资源简介

圆的方程，圆与点位置关系，圆与直线的关系
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径：r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圆心：， 半径：
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
3，直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：
若
（1）；
（2）；
（3）。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；
（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切d=rΔ＝0；
相交d0；
相离d>rΔ<0。
1．（2021·全国·高二课时练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为点在圆的内部，则，
解得：.
故选：D.
2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）若无论实数取何值，直线与圆相交，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由圆，可知圆，
∴，
又∵直线，即，恒过定点，
∴点在圆的内部，
∴，即，
综上，.
故选：A.
【易错警示】
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一成立条件．
例1，已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
1．（2022·全国·二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
设动圆圆心，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得,即，
，当且仅当时取等号，即，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
2．（2022·陕西西安·高一阶段练习）已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．5 B．5 C．10 D．10
【答案】D
依题意，直线mx﹣3y﹣4m+9＝0恒过定点D（4，3），
∵D在圆C内部，
∴弦|AB|长度的最小时，直线AB与直线CD垂直，又|CD|＝＝5，
此时|AB|＝2＝10.
故选：D.
3．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为，
因为所求圆过点，
所以，解得：
所以所求圆的方程为：
故选：A
4．（2021·全国·高二课时练习）过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
设圆的方程为，
则，
解得：，，，
所以圆的方程为：，
令，可得，解得：，
，
故选：C.
【方法技巧】
1．求圆的方程的2种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 2．确定圆心位置的3种方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 重点提醒 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
考点二，圆与点的关系
1．（2021·河南·油田一中高二阶段练习（文））已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
由点在圆外知，即，解得，
又为圆，则，
解得，故.
故选：D.
2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
由题意得，又，即直线与圆相切
故选：B
3．（2022·吉林·长春十一高高二期末）若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A．点P在圆上 B．点P在圆外
C．点P在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
因为直线与圆有两个公共点，
所以圆心到直线的距离小于半径1，即
，
所以，所以，
所以点与圆外，
故选：B
4．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）点与圆的位置关系是（ ）．
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定
解：因为，所以点在圆外.
故选：B
【方法技巧】
确定点与圆的方法有两种：代数法和几何法；代数法，把带入圆的方程，结果等于零这是在圆上，大于零在圆外，小于零在园内，几何法，求出圆心和点的距离，d>r，在圆外；d=r，在圆上；d考点三，圆与直线
5．（2022·浙江衢州·高二阶段练习）“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
所以由推得出直线与圆相切，故充分性成立，
由直线与圆相切推不出，故必要性不成立，
故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件；
故选：A
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））“直线++=0与圆相切”是“=1”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
依题意， ，即圆心是（1,0），半径为 ，
如果直线x+y+m=0是此圆的切线，则圆心到直线的距离为 ，
即 或-3，
所以“直线x+y+m=0与圆相切”不是m=1的充分条件；
如果m=1，则直线为x+y+1=0，圆心（1,0）到直线的距离为 ，即相切，
是必要条件；
故选：A.
7．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
直线过定点 ，
曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示
当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 .
当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得
结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点
故选：B
8．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
【答案】B
因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
故选：B.
考向一：斜率型最值问题
1．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和最小值．
考向二：截距型最值问题
2．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
考向三：距离型最值问题
3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求的最大值和最小值．
【方法技巧】
与圆有关的最值问题的3种常见转化方法 (1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【变式训练】
1．圆心在曲线y＝(x＞0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝25　　 　B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
2．过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是________．
经典考题
已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【方法技巧】
与圆有关的轨迹问题的4种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
高考典例
已知Rt△ABC中，A(0,0)，B(6,0)，求直角顶点C的轨迹方程．
一、单选题
1．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
3．已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
5．点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（ ）
A．－2 B．2 C． D．
8．已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
11．过x轴正半轴上一作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
12．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C被直线截得的弦长为（ ）
A． B．
C． D．
13．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是
A．或 B．或
C． D．
第II卷（非选择题）
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二、解答题
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的负半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．
（1）设直线QA，QB的斜率分别是，求的值：
（2）设AB的中点为M，点，若，求的面积．
15．已知点，，圆，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求的方程；
（2）若直线与圆交于不同的两点，，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
课后培优答案
1，【答案】A
若方程表示圆，则，解得：；
，，甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
2，【答案】C
解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，
圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），
又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，
则，则切线的斜率k＝1，
则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；
故选：C．
3，【答案】A
由题意，设圆的一般方程为：
解得：
故圆的一般方程为：
故圆的半径，圆的面积
故选：A,
4，【答案】B
由题意得，又，即直线与圆相切
故选：B
5，【答案】B
因为 ，所以 ，由于点 在圆 内
所以，所以，所以
故选：B,
6【答案】C
解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
【答案】D
设圆的半径为，由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为
即，两边平方得，
故选：D
7，【答案】B
解：因为直线，
所以，直线过定点，且在圆内，
因为直线与圆交于两点，且，
所以，圆心到直线的距离为，
所以，，即，即.
故选：B,
8，【答案】C
圆心，半径为，圆心在直线上运动，
设，则，由圆的几何性质可知，
所以，，
当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值，
且，则，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且，
故函数在上为减函数，
故当时，取得最大值.
故选：C.
9，【答案】A
由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A,
10【答案】A
如图，连接交于点，易得，，由，最小时，最大，
又，可得，即，最大时，最小，最小；
又，则，故的最小值为1.
故选：A.
11，【答案】D
设圆心为，
则有，解得．
则圆心为，半径，
则圆心到直线距离，
则弦长．
故选：D,
12，【答案】A
解：曲线有即，
表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），
如图，设、、，
当直线经过点时，，求得，
此时只有一个公共点，符合题意；
当直线经过点、点时，，求得，
此时有2个公共点，不符合题意；
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，
可得，求得或（舍去），
即：时，只有一个公共点，符合题意，
综上得，实数的范围为或，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，可用数形结合的方法较为直观.
13，【答案】（1）；（2）．
（1）当直线垂直于轴时，不合题意，设直线方程为，
联立，整理得，
设，则，
所以
即.
（2）设中点，由（1）知，，①
代入直线l的方程得，②
又由，得，
化简得：，
将①②代入上式，可得，
所以圆心到直线l的距离，所以，
Q到直线l的距离，
所以＝．
【点睛】
解决直线与圆的位置关系的常见方法：
1、几何法：圆心到直线的距离与圆的半径比较大小，结合圆的性质，判断直线与圆的位置关系，这种方法的特点时计算量较小；
2、代数法：将直线方程与圆的方程联立方程组，转化为一元二次方程，结合一元二次方程解得个数，判断直线与圆的位置关系，特点是计算量较大，更适合直线与圆锥曲线的位置关系的判定问题；
3、转化法：结合圆的性质和圆的对称性，进行转化求解，特点是抓住直线与圆的几何特征，利用几何特征求解.,
14【答案】（1）或；（2）证明见解析.
（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，
此时直线与圆相切，故符合条件.
若直线的斜率存在，设斜率为，其方程为，
即.
由直线与圆相切，圆心到的距离为，
即，解得.
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或.
（2）由（1）可知，与圆有两个交点时，斜率存在，此时设的方程为，
联立，
消去可得，
则.
解得.
设，，
则，，(*)
所以
，
将(*)代入上式整理得，
故为定值.
【点睛】
过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.

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