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第5讲 力和运动的多维合成
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专题目录
专题目录
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【专题一】力的合成和分解
【专题二】运动的合成和分解
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知识讲解
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专题一、力的合成和分解
初中知识要点回顾：
二力合成：由于力是有方向的，如果二力方向在同一条直线上，合力的大小或；即当二力方向相同时，合力最大，当二力方向相反时，合力最小．
高中对接知识精读：
知识点1 力的合成
1．合力
当一个物体受到几个力的共同作用时，我们常常可以求出这样一个力，这个力的作用效果跟原来几个力的共同效果相同，这个力就叫做那几个力的合力（resultant force）．
2．共点力
如果一个物体受到两个或者更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但他们的力的作用线延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力（concurrent forces）．
3．共点力的合成法则
求几个已知力的合力叫力的合成（composition of forces）．力的合成就是找一个力去替代几个已知的力，而不改变其作用效果．
力的平行四边形定则（parallelogram rule）：如右图所示，以表示两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两边夹角的对角线大小和方向就表示合力的大小和方向．（只适用于共点力）
下面根据已知两个力夹角的大小来讨论力的合成的几种情况：
（1）当时，即同向，此时合力最大，，方向和两个力的方向相同．
（2）当时，即方向相反，此时合力最小，，方向和中较大的那个力相同．
（3）当时，即相互垂直，如图，，．
（4）当为任意角时，根据余弦定律，合力
根据以上分析可知，无论两个力的夹角为多少，必然有成立．
力的三角形定则（triangular rule）和多边形法则
力的平行四边形定则，也可以用力的矢量三角形表示，如图甲可用图乙的力的三角形法表示，即将待合成的力按原来力的方向“首”、“尾”相接，合力即为起于一个力的“首”，止于另一个力的“尾”的有向线段．
力的多边形法则：若是物体受到的几个力的合力为零，那么这几个力按照力的图示首尾相接，可以组成一个封闭的矢量多边形．
物体处于平衡状态时，所受合外力为零，反之也正确．
4．解题方法
（1）图解法：从力的作用点起，依两个分力的作用方向按同一标度作出两个分力、，并构成一个平行四边形，这个平行四边形的对角线的长度按同样比例表示合力的大小．对角线的方向就是合力的方向，通常可用量角器直接量出合力与某一个力（如）的夹角，如图所示．
（2）计算法：从力的作用点按照分力的作用方向画出力的平行四边形后，算出对角线所表示的合力的大小．
知识点2 力的分解（合成的逆运算）
1．分力
几个力共同产生的效果跟原来一个力产生的效果相同，这几个力就叫做原来那个力的分力（components of forces）．
2．力的分解
（1）求一个已知力的分力叫做力的分解．
（2）分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平形四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力．
3．力的分解方法
力的分解方法：根据力产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力和的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小．
实际上，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形．也就是说，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．一个已知力究竟应该怎样分解，这要根据实际情况来决定．
4．力的正交分解方法
正交分解法是把力沿着两个经选定的互相垂直的方向作分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法，其步骤如下：
（1）正确选定直角坐标系．
通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴方向的选择则应根据实际问题来确定，原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即：使向两坐标轴投影分解的力尽可能少．在处理静力学问题时，通常是选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其他方向较为简便时也可选用．
