； (5)a∶b∶c＝____________． (6)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A (7)cos A＝________； cos B＝________； cos C＝________
【微点拨】
若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．三角形的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bc sin A＝________＝________．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
3．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角(此处可以做成一个表格)
意义 图示
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫________，在水平线下方的角叫________．
(2)方位角
意义 图示
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.
(3)方向角
意义 图示
相对于某一正方向的水平角 ①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．
(4)坡角与坡度
意义 图示
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为________．
[常用结论]
1．在△ABC中，常有以下结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos＝sin .
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)∠A>∠B a>b sin A>sin B cos A2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
基本技能、思想、活动经验
题组一　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
2．当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　)
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
4．方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)
题组二　教材改编
5．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
6．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
题组三　易错自纠
7．在△ABC中，B＝30°，b＝，c＝2，则A＝(　　)
A．15° B．45°
C．15°或105° D．45°或135°
8．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
题型突破·提高“四能”
题型一　利用正弦、余弦定理解三角形
[例1]　(1)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶1则B＝(　　)
A．30°　　 B．60°
C．120°　　 D．150°
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，b＝，c＝3，则A＝________．
[听课记录]
类题通法
利用正弦、余弦定理解题策略
[巩固训练1]　(1)[2022·河北任丘一中月考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
(2)[2022·北航实验学校月考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin C＝2sin A，b2－a2＝ac，则sin B等于________．
题型二　正弦定理、余弦定理的综合应用
角度1 与三角形形状有关的问题
[例2]　(1)[2022·湖北武汉洪山高级中学月考]在△ABC中，已知sin C＝2sin (B＋C)cos B，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
(2)[2021·新高考Ⅱ卷]在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b＝a＋1，c＝a＋2.
①若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
②是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[听课记录]
类题通法
判断三角形形状的常用方法
[巩固训练2]　(1)在△ABC中，边a，b，c所对角分别为A，B，C，且＝＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．有一个角为30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个角为30°的等腰三角形
(2)[2022·湖北武汉月考]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，b＝5，A＝时，
①若a＝7，求c；
②记＝k，当k为何值时，△ABC是直角三角形．
角度2 与三角形面积有关的问题
[例3]　(1)[2022·河北邯郸模拟]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若C＝，b＝2c＝2，则△ABC的面积为(　　)
A． B．1
C． D．2
(2)[2022·重庆八中月考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a2＋c2－b2)＝2bc sin A.
①求B；
②若△ABC的面积是，c＝2a，求b.
[听课记录]
类题通法
求解三角形面积问题的方法
[巩固训练3]　(1)[2022·山东昌乐一中月考]在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为4，则BC＝(　　)
A．4 B．2
C．4 D．2
(2)[2021·北京卷]已知在△ABC中，c＝2b cos B，C＝.
ⅰ.求B的大小；
ⅱ.在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．
①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝.
角度3 与平面多边形有关的问题
[例4]　[2022·福建厦门一中月考]在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB＝3.
(1)若CA＝CD，且cos ∠ABC＝－，求△ABC的面积S；
(2)若cos ∠DAC＝，cos ∠ACD＝，求BD的长．
[听课记录]
类题通法
与平面多边形有关的问题求解策略
[巩固训练4]　[2022·湖南雅礼中学模拟]如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD, ∠BAD＝，2AB＝BD＝4.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若BC＝，求CD.
题型三　正弦定理、余弦定理的应用举例
[例5]　2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
类题通法
正、余弦定理应用举例的类型及解题策略
[巩固训练5]　海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________米．
第六节　余弦定理、正弦定理及应用举例
教材回扣　夯实“四基”
基础知识
1．（1）　　（2）b2＋c2－2bc cos A　a2＋c2－2ac cos B　a2＋b2－2ab cos C　（3）2R sin B　2R sin C　（4）　　（5）sin A∶sin B∶sin C　（7） 　　
2.ac sin B　ab sin C
3．（1）仰角　俯角　（4）坡比
基本技能、思想、活动经验
1．×　2.×　3.×　4.√
5．解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝.
故选C.
答案：C
6．解析：B.如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，
所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以点A在点B的北偏西15°.
故选B.
答案：B
7．解析：由正弦定理得sin C＝＝＝.
∵c>b，B＝30°，∴C＝45°或135°，
当C＝45°时，A＝105°；
当C＝135°时，A＝15°.
故选C.
答案：C
8．解析：在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C.
可得2A＝2C或2A＋2C＝π，
所以A＝C或A＋C＝.
所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D.
答案：D
题型突破　提高“四能”
例1　解析：(1)由正弦定理得：a∶b∶c＝1∶∶1，
设a＝k，b＝k，c＝k(k>0)，
由余弦定理得
cos B＝＝＝－，
∵0∴B＝120°，故选C.
(2)∵C＝，b＝，c＝3，
∴由正弦定理＝，可得sin B＝＝＝，∵b＜c，B∈，
∴B＝，
∴A＝π－B－C＝π－＝.
