资源简介

<备战2023年高考数学一轮重难点复习>
重难点01 不等式中的综合问题
考点一　不等式的性质与解法
【重点归纳】
1．不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0,0.
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立 f(x)min>a，x∈I；f(x)(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立 当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．
3．求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点
(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况．
(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．
(3)不考虑a的符号．
【典例1】若p>1,0A.p>1 B.<
C．m－plognp
【答案】D
【解析】方法一　设m＝，n＝，p＝2，逐个代入可知D正确．
方法二　对于选项A，因为01，所以00，所以>，故B不正确；对于选项C，由于函数y＝x－p在(0，＋∞)上为减函数，且0n－p，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p>1,0lognp，故D正确．
【典例2】已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是(　　)
A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－2,3)
【答案】A
【解析】由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a<0，
则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0可化为x2＋x－6>0，
即(x＋3)(x－2)>0，解得x<－3或x>2，
所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
考点二　基本不等式
【重点归纳】
1．运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
2．基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
【典例3】(1)已知x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_________________________．
(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x·的最大值为________．
(3)已知x>0，y>0，＋＝2，则2x＋y的最小值为________．
【答案】(1)　(2)　(3)3
【解析】(1)由(x＋y)2＝xy＋1，
得(x＋y)2≤2＋1，
则x＋y≤(当且仅当x＝y＝时取等号)，
故x＋y的最大值为.
(2)x·＝x·
≤·＝·
＝，
故x·的最大值为.
(3)∵2x＋(y＋1)＝[2x＋(y＋1)]
＝≥4，
∴2x＋y＝2x＋(y＋1)－1≥3(当且仅当x＝1，y＝1时取等号)，故2x＋y的最小值为3.
【典例4】下列不等式的证明过程正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若a<0，则a＋≥－2＝－4
C．若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2
D．若a∈R，则2a＋2－a≥2＝2
【答案】D
【解析】由于，的符号不确定，故选项A错误；∵a<0，∴a＋＝－≤－2
＝－4(当且仅当a＝－2时，等号成立)，故B错误；由于lg a，lg b的符号不确定，故选项C错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a＋2－a≥2＝2(当且仅当a＝0时，等号成立)，故选项D正确．
一、单选题
1．（2022·达州模拟）已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，∴，
﹒
故答案为：D.
2．（2020·安徽模拟）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，且 ， ，
所以 ，
故答案为：D.
3．（2022·芜湖模拟）设，，，则，，的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为函数为上的增函数，，
所以，故，
又为R上的增函数，，
所以，即，
所以，
故答案为：A
4．（2022·浙江模拟）已知正数 满足 ，给出下列不等式：① ；② ；③ ，其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】记 ，
， ， 为正数，
,
则 ， ， ，
,
对于①， （当且仅当 时取等号），由于 ，故等号取不到，即 ，因此 ，①正确；
对于②， （当且仅当 时取等号），由于 ，故等号取不到，即 ，因此 ，②正确；
对于③， ，即 ，故 ，③正确.
正确的个数为3.故选：D.
5．（2022·许昌模拟）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（　　）
A．-4 B．4 C．8 D．-8
【答案】B
【解析】由于二次函数（）的值域为，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立。
故答案为：B
6．（2022·宝鸡模拟）已知，，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由，可得，所以，则，因为，，则，当且仅当即时，取得等号，所以，即的最小值是4，
故答案为：A．
7．（2022·福建模拟）已知，且，则a+2b的最小值为（　　）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【解析】整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而a+2b的最小值是10。 故答案为：D
8．（2022·内江模拟）设，，则的最小值是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为，，
，设，，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：C．
9．（2021·浙江模拟）设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，且z为x和y的等比中项，则 ，
，(当且仅当 即 时取等号)
故答案为：A
10．（2022·湖州模拟）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的个数是（　　）
① 的最小值是4；② 恒成立；③ 恒成立；④ 的最大值是 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①，当且仅当2m=2n+1，即m=n+1，即n=0，m=1等号成立，而n>0，故错误；
②令y=n+sinm-1，因为m>0，n>0，且m+n=1，所以f(m)=sinm-m，m∈(0，1)，
则f'(m)=cosm-1≤0，所以 f(m)在(0，1)上递减，则f(m)③因为m>0，n>0，且m+n=1，所以，当且仅当m=n=时，等号成立，则
log2m + log2n = log2mn ≤ log2=-2，故正确；
④因为
令，n∈(0.1)，则，n∈(0.1)，
令f(n)=0，解得n=2-∈(0，1)，n=2+ (0，1)，
当00，当2-所以当n=2-时， 取得最大值故正确.
