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双曲线及综合训练
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
1．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：双曲线，即，所以，，
所以，即，所以焦点坐标为；
故选：B
2．（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
【答案】D
由题设，，可得.
故选：D
3．（2022·江苏南通·高二期末）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）
A． B． C． D．
，变形为，若方程表示双曲线，
则，写成双曲线标准方程的形式，为，
即，虚轴长.
故选：B
【易错警示】
1．双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(，＋∞)．
3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
1．（2021·江苏·官湖中学高二阶段练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
2．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
【方法技巧】
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
1．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
双曲线的焦点在轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
依题意，椭圆短半轴，则，
所以椭圆的方程为.
故选：B
2．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则（ ）
A． B．－3 C．－5 D．
【答案】A
将方程化为可知，则，，则，由焦距是虚轴长的2倍知：，即，所以，即．
故选：A
【方法技巧】
应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)
A.　　　　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选C　双曲线方程可化为－＝1，
∴a＝b＝，∴c＝2.
由得|PF1|＝4，|PF2|＝2，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.
2．已知△ABC的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左、右焦点，顶点C在双曲线上，则的值为____________．
解析：由正弦定理知，＝＝，由双曲线的定义可知，＝＝＝.
答案：
双曲线的几何性质是每年高考命题的热点．
常见的命题角度有：
(1)求双曲线的离心率(或范围)；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线方程．　　　 　
考向一：求双曲线的离心率(或范围)
1．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知双曲线 = 1 的右焦点，过点F作一条渐近线的垂线垂足为M，若与另一条渐近线交于点，且满足5，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设坐标原点为O，M点在第一象限，则，则，
渐近线 的方程为 ， ，
运用点到直线的距离公式 ， ，
因为，∴，∴，
， ，
因为x轴平分∠MON， 所以，
又因为，所以，即，
得，
设C的离心率为e，则，所以；
故选：A.
2．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知点是双曲线右支上一点，为坐标原点，为虚轴的上端点，若为等腰直角三角形，点为直角顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可知，，如图所示
因为为等腰直角三角形，点为直角顶点，
所以,即，解得，
在中，
所以.
因为点是双曲线右支上一点，
所以，解得，
所以该双曲线的离心率为.
故选：A.
3．（2022·江苏南通·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是双曲线上关于原点对称的两点，，四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知，所以，，，
所以，，可得，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，
所以，，
由双曲线的对称性可知，四边形为矩形，所以，，
所以，，故该双曲线的离心率为.
故选：A.
4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由定义可知C的伴随曲线的渐近线方程为.
由题意可知，，即.
将点代入椭圆C的方程，得，
联立，解得，即
所以，即
所以椭圆的离心率.
故选：A.
考向二：求双曲线方程
1．（2021·江西·湾里第一中学高二期中（理））已知双曲线（a>0， b>0）的一条渐近线方程是， 它与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由已知双曲线一条渐近线方程是，则①，
椭圆中，焦点为，
所以②，
①②联立，注意，解得，双曲线方程是，
故选：A．
【方法技巧】
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：不妨令在双曲线右支，
依题意可得，，，
解得，，又，
由余弦定理
即，解得，
所以，
所以的面积．
故选：C．
2．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；
故选：C
3．（2020·安徽·安庆市第二中学高二阶段练习）双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
由双曲线，可得，可得，
所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，
所以焦点到渐近线的距离为.
故选：B.
4．（2022·山东·高一阶段练习）已知不共线的平面向量，满足，，，则与的夹角的余弦取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
∵，不妨设，由，得，
令，其对应点N的轨迹是以（﹣2，0），（2，0）为焦点的双曲线的右支，
方程为：，
实半轴为1，虚半轴为，又，则，
此时与x轴的夹角为，
则满足的N在图中双曲线N点的上方或在双曲线上与N点关于x轴对称的点下方的位置，如图位置：
又双曲线的渐近线为，所以与的夹角范围为，所以与的夹角的余弦取值范围为
故选：B．
5．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得
，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是．
故选：D.