答案：(1)C　(2)
巩固训练1　解析：(1)△ABC中，∵a2＝b2－c2＋ac，
可得：a2＋c2－b2＝ac，
∴由余弦定理可得：
cos B＝＝＝，
∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°，
故选A.
(2)∵sin C＝2sin A，
∴c＝2a，又b2－a2＝ac，
∴b2＝2a2即b＝a，
由余弦定理可得，cos B＝＝＝，
又0∴sin B＝＝＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：(1)因为sin C＝2sin (B＋C)cos B，sin (B＋C)＝sin A，
所以sin C＝2sin A cos B，
所以由正余弦定理得c＝2a·，化简得a2＝b2，
因为a>0，b>0
所以a＝b，
所以△ABC为等腰三角形，
故选B.
(2)①因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cos C＝＝，所以，C为锐角，则sin C＝＝，
因此，S△ABC＝ab sinC＝×4×5×＝；
②显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cos C＝＝＝<0，
解得－1由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.
答案：(1)B　(2)见解析
巩固训练2　解析：(1)在△ABC中，由正弦定理可得＝＝，又＝＝＝＝，
所以sin B＝cos B，且sin C＝cos C，
故B＝C＝，A＝，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选C.
(2)①在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
即c2－5c－24＝0，所以(c－8)(c＋3)＝0，解得：c＝8或c＝－3(舍)，
②若B＝，则tan A＝＝tan 60°＝，所以k＝＝＝，
若C＝，则sin A＝＝sin 60°＝，所以k＝＝＝，
所以k＝或时，△ABC为直角三角形．
答案：(1)C　(2)见解析
例3　解析：(1)在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝，所以sin B＝2sin ＝2×＝1，
又B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，
所以△ABC的面积S＝bc sin A＝×2×1×sin ＝.
故选A.
(2)①由(a2＋c2－b2)＝2bc sin A，得＝，
得cos B＝，
得a cos B＝b sin A，
由正弦定理得sin A cos B＝sin B sin A，
因为sin A≠0，所以cos B＝sin B，
所以tan B＝，
因为0②若△ABC的面积是，
则ac sin B＝×a×2a×＝，解得a＝，
所以c＝.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得b2＝＋－2×，所以b＝2.
答案：(1)A　(2)见解析
巩固训练3　解析：(1)∵AB＝8，A＝120°，△ABC的面积为4，∴AB·AC·sin A＝×8·AC·＝4，解得AC＝2.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即BC2＝64＋4－2×8×2×＝84，解得BC＝2.故选D.
(2)ⅰ.∵c＝2b cos B，则由正弦定理可得
sin C＝2sin B cos B，
∴sin 2B＝sin ＝，∵C＝，∴B∈，2B∈，
∴2B＝，解得B＝；
ⅱ.若选择①：由正弦定理结合ⅰ可得＝＝＝，
与c＝b矛盾，故这样的△ABC不存在；
若选择②：由ⅰ可得A＝，
设△ABC的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得a＝b＝2R sin ＝R，
c＝2R sin ＝R，
则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，
解得R＝2，则a＝b＝2，c＝2，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：
＝；
若选择③：由ⅰ可得A＝，即a＝b，
则S△ABC＝ab sin C＝a2×＝，解得a＝，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：
＝＝.
答案：(1)D　(2)见解析
例4　解析：(1)如图，图为cos ∠ABC＝－，所以sin ∠ABC＝＝，在△ABC中，AB＝1，AC＝CD＝3，
由余弦定理，知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
所以9＝1＋BC2＋BC，即3BC2＋BC－24＝0，
解得BC＝或BC＝－(舍)，
所以△ABC的面积S＝AB·BC·sin ∠ABC＝×1×＝.
(2)在△ADC中，因为cos ∠DAC＝，cos ∠ACD＝，
所以sin ∠DAC＝＝，sin∠ACD＝＝，
由正弦定理＝，所以AD＝＝，
又cos ∠BAD＝cos (∠DAC＋∠ACD)
＝cos ∠DAC cos ∠ACD－sin ∠DAC sin ∠ACD
＝＝－，
在△ABD中，由余弦定理知
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ∠BAD＝1＋＋2×＝7，所以BD＝.
巩固训练4　解析：(1)△ABD中，＝，即＝，解得sin ∠ADB＝，故cos ∠ADB＝；
(2)sin ∠ADB＝＝cos ∠CDB，
△BCD中，cos ∠CDB＝，
即＝，
化简得(CD－3)(CD＋)＝0，解得CD＝3.
例5　解析：如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.故选B.
答案：B
巩固训练5　解析：如图，在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，所以∠DAC＝15°.
由正弦定理，得
AC＝＝＝40()(米)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠CBD＝30°.
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝＝40()(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝1 600(8＋4)＋1 600(8－4)＋2×1 600()×()×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝80(米)，则A，B两点间的距离为80米．
答案：80

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