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【2013·北京·24题】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段 BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
（1）如图 1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图 2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值。
解：（1）∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=α
∴∠ABC=90°-α
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，且∠DBC=60°
∴∠ABD=30°-α
（2）△ABE是等边三角形。证明如下：
连接AD、CD、ED。
∵BC=BD，∠DBC=60°
∴△BCD是等边三角形
∴BD=CD
∵AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α
∠ACD=∠ABD=30°-α
∵∠ABE=∠DBC=60°
∴∠DBE+∠ABD=∠DBE+∠CBE
∴∠CBE=∠ABD=30°-α
∵∠BCE=150°
∴∠BEC=180°-∠BCE-∠CBE=α
∴∠BEC=∠BAD=α
∵BC=BD
∴△ABD≌△EBC（AAS）
∴AB=EB
∴△ABE是等腰三角形
∵∠ABE=60°
∴△ABE是等边三角形
（3）∵∠BCE=150°，∠BCD=60°
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°
∵∠DEC=45°
∴△DCE是等腰直角三角形
∴CE=CD
∵BC=CD
∴BC=CE
∴∠CBE=∠BEC
∵由(2)知，∠CBE=30°-α，∠BEC=α
∴30°-α=α
∴α=30°
【2013·北京·25题】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点。已知点D（，），E（0，-2），F（2，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
① 在点D、E、F中，⊙O的关联点是
② 过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。
解：（1）① 点D、E是⊙O的关联点
② 在①的计算中发现，对于点D，在⊙O上有无数对满足条件的点A、B；而对于点E，在⊙O上有且只有一对点A、B满足条件。
由此可知，当直线l上的点P位于以点O为圆心，半径长为2的圆内或圆上（令该圆为⊙O’）时，点P是⊙O的关联点
∵∠GFO=30° ∴tan∠GFO=
∵OF=2 ∴OG=2，
∴点G的坐标为（0，2），且点G在⊙O’上
设直线l的解析式为y=kx+b，则
解得k=-，b=2
∴直线l的解析式为y=-x+2
∴点P坐标为（m，-m+2）
设直线l于⊙O’的另一个交点为H，过点H作HK⊥x轴于K，连接OH，则HK=-m+2，OK=m
∵HK2+OK2=OH2
∴(-m+2)2+m2=4，即m2-m=0
解得m=0(此为点G)或
∴点H坐标为（，1）
∵当P在线段GH上时，点P是⊙O的关联点
∴m的取值范围为0≤m≤
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，要使该圆的半径最小，则该圆的圆心应在线段EF的中点M处。
可知，当E、F都刚好是⊙M的关联点时，线段EF上的其它点也一定是⊙M的关联点，且此时⊙M的半径也最小。
过点F作⊙M的切线，切点为N，连接MN。
则∠MNF=30°
∵OE=2，OF=2
∴EF=
∴MN=FM=EF=1
此时，r=1
∴这个圆的半径r的取值范围为r≥1
【2013·上海·24题】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°。
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
解：（1）过点A作AH⊥x轴于H。
∵∠AOB=120° ∴∠AOH=60°
∵AO=2
∴OH=AO·cos∠AOH=2×=1
AH=AO·sin∠AOH=2×=
∴点A坐标为（-1，）
∵OB=2 ∴点B坐标为（2，0）
将点A、B坐标代入抛物线解析式得：
解得a=，b=-
∴抛物线的表达式为y=x2-x
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，则N（1，0）
∵当x=1时，y=-=-
∴顶点M坐标为（1，-）
∴ON=1，MN=
∴tan∠MON=
∴∠MON=30°
∴∠AOM=∠AOB+∠MON=150°
（3）∵OA=OB，∠AOB=120°
∴∠ABO=30°
∴当点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似时，点C在点B的右侧，且∠ABC=150°