（2）分别将各个力投影到坐标轴上，分别求出轴和轴上各力的投影的合力和：
（式中的和是在轴和轴上的两个分量，其余类推．）
这样，共点力的合力大小为：．
设合力的方向与轴正方向之间的夹角为，因为，
所以，通过查数学用表，可得数值，即得出合力的方向．
特别的：若，则可推得，．这是处理多个力作用下物体平衡问题的常用的好办法．
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例题精讲
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单对象平衡态
两个大小分别为和（）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小满足（ ）
A． B．
C． D．
【考点】力的合成 【难度】1星 【题型】选择
【答案】C
两个大小确定的共点力和，若和夹角逐渐增大，则合力（ ）
A．大小不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先减小后增大
【考点】力的合成 【难度】1星 【题型】选择
【答案】C
三个大小相等互成角的力，它们合成后合力大小是（ ）
A． B． C． D．
【考点】力的合成 【难度】2星 【题型】选择
【答案】A
如图所示，用两根绳子吊着一个物体，逐渐增大两绳间的夹角，物体始终保持静止，则两绳对物体的拉力的合力（ ）
A．大小不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先减小后增大
【考点】力的合成 【难度】2星 【题型】选择
【答案】A
下列几组共点力分别作用在一个物体上，有可能使物体达到平衡状态的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【考点】力的合成 【难度】2星 【题型】选择
【答案】AD
大小分别为5N、7N、9N的三个力合成，其合力F大小的范围为（　 ）
A．2N≤F≤20N B．3N≤F≤21N
C．0≤F≤20N D．0≤F≤21N
【考点】力的合成 【难度】2星 【题型】选择
【答案】D
两个大小相等的共点力，当它们间的夹角为时合力大小为，则当它们间的夹角为时，合力的大小为多少
【考点】力的合成 【难度】3星 【题型】计算
【解析】本题可根据平行四边形定则求解．
设；当它们间的夹角时，画出的平行四边形是一正方形，其合力为：
∴
当两个分力间夹角变为时，同理画出平行四边形实为一菱形．由于每一半组成一等边三角形，因此其合力
【答案】
右图给出了六个力，它们作用于同一点，大小已在图中标出，相邻的两个力之间的夹角均为，则这六个力的合力大小为（ ）
A． B． C． D．
【考点】力的合成 【难度】3星 【题型】选择
【解析】如下图所示，先作出三条直线上的两两合力：
、、
由于三个合力之间夹角均为，则和的夹角为，它们的合力为，方向与相同，故六个力的合力大小为，方向与相同．
【答案】B
有五个力，，，，，作用于一点，这五个力的矢量末端分别位于圆内接正六边形顶点，，，，，如图所示．若力，则这五个力的合力如何
【考点】力的合成 【难度】4星 【题型】选择
【答案】求这五个力的合力，依据平行四边形定则，可先求出其中任意两个力的合力，再求出这个力与第三个力的合力，这样依次下去，直到把五个力都合成为止．我们也可不按顺序两两合成，求出合力，但必须注意的是每个力只能合成一次，不能重复合成．选择什么顺序求和，应根据各力的特点和相互关系简化求解．
根据网内正六边形的几何关系知道：和，和的合力均与重合，所以它们的大小、方向均与相同，这五个力的合力等于三倍的，而，故这五个力合力的大小为，方向与相同．
如图所示，质量为的物体，在水平面上向右运动，此时所受到的水平力向右，，物体与地面之间的动摩擦因数为，则物体所受到的合力为（ ）
A．，水平向右 　　B．，水平向左
C．，水平向右 　　D．，水平向右
【考点】力的合成 【难度】2星 【题型】选择
【解析】物体在竖直方向上受到重力、支持力作用，相互平衡；水平方向上受到的力为摩擦力，方向向左、推力，方向向右；故合力为，水平向右．
【答案】D
如图所示，一木块在拉力的作用下，沿水平面做匀速直线运动，则拉力和摩擦力的合力的方向是（ ）
A．向上偏右 B．向上偏左 C．向上 D．向右
【考点】力的合成 【难度】3星 【题型】选择
【解析】物体做匀速直线运动，说明物体受到平衡力的作用．对木块进行受力分析可知，木块受到重力、支持力、拉力和摩擦力四个力的作用，由于重力和支持力都没有水平分量，如果木块要平衡，则拉力和摩擦力的合力必然为竖直方向，摩擦力水平、拉力偏上，显然合力的方向只能为竖直向上．
【答案】C
轻绳总长，用轻滑轮悬挂重的物体．绳能承受的最大拉力是，将端固定、端缓慢向右移动而使绳不断，求的最大值．
【考点】力的合成 【难度】4星 【题型】计算
【关键词】临界和极值问题