【方法技巧】
直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧
(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．
(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．
1，已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(－7,5)，B(－1，－1)两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求实数m，n的值．
解：(1)设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1，
依题意有
解得
所以所求双曲线的方程是2y2－x2＝1.
(2)将l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，
得x2＋4mx＋(2m2－1)＝0，①
Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4＞0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1，
所以x0＝＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，
所以P(－2m，－m)．
又圆心E(6,0)，依题意kPE＝－1，
故＝－1，即m＝－2.
将m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0，
解得x1＝1，x2＝7，
所以|MN|＝|x1－x2|＝6.
故直线l截圆E所得弦长为|MN|＝2.
又E(6,0)到直线l的距离d＝2，
所以圆E的半径R＝ ＝，
所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.
所以m＝－2，n＝26.
1．（2021·重庆市第七中学校高二阶段练习）函数被称为“双钩函数”，已知双钩函数的图像为双曲线，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高二期末（理））若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．2或
3．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．3 C．5 D．
4．（2022·新疆·三模（理））点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右支于A，B两点，连和，且，设双曲线的离心率为e，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·广东·红岭中学高二期末）已知曲线（其中，是常数），则（ ）
A．曲线表示双曲线的充要条件是
B．若，，则曲线的离心率是
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是双曲线，其渐近线方程为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
7．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为___________.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线方程为，则渐近线方程为______．
四、解答题
．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
10．（2022·湖北·模拟预测）已知双曲线的离心率为，记双曲线C与圆的交点为，，，（逆时针排列），且矩形的面积为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，直线交双曲线C的左支于A、B两点，若△PAB的外接圆过坐标原点O，求m的值．
11．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知双曲线C：( a >0， b >0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)已知直线x－y + m =0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2 =17上，求m的值．
高考冲刺答案
1，【答案】D
该双曲线的实半轴长a为“双钩函数”上的任一点到原点距离的最小值，
即，当且仅当，即时，等号成立，故该双曲线的实轴长2a为.
故选：D．
2，【答案】B
点在双曲线上，则有，即．
，∴，
又点在右支上，则有，
∴，
∴，，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题.
3，【答案】A
不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
由题意知，又，，所以，
若，则，即，
在中，由勾股定理可得，
又，可得，
所以，化简可得，即，
所以，
故选：A
4，【答案】D
设内切圆的半径为，则，
由可得，化简得，
又，故.
故选：D.
5【答案】B
依题意作上图，不妨假设A点在第一象限，
由于，设 ，则 ， ，
由 ，得 ，
，
在 中， ， ，
；
故选：B.
6，【答案】ABD
对于A：曲线为双曲线，则，故A正确；
对于：曲线，所以曲线为椭圆且，
所以，所以离以率，故正确；
对于：当时，则是椭圆，曲线可化为，
其焦点在轴上，所以C错误；
对于：当时，是双曲线，渐近线方程为，故正确；
故选：.
7，【答案】2
双曲线方程为，所以，所以虚轴长为.
故答案为：2.
8，【答案】
，
因此双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：
9，【答案】(1)
(2)
双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为．
因为双曲线C的离心率为，
所以，解得，
所以双曲线C的标准方程为．
(2)
设，，
联立，得，，
所以，．
由，
解得t＝1（负值舍去），
所以，．
直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
，
所以△OAB的面积为．
10，【答案】(1)
(2)
(1)
∵，∴，∴双曲线，由得，，∴，∴，解得，
∴双曲线C的标准方程为．
(2)
由得，
则，解得或，
设，，，，∴，，
设线段AB的中点为M，则，，即，
从而AB的中垂线为，又OP的中垂线为，
联立、得圆心，
从而，
∴，
即，∵，∴．
11，【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值．
(1)
由已知，，又，所以，，
所以双曲线方程为；
(2)
由，得，恒成立，
设，，中点为，
所以，，，
又在圆x2＋y2 =17上，
所以，．

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