故答案为：C
二、填空题
11．（2022高三下·嵊州月考）若，则的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】由题意得： ，则 ，
又，当且仅当 时取等号，
故，故，
所以，
令 ，则 ，，
则当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，而 ，，
故，即，
故答案为：
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
【答案】2
【解析】根据题意有，令，则，
令，则，
所以函数在R上单调递减，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为2。
故答案为：2。
13．（2022·南通模拟）实数，满足，则的最小值为　 　.
【答案】8
【解析】因为，
所以，故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为8，
故答案为：8.
14．（2020·江苏模拟）关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为　 　.
【答案】
【解析】由题意，关于 的不等式 的解集为 ，
即 是一元二次方程 的两根，
可得 解得 ，且 ，
则关于 的不等式 可化为 ，即 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为： .
三、解答题
15．（2022高三下·四川）已知．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：由题意得：
当时，的最小值为3
（2）证明：
当且仅当，即时取等号；
【解析】（1）利用代入法后转化为二次函数后配方即可求解；
（2）利用的等效转换后利用基本不等式即可求证.
16．（2022·昆明模拟）设a，b，c均为正数，且．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
【答案】（1）解：，，都是正数，且，，
当且仅当即时等号，
即的最小值为；
（2）证明：由柯西不等式得
即，
故不等式成立，
当且仅当时等号成立；
【解析】（1）由结合基本不等式即可求解；
（2）由柯西不等式即可求解。
17．（2022·郑州模拟）已知均为正数，且满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明：由题设，，，
所以，即，
当且仅当，即时等号成立.
（2）证明：由，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又，
所以，可得.
【解析】(1)首先由基本不等式整理原式，由此即可得证出结论。
(2)根据题意 由基本不等式整理化简原式，由此即可得证出结论。
18．（2022·陕西模拟）设、、为正实数，且.
（1）证明：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明：因为、、为正实数，
由基本不等式可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故.
（2）证明：由柯西不等式可得，
所以，，
当且仅当时，即当，，时，等号成立，
故.
【解析】(1)由已知可得出 ，结合基本不等式可证得 ；
(2)利用柯西不等式可得出 即可证得结论成立.<备战2023年高考数学一轮重难点复习>
重难点01 不等式中的综合问题
考点一　不等式的性质与解法
【重点归纳】
1．不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0,0.
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立 f(x)min>a，x∈I；f(x)(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立 当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．
3．求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点
(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况．
(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．
(3)不考虑a的符号．
【典例1】若p>1,0A.p>1 B.<
C．m－plognp
【典例2】已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是(　　)
A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－2,3)
考点二　基本不等式
【重点归纳】
1．运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
2．基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
【典例3】(1)已知x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_________________________．
(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x·的最大值为________．
(3)已知x>0，y>0，＋＝2，则2x＋y的最小值为________．
【典例4】下列不等式的证明过程正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若a<0，则a＋≥－2＝－4
C．若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2
D．若a∈R，则2a＋2－a≥2＝2
一、单选题
1．（2022·达州模拟）已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020·安徽模拟）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·芜湖模拟）设，，，则，，的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江模拟）已知正数 满足 ，给出下列不等式：① ；② ；③ ，其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022·许昌模拟）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（　　）
A．-4 B．4 C．8 D．-8
6．（2022·宝鸡模拟）已知，，，则的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2022·福建模拟）已知，且，则a+2b的最小值为（　　）
A． B．8 C． D．10
8．（2022·内江模拟）设，，则的最小值是（　　）
A．4 B． C．2 D．1
9．（2021·浙江模拟）设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·湖州模拟）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的个数是（　　）
① 的最小值是4；② 恒成立；③ 恒成立；④ 的最大值是 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022高三下·嵊州月考）若，则的取值范围是　 　．
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
13．（2022·南通模拟）实数，满足，则的最小值为　 　.
14．（2020·江苏模拟）关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为　 　.
三、解答题
15．（2022高三下·四川）已知．求证：
（1）；
（2）．
16．（2022·昆明模拟）设a，b，c均为正数，且．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
17．（2022·郑州模拟）已知均为正数，且满足．
（1）证明：；
（2）证明：．
18．（2022·陕西模拟）设、、为正实数，且.
（1）证明：；
（2）证明：．

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