∵∠ABC=∠AOM=150°
∴当△ABC∽△AOM时，存在如下两种情况：
① 当，即BC=时
∵AB=
OM=
OA=2
∴BC==2
∴OC=OB+BC=2
∴点C坐标为（4，0）
② 当，即BC=时
则BC==6
∴OC=OB+BC=8
∴点C坐标为（8，0）
故，当△ABC∽△AOM时，点C坐标为（4，0）或（8，0）
【2013·上海·25题】在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M。已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y。
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值。
解：（1）∵AD∥BC ∴∠APB=∠MBQ
∵QM⊥BP ∴∠A=∠BMQ=90°
∴△ABP∽△MQB
∴
∵M是PB的中点 ∴MB=PB
∴BQ=
∵AB=5，AP=x
∴PB2=AP2+AB2=x2+25
∴y=
∵Q在BC边上
∴≤13，即x2-26x+25≤0
∴1≤x≤25
∵P在AD边上 ∴0≤x≤13
∴1≤x≤13
∴y关于x的函数解析式为y=(1≤x≤13)
（2）当⊙P与⊙Q外切时，AP+QC=PQ
∵BQ=PQ=y ∴QC=13-y
∴x+13-y=y，即2y=x+13
∴= x+13
解得x=
经检验，x=是分式方程的根
故，当⊙P与⊙Q外切时，x=
（3）连接PE、QE。
∵EF⊥PQ
∴∠EFQ=∠C=90°
∵EF=EC=4，EQ=EQ
∴Rt△EFQ≌Rt△ECQ
∴FQ=QC=13-y
∴PF=PQ-FQ=BQ-FQ=y-13+y=2y-13
∴PE2=PF2+EF2=(2y-13)2+16
∵DE=CD-EC=1，PD=AD-AP=13-x
∴PE2=PD2+DE2=(13-x)2+1
∴(2y-13)2+16=(13-x)2+1
∴(-13)2+16=(13-x)2+1
整理得13x2-130x+125=0
解得x=或
【2013·天津·25题】在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠OBA
（1）如图①，求点E的坐标；
（2）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A’E’O’，连接A’B、BE’。
① 设AA’=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A’B2+BE’2，并求出使A’B2+BE’2取得最小值时点E’的坐标；
② 当A’B+BE’取得最小值时，求点E’的坐标(直接写出结果即可)。
解：（1）∵∠OAE=∠OBA，∠AOE=∠AOB=90°
∴△AOE∽△BOA
∴
∵点A（-2，0），点B（0，4）
∴OA=2，OB=4
∴OE=
∴点E的坐标为（0，1）
（2）① 连接EE’。
∵AO=2，AA’=m
∴OA’=AO-AA’=2-m
∵OB=4
∴A’B2=OA’2+OB2=(2-m)2+16=m2-4m+20
由题意可知，四边形AA’E’E是平行四边形
∴AA’=EE’=m
∵BE=OB-OE=4-1=3
∴BE’2=EE’2+BE2=m2+9
∴A’B2+BE’2=m2-4m+20+m2+9
=2m2-4m+29（0＜m＜2）
∵A’B2+BE’2=2(m-1)2+27
∴当m=1时，A’B2+BE’2有最小值，最小值为27
∴点E’的坐标为（1，1）
② 作点E’关于直线y=4的对称点D，连接BD，直线y=4与DE’交于点C。
∴A’B+BE’= A’B+BD
根据“两点之间线段最短”可知，当点A’、B、D在同一直线上时，A’B+BE’就取得最小值。
∵BC∥x轴
∴△BCD∽△A’O’D
∴
∵BC=EE’=m，DC=CE’=BE=3
A’O’=A’O+OO’=A’O+EE’=2-m+m=2
DO’=DC+CE’+E’O’=3+3+1=7
∴，得m=
∴点E’的坐标为（，1）
【2013·天津·26题】已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M。若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：
x
…
-1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0
0
…
（1）求y1与x之间的函数关系式；
（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l’，A为直线l’上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）。
① 求y2与x之间的函数关系式
② 当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围。
解：（1）由表知，抛物线过点（-1，0）和（3，0）
设抛物线解析式为y1=a(x+1)(x-3)
