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函数单调性的应用
【考纲分析】
函数的单调性是函数中非常重要的一部分内容，应用也非常广泛.在①求值域最值、②求取值范围、③解不等式与比较大小中都要用到它。2019高考全国理科1卷3、11、20题，2020高考全国1卷的12、21题（2）也都用到了单调性，在以前高考中涉及到求最值时往往也会用到单调性。可见与单调性有关的题目出题者主要是围绕以上3块进行出题。值域与最值在前面我们已经研究过，因此这部分单调性应用重点探讨下涉及到②③有关的题型时的解法.
【知识点归纳】
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；注意函数在区间D上单调与函数的单调区间是D的区别
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
要点二、基本初等函数的单调性
1．一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在
定义域R是减函数.
2．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.
3．二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
4.指数函数
若函数在上单调递增，若则在上单调递减
5.对数函数
若函数在上单调递增，若则在上单调递减
6.幂函数
若则幂函数在单调递增；若则幂函数在单调递减.
上的单调性需结合定义域和奇偶性进行判断
注：由于指对幂比较大小在高考中出现过好几次，因此关于指对幂函数图像随着底数或指数变化是如何变化的，也需要掌握.以下三个图像便很好地展示了这种变化.
指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 . 对数函数：逆时针旋转,底数越来越小
幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
【典型例题】
类型一、利用单调性比较大小
例1.如果函数对任意实数都有,比较的大小
例2.比较下列各数的大小：
(1)(2)(3)（）．
(4)与； (5)与，（6）和.
(7)，， (8),,
例3.设则（　　）
【总结升华】对于两个对数形式比较大小通常有三类：底数相同真数不同，底数不同真数相同，底数真数都不相同.前两类利用图像结合单调性就可搞定，对于第三类一般考虑找参照值进行比较；这种方法也走不通就得考虑通过适当变形转化为同底对数。对于两个指数形式的比较，若指数部分相同底数不同，则考虑构造幂函数利用单调性解决，若底数相同指数不同，则可以考虑构造指数函数利用单调性解决。若两部分均不相同，则要么将其转化为指数形同或底数相同的去比较大小，要么就是寻找参照值进行比较。
例4.若，则( )
A． B． C． D．
【思路点拨】由选项可看出需要将题中的等式转化为不等式，将看作是函数的两个自变量.转化后的不等式看作是两个函数值得大小关系，再结合函数单调性即可得出结论.
类型二、利用单调性解不等式
例4.解下列不等式
（） （2）
例5.已知函数若，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【思路点拨】：求的取值范围需要建立关于的不等式,因此需要将中的消去.因此便可联想先判断出函数的单调性然后再消去
例6已知函数是定义域为的单调增函数．
比较与的大小；（2）若，求实数的取值范围．
【变式】已知函数在定义域上为增函数，且定义域上任意都满足，解不等式：
分析：要解该不等式关键是将其变形为关于的不等式.可分两步走----先将其变形为的形式,然后再根据增函数转化为的不等式
例7.定义在上的函数,函数值不为0，对任意的，都有且当时，
（1）求（2）证明：任意恒有（3）解关于的不等式
【思路点拨】：第（1）问要想求出的值关键是寻找一个关于的方程,第二问只需证时即可,因此只需找到与关系即可.第三问是先将其转化为形式，再利用单调性将消去，从而求出的范围.
类型三、利用单调性求参数取值范围
例8.已知在上是减函数，求实数的取值范围
【变式1】已知函数在区间上是增函数，求的取值范围
例9.已知函数是定义域上的减函数，则实数的取值范围是（　　）
分析：若一个分段函数为单调函数，有两种可能：连续递增(减)与非连续递增（减）.
例10.已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是____________
【总结升华】在考虑对数型复合函数的单调区间时，要注意它的定义域
类型四：恒成立问题求参数的取值范围
例11．已知，当时，恒成立，求的取值范围．
变式：已知函数若对任意，恒成立，则的范围为
B. C. D.
例12.已知，对于值域内所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．
总结：解决恒成立问题,一定要搞清楚谁是变量谁是参数,一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】:本题显然无法参变分离，也无法根据分类讨论求的最大值,因此考虑数形结合法求解.
已知函数若，有恒成立，求a的取值范围。
例15.已知二次函数区间内至少存在一个实数，使, 则实数的取值范围是（ ）.
A、 B、 C、 D、
【思路点拨】:从正面考虑比较复杂，采取正难则反策略考虑它的反面：对任意的,,求出的取值范围再求补集.
例15.设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．
【总结升华】在已知不等式在某区间上的恒成立求参数取值范围时，大致有以下几种方法：
参变分离 这是解决这类型问题的首选方法，如果感觉无法分离，那就采用
分类讨论法 一般是根据参数的范围进行讨论，确立函数的最值（比如例14）若该方法也行不通，那么便考虑是否需要数形结合
数形结合法：将不等式转化为两个函数图像的高低问题，即谁在谁的上方
参变互换法：已知参数在某区间取值，不等式恒成立求的取值范围时可考虑这种方法.

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