【答案】以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为）和绳的拉力、共同作用下静止．而同一根绳子上的拉力大小、总是相等的，它们的合力是压力的平衡力，方向竖直向上．因此以、为分力作力的合成的平行四边形一定是菱形．利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得，所以最大为．
如图所示，要在客厅里挂一幅质量的画（含画框），已知画框背面有两个相距、位置固定的挂钩．现将轻质细绳的两端分别固定在两个挂钩上，把画对称地挂在插入竖直墙壁的光滑钉子上，挂好后整条细绳呈绷紧状态．若细绳能够承受的最大拉力为，取，要使细绳不被拉断，求细绳的最小长度．
【考点】力的合成 【难度】星 【题型】计算
【关键词】临界和极值问题
【解析】画（含画框）受到重力和两个大小相等的细绳拉力的作用而处于静止状态，当时，对应于细绳不被拉断的最小长度．
由平衡条件有，
由相似三角形得，代入数据解得．
【答案】
两个人在两岸用绳拉小船在河流中行驶．如图所示，已知甲的拉力是，拉力方向与航向夹角为，乙的拉力大小为，且两绳在同一水平面内．若要使小船能在河流正中间沿直线行驶，乙用力的方向如何？小船受到两拉力的合力为多大？
【考点】力的合成 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】图解法，正交分解法
【解析】要使小船能沿河流正中间直线行驶，两个拉力的合力的方向应与河岸平行，指向航向．因此，本题属于已知一个分力的大小和方向、另一个分力的大小和合力方向，求另一个分力的方向和合力的问题．
（解法一：正弦定理）根据题意作出平行四边形如图所示，
由正弦定理有：，
，故，
而
（解法二：正交分解法）将两力的作用点作为坐标原点，以小船航向为轴方向，建立直角坐标系，如图所示，将、进行正交分解．由图可知：
，，，．
由题意可知：，则有，即
∴ ，即．
小船受到两拉力的合力即：
【答案】，
用细绳悬挂重物，水平，与竖直线成角，如图所示．若能承受的最大拉力分别是和，能承受足够大的拉力，为使细线不被拉断，则重物的最大重力是多少？
【考点】力的合成 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】临界和极值问题
【解析】设先达到最大值时不断，对结点受力分析如图．
则的拉力为
因此，在重物加重时，先断，令的拉力达最大值，此时物体重力，所以重物的最大重力为．
【答案】
以下说法中正确的是（ ）
A．2N的力能够分解成6N和3N的两个分力
B．10N的力可以分解成5N和4N的两个分力
C．2N的力可以分解成6N和5N的两个分力
D．10N的力可以分解成10N和10N的两个分力
【考点】力的分解 【难度】2星 【题型】选择
【答案】CD
将20N的力分解成为两个互相垂直的力，其中一个分力是12N，那么另一个分力大小应为　　N．
【考点】力的分解 【难度】2星 【题型】填空
【答案】16
在力的分解中，下列情况中具有唯一解的是（　　）
A．已知两个分力的方向，并且不在同一直线上
B．已知一个分力的大小和方向
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D．已知两个分力的大小
【考点】力的分解 【难度】3星 【题型】选择
【答案】AB
如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成角，则每根支架中承受的压力大小为（ ）
A． B．　　C．　　D．
【考点】力的分解 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】2010年，江苏，高考
【解析】．选D
【答案】D
在图中电灯的重力为，绳与天花板间的夹角为，绳水平．求绳、所受的拉力．
【考点】按作用效果分解力 【难度】2星 【题型】计算
【答案】绳对结点的拉力等于电灯所受的重力，方向竖直向下．由于拉力的作用，、也受到拉力的作用，因此拉力可分解为沿向下的分力；沿方向水平向左的分力，如图所示．由几何知识知
所以绳AO和绳BO受的拉力分别为、．
如图所示，重物的重量为，轻细线与的、端是固定的，平衡时是水平的，与竖直方向的夹角为，的拉力和的拉力大小是（ ）
A． 　　B．
C． 　　D．
【考点】按作用效果分解力 【难度】2星 【题型】选择
【解析】选取点为研究对象，其受力如右图所示，点受到三个力的作用：物体对的拉力，大小为，绳子的拉力，绳子的拉力．
解法一：重力的作用效果是拉紧两根绳子，拉绳子的力应该沿着绳子方向，如右图所示，将重力沿两根绳子的方向分解为和，在直角三角形中，由几何知识得：，．
由于重物静止，任何方向的合力均为零，所以有，．
解法二：把拉力的作用效果看做是竖直向上平衡重力和水平向右拉绳子的，如图所示，可将沿水平和竖直两个方向分解为和，由几何知识得，．联立即可解得：，，
解法三：如把的作用效果看做是沿竖直向上方向提物体和斜向下方向拉紧另一细绳，则可按照如图所示的那样把分解为和．
现根据小球处于静止状态，所受的合力为零的条件，利用直角三角形的知识，都可以解得，
