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直线的倾斜角与斜率、直线的方程
教材基础知识
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠)，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用范围
斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0)
两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线
4．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
例题赏析
1．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°　　　　　　　　 　B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
2．下列说法中正确的是(　　)
A.＝k表示过点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线方程
B．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|
C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是＋＝1
D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线
3．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
易错题提醒
1．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．
[小题纠偏]
1．直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B.∪
C. D.
2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________．
考点自测
1．若直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.
3．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求＋的值．
知识点熟记
1．倾斜角与斜率的关系
当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.
当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
2．斜率的3种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
(3)方程法：若已知直线的方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)，则l的斜率k＝－.
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
求直线方程的2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
针对训练
　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．
(2)过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程为________．
直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的命题角度有：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数的几何意义相结合的问题；
(3)由直线方程解决参数问题．　　　 　
考察方向一：与基本不等式相结合的最值问题
1．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；
(3)|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程．
角度二：与导数的几何意义相结合的问题
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A.　　　　　　 B.
C．[0,1] D.
考察方向二：由直线方程解决参数问题
3．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
考试策略2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
夯实基础
1．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
3．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A. B．－
C．－ D.
4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
5．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
?针对高考
1．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为(　　)
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象可能是(　　)
4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
5．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．1
6．已知三角形的三个顶点为A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
7．若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为________________．
8．若圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是________．
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

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