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选择性必修三
第6章 计数原理
要点 1 计数原理
1. 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.
要点 2 排列
1. 排列
(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数表示法：
(3)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列,.
(4)阶乘式：
(5)性质：
2.排列应用问题的主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
要点 3 组合
1. 组合
(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数表示法：
(3)公式：
(4)性质：
2.组合应用问题的主要方法
(1)分组问题
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题：先分组再排列分配
要点 4 二项式定理
二项式定理
项数：n次二项式展开式共有n+1项
二项式系数：
通项： (的顺序不能交换，第项)
二项式系数的性质
对称性：
增减性：先增后减中间项最大
①为偶数时，最大，(奇数项)；
②为奇数时，最大，(偶数项).
二项式系数之和：①令
②令
(4)系数之和：令未知数等于1，如
令；
.
随机变量及其分布
要点 1 条件概率
定义：一般地，设为两个随机事件，且我们称
为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率.
当时，当且仅当事件相互独立时，有；
如果是两个互斥事件，则
要点 2 全概率公式
定义：一般地，设是一组两两互斥的事件，则对任意的事件
要点3 离散型随机变量及其分布列
随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，就称为随机变量.用大写英文字母表示.
离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.
离散型随机变量的分布列
(1)用表格表示：(一般涉及组合数的计算)
性质：
①
②
要点4 离散型随机变量的均值与方差
均值（或数学期望）：它反映了随机变量取值的平均水平.
方差：度量随机变量取值与均值的偏离程度
标准差：
性质：
要点5 概率模型
两点分布
重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验.
特征：（1）重复次试验；（2）各次试验的结果互相独立.
二项分布：
(1)定义：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：
推论：
超几何分布
正态分布
正态曲线: 我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函
数，称它的图象为正态密度曲线.
(2)正态曲线的特点：
①非负性：对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
②定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
④最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.
⑤位置：当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
⑥体型：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
(3)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
（4） 原则：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
要点6 概率模型的均值与方差
若X服从两点分布，则．
2．若X～B(n，p)，则．
3. 若，则
成对数据的统计分析
要点1 样本相关系数
样本相关系数r的取值范围为．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
(3)注意点：
当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．
当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．
要点2 经验回归直线
最小二乘法：我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回
归公式，其图形称为经验回归直线．
这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.
＝x＋
其中
注意点：经验回归方程＝x＋必过点样本点中心．
2.残差平方和法：
越小，模型的拟合效果越好．
3．决定系数R2
可以用来比较两个模型的拟合效果.
R2越大，模型拟合效果越好; R2越小，模型拟合效果越差．
要点3 独立性检验
1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作卡方独立性检验，简称 独立性检验 .
2．方法：
（1）零假设（或原假设）：两个分类变量独立；
（2） 2×2列联表：
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c+d
合计 a+c b＋d a+b +c+d
(3)公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
(4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（5）下结论：
①当时，我们推断不成立，即认为不独立，该推断犯错误的概率不超过；
②当时，我们没有充分证据推断不成立，即可以认为独立.

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