【答案】BD
某压榨机的结构示意图如图所示，其中点为固定铰链．若在铰链处作用一垂直于壁的力，则由于的作用，使滑块压紧物体．设滑块与物体光滑接触，杆的重力不计，压榨机的尺寸如图所示，求物体所受的压力大小是的多少倍．（滑块重力不计）
【考点】按作用效果分解力 【难度】4星 【题型】计算
【答案】根据作用效果对力进行分解．力的作用效果是对两杆产生沿杆方向的压力和，其中，的作用效果是对滑块产生水平向左的推力和竖直向下的压力，将力沿水平方向和竖直方向分解，如图，可得到滑块对物体的压力大小．
可以得到
，
所以，
如图所示，质量为的球放在倾角为的光滑斜面上，试分析挡板与斜面间的倾角多大时，所受压力最小
【考点】按作用效果分解力 【难度】4星 【题型】计算
【关键词】动态分析
【解析】虽然题目问的是挡板的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论．以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生了压力，对挡板产生了压力．根据重力产生的效果分解，如图所示．
当挡板与斜面的夹角由图示位置变化时，大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；的大小、方向均改变．图中画出的一系列虚线表示变化的由图可以看出，当与垂直即时，挡板受压力最小，最小压力．
也可用解析法分析力的矢量三角形，根据正弦定理有，得．
是定值，随变化而变化：
当时，；
当时，；
当时，有最小值
【答案】
如图所示，一物块置于水平地面上．当用与水平方向成角的力拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成角的力推物块时，物块仍做匀速直线运动．若和的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．1-
【考点】正交分解法 【难度】3星 【题型】选择
【解析】物体受重力、支持力、摩擦力，已知力处于平衡，根据平衡条件，有，，联立解得：．
【答案】B
小船用绳索拉向岸边，如图所示，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列哪句话是正确的（ ）
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不变
C．船的浮力减小
D．船的浮力增大
【考点】正交分解法 【难度】4星 【题型】选择
【解析】由于小船匀速靠岸，对船进行受力分析可知：，，在小船靠岸的过程中，水的阻力不变，绳子倾角不断增大（增大范围为），不断增大，不断减小；故增大，减小．
【答案】AC
如图所示，在半径为的光滑半球面上高处悬挂一定滑轮，重力为的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化．
【考点】按作用效果分解力 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】动态平衡
【答案】受一般动态平衡问题思维定式的影响，往往以为小球在移动过程中对半球的压力无定值．其实只要对小球进行受力分析，并将重力沿绳子和垂直球面方向分解得出平行四边形，不难看出由、、构成的力三角形和由、、构成的几何三角形相似，从而，，由于在拉动过程中，、不变，绳长在减小，可见大小不变，绳子的拉力在减小．
专题二、运动的合成和分解
1．有关运动的合成和分解的几个概念：
如果某物体同时参与几个运动，那么这个物体的实际运动就叫做这几个运动的合运动，这几个运动叫做这个实际运动的分运动．已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解．
合运动的位移叫做合位移；分运动的位移叫分位移．
2．运动的合成及分解规则：平行四边形定则．
（1）合运动一定是物体的实际运动．
（2）分运动之间是相互不相干的．
（3）合运动和各分运动具有等时性．
（4）合运动和分运动的位移、速度、加速度都遵守平行四边形定则．
（5）特例：
a．初速为的匀加速直线运动，可看成是同方向的一个匀速运动和另一个初速为零的匀加速直线运动的合运动．
b．竖直上抛运动可看成是一个竖直向上的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动．
c．两个匀速直线运动合成后一定是匀速直线运动．
d．不在同一直线上的一个匀速直线运动和一个变速直线运动合成后运动轨迹是曲线（合运动的加速度方向和合运动速度方向不在同一直线上）．
注意：虽然同样遵循平行四边形法则，但运动和力的分解计算方式是不同的！！
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例题精讲
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单对象平衡态
