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等势面 电势的梯度
例、如图，计算均匀带电球面电场中任一点p的电势。
解 r R： 定义法：
球内电势为常数,等于球面上的电势.
r < R：
p
球外电势等于q集中于球心时点电荷的电势
举一反三: (一) 两球壳的半径分别为 R1、R2 ，
求：（1）电势分布
（2）两球壳间电势差
解：（1）先由高斯定理求E ：
再求电势分布： 选 V =0
Q1
Q2
R1
R2
球壳分别带电 Q1、 Q2 。
（无场区为等势区）
Q1
Q2
R1
R2
解法二:
Q1
Q2
R1
R2
(2)
(1)
(二) 半径为R、电荷密度为 ρ=ρ(r) 带电球体的电势分布.
提示: 用高斯定理计算
出场强分布,再用
计算
例、半径为R无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为 。
求：电势分布？
解：
先求 分布
柱外 r > R：
柱内 r < R：
柱面 r = R：
例、长为L 的均匀带电导线，电荷线密度为 。
求延长线上任意一点 p 的电位。
解：用迭加法
取电荷元
等势面
等势面的概念
静电场中，电势相等的点所组成的曲面称为等势面：
电场中不同电势值的等势面构成等势面族。在画等势面族时，通常规定相邻两等势面之间的电势差相等。
等势面的性质
1）等势面与电场线处处正交；
2）电场线指向电势降低的方向；
3）等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强
量值小。
+
电势梯度
b

en
dl
E
V
a
V+dV
电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义：把单位正电荷从 P1 移到 P2 ，电场力所作的功为：
1
电场中某点的场强 等于该点电势梯度的负值。
积分关系：
微分关系：
因此， 已知 可以求 V ； 已知 V 可以求 。
求 的方法又增加一个。

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