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1.1 集合的概念
集合是数学的一个基本分支，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对下十世纪数学发展影响最深的学者之一。
1
数的分类：”正数的集合”、“负数的集合”
初中已接触过“集合”这一概念
解不等式：解的集合
2
3
圆：到定点距离等于定长的点的集合
4
垂直平分线：到线段两端点的距离相等的点的集合
集合是什么？
探究一
观察下列问题：
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）广信中学高一（5）班的全体学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线l的距离等于定长的所有点；
（5）方程x2-3x+2=0的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
思考：上述6个问题的共同特征是什么？
新课讲授
1.集合的概念：
元素---我们把研究的对象统称为元素
集合---把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集. （某些指定对象集中在一起就成一个集合）
注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
集合的概念是数学中最原始的、不加定义的概念，与点、直线等概念一样都是用描述性语言表述的.
a与{a}有什么区别？
是一个元素
是一个集合
问题2：（1）我们班中高个子的同学；
（2）接近0的数；
（3）咱们必修1教材中所有的难题；
能否分别组成一个集合？为什么？
结论:因为“高个子”“接近0”“难题”都没有具体的标准，是模棱两可的、不确定的，不符合集合的概念，所以上述的三个问题均不能组成集合.给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.这体现了集合中元素的确定性.
2.集合元素的特征
问题3：一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、衬衣、闹钟共计4个品种，第二批进货是MP4、皮鞋、水杯、衬衣、台灯共计5个品种，问一共进了多少个品种的货？
结论:7种.对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素.这体现了集合中元素的互异性.
2.集合元素的特征
问题4：我们这个班重新调整座次之后，是否还是原来的班集体？
结论:因为班级的同学没有变化，只是每个人的位置发生了变化，所以还是原来的班集体.这体现了集合中元素的无序性.
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的
2.集合元素的特征
2.集合元素的特征
1
确定性：给定一个集合，元素必须是确定的
2
互异性：即集合中的元素是互不相同的，不重复出现的．
3
无序性：一个给定集合，它的任何两个元素都可以交换位置
3.元素、集合的表示
集合的表示：用大括号“{ }”表示集合,
也用A、B、C…表示集合.
如：集合A={a,b,c}
元素的表示：用a,b,c…表示元素
4.常见数集及其记法：
(1)自然数集（非负整数集）：N)
(2) 正整数集：(N＋或N﹡
(3) 整数集：Z：
(4) 有理数集：Q：
(5) 实数集：R
常用数集的意义是约定俗成的，解题中可作为已知使用
{0，1，2，3，……}
{1，2，3，……}
{……-3，-2，-1，0，1，2，3，……}
整数、分数
有理数、无理数
用符号“ ”或“ ”填空：
(1)3.14 Q (2) Q
(3)0 N+ (4)(-2)0 N+
(5) Q (6) R
∈
∈
∈
对点演练
14
（1）属于(belong to)：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于(not belong to):如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
5.元素与集合的关系
1.集合A={1,2,4,5,6}
1 A; 2 A; 3 A; 4 A
2.集合B是由大于5且小于10的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）
A.π∈B B.5 ∈B C.6 ∈B D.7 B
∈
∈
∈

C
小试牛刀：
（1）属于(belong to)：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
5.元素与集合的关系
6. 集合的表示方法
将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来的方法叫做列举法.
(1) 列举法
例1 用列举法表示下列集合：
(1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2＝x的所有实数根组成的集合.
解：(1) 设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么
A＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(2) 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0, 1}.
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
思考 (1) 你能用自然语言描述集合{0, 3, 6, 9}吗？
(2) 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？
解：(1) 能，由大于等于0且小于10的整数中所有3的倍数组成的.
(2) 不能，因为不等式x－7<3的解集的元素有无穷多个，无法一一列举出来. 此时就要采用集合的另一种表示方法—描述法.
(2) 描述法：
比如：① 不等式x－7<3的解集可表示成
{x∈R|x<10}.
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有公共特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A| P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.
② 所有奇数组成的集合可表示成
{x∈Z|x=2k+1, k∈Z}.
③ 由所有偶数组成的集合可表示成
{x∈Z|x=2k, k∈Z}.
说明：描述法的表示形式就是在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围（一般可省略），再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 即
{元素的一般符号(范围)|元素的共同特征}
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有公共特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A| P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.
奇数集为 {x|x=2k+1, k∈Z}；
偶数集为 {x|x=2k, k∈Z}；
有理数集为
描述法：
6. 集合的表示方法
解：(1) 用描述法
用列举法
(2) 用描述法
用列举法
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1) 方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A；
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合B.
A={x| x2-2=0}.
B={x∈Z|10B={11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}.
{-2,0,2}
2.集合{(x,y)|x+y=6, x∈N, y∈N} 用列举法表示为____________.
解：{(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0)}.
3. 集合{(x,y)|y=x2+1}与集合{y|y=x2+1是同一集合吗？
解：不是.
集合{(x,y)|y=x2+1}是点集，集合{y|y=x2+1}= {y|y≥1}是数集．
4.用适当的方法表示集合：
(1) 方程x2-9=0的所有实数根组成的集合；
(2) 一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合；
(3)不等式4x-5<3的解集.
解：（1）{-3, 3}；
（2）{(1, 4)}；
（3）{x|x<2}.

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