∵抛物线过点（0，）
∴=-3a，得a=-
∴y1与x之间的函数关系式为y1=-x2+x+
（2）由y1=-x2+x+得，y1=-(x-1)2+3
∴对称轴直线l为x=1，顶点M坐标为（1，3）
① 由题意知，AM、BP互相垂直平分
∴四边形ABMP是菱形
∴PA∥l，即PA⊥x轴 ∴PA=PM=|y2-t|
过点P作PQ⊥l于Q，则PQ=|x-1|，QM=|y2-3|
∵PM2=PQ2+QM2
∴(y2-t)2=(x-1) 2+(y2-3) 2
化简得：(6-2t)y2=x2-2x+10-t2
由题知，当t=3时，点C、M重合，BP与l平行，不满足题意，故t≠3
∴y2与x之间的函数关系式为：
y2=x2-x+(t≠3)
② 当6-2t＞0，即t＜3时，抛物线y2开口向上
由y2=(x-1)2+知，
其顶点M’的坐标为（1，）
∵3＞ ∴M’在点M的下方
∴结合图像可知，不满足y1＜y2恒成立
当6-2t＜0，即t＞3时，抛物线y2开口向下
则y1-y2=-(x-1)2+3-(x-1)2-
=(x-1)2+
若3t-11=0，即t=，y1-y2=＜0，y1＜y2成立
若3t-11≠0，要使y1＜y2恒成立，则对于任一x应有y=(x-1)2+＜0恒成立
∵＜0 ∴＜0
∵3-t＜0 ∴3t-11＞0，即t＞
故，t的取值范围为t≥
【2013·重庆·25题】如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）。
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。
① 若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；
② 设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
解：（1）由题意知，点A、B关于直线x=-1对称
∵点A的坐标为（-3，0）
∴点B的坐标为（1，0）
（2）∵抛物线过点A、B，且a=1
∴抛物线的解析式为y=(x+3)(x-1)= x2+2x-3
∵当x=0时，y=-3
∴点C的坐标为（0，-3）
① 过点P作PH⊥OC于点H。
∵S△POC=OC·PH，S△BOC=OC·OB
又S△POC=4S△BOC
∴PH=4OB=4
∴xP=4或-4
∵当x=4时，y=(4+3)(4-1)=21
当x=-4时，y=(-4+3)(-4-1)=5
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）
② 设直线AC的解析式为y=kx+b，则
解得
∴直线AC的解析式为y=-x-3
设点Q的坐标为（m，-m-3）
∵点Q在线段AC上
∴-3＜m＜0
∵QD⊥x轴，即QD∥y轴
∴点D的坐标为（m，m2+2m-3）
∴QD=-m-3-（m2+2m-3）
=-m2-3m
=-(m+)2+
∴当m=-时，QD长度最大，最大值为
【2013·重庆·26题】已知，如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD，以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°。
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止运动。设移动时间为t秒，则△A0E0D0与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，请写出t的取值范围；
（3）如图②，当△AED停止运动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α(0°＜α＜180°)，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵AD=BC=6，∠EAD=30°，∠AED=90°
∴DE=AD=×6=3
AE=AD·cos30°=6×=3
∴△AED的周长=AD+DE+AE=9+3
（2）① 当0＜t≤时，D0H=t，HK=t
∴S=D0H·HK =
② 当＜t≤时，A0H=6-t，HK=(6-t)
则S△A0HK=A0H·HK=(6-t)2
∵S△A0D0E0=
∴S=
③ 当＜t≤6时，过点D0作D0F⊥BC于F。
易得D0H=BF=t，HB=D0F=(6-t)，BM=12-2t，BK=(6-t)，FN=6-t，则
S矩形BFD0H=BF·HB=t(6-t)
S△KBM=BM·BK=(6-t)2
S△D0FN=FN·D0F=(6-t)2
∴S=t(6-t)-(6-t)2-(6-t)2
=
（3）∵在四边形CE1PE中，∠E=∠CE1P=90°
∴α+∠E1PE=180°
∵∠E1PE+∠BPQ=180° ∴α=∠BPQ
当BQ=PQ时，α=∠BPQ=∠PBQ=30°
当BQ=BP时，α=∠BPQ=∠PBQ=75°
当BP=PQ时，α=∠BPQ=120°
故，当α=30°、75°、120°时，△BPQ为等腰三角形

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