关于运动的合成和分解，下述说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B．物体的两个分运动是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C．合运动和分运动具有同时性
D．合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个曲线运动
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【解析】合运动的速度大小与两分运动速度大小关系随两分速度方向的变化而变化，当两分速度方向相同时，合速度大小为两分速度大小之和，当两分速度方向相反时，合速度大小为两分速度大小之差，两分速度之间夹角介于和之间，合速度大小介于两分速度大小之和与两分速度大小之差之间，故A错误．物体的两个分运动是直线运动，说明两个分力与两分速度各自在同一直线上，但两个分力的合力、两个分速度的合速度方向却不一定在同一直线上，即两个分运动是直线运动，合运动不一定是直线运动．反之，合运动是曲线运动，分运动也不一定就是曲线运动．选项B、D错．当一个运动分解为两个分运动或几个分运动时，几个分运动各自遵循各自的运动规律，而不相互干扰，但合运动与分运动，分运动与分运动间运动时间相同，同时进行，具有等时性，故选项C正确．
【答案】C
关于运动的合成与分解，下列说法正确的有（ ）
A．合速度的大小一定比每一个分速度大
B．两个直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
D．两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相同
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【解析】依矢量合成的思维方法容易做出判断，A错．两个分运动的性质未说清楚，可能一个是匀速运动，而另一个是初速度为零的匀加速运动，则合成的轨迹就不是直线，B错．运动的方向是合速度的方向，C正确．D是根据合运动和分运动的定义做出的判断是正确的．
【答案】CD
对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是（ ）
A．合运动的速度一定是大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【答案】C
下列说法正确的是（ ）
A．两个分运动是直线运动，则它们的合运动也一定是直线运动
B．两个分运动是匀速直线运动，则它们的合运动也一定是匀速直线运动
C．两个分运动是初速为零的匀加速直线运动，则它们的合运动也一定是初速为零的匀加速直线运动
D．两个分运动是初速不为零的匀加速直线运动，它们的合运动可能是匀加速曲线运动
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【答案】BCD
雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是（ ）
A．风速越大，雨滴下落时间越长 B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关 D．雨滴着地速度与风速无关
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【答案】BC
如图所示，物体和的质量均为，且分别与轻绳连接跨过定滑轮（不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦）．当用水平变力拉物体沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中（ ）
A．物体也做匀速直线运动
B．绳子拉力始终大于物体所受的重力
C．绳子对物体的拉力逐渐增大
D．绳子对物体的拉力逐渐减小
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【答案】BD
用跨过定滑轮的绳子把湖中小船拉靠岸，如图所示，已知拉绳的速度不变，则船速（ ）
A．不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【答案】B
如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高，则当滑轮右侧绳与竖直方向的夹角为，且重物下滑的速度为时，小车的速度是多少
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】计算
【解析】物体下滑的速度为合速度，被带动的绳参与了两种运动，一个是有沿绳的速度（径向），一个是沿绳的摆动方向，且与垂直的（横向），故以、为邻边做平行四边形，为对角线，与夹角为，如答图所示，∴，，∴小车速度为．
【答案】
如图所示，用汽车将深井内重物M提起，当汽车在地面上由A行驶到B时，速度为，此时绳和竖直方向夹角为，此时重物M的速度多大？
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】计算
【解析】分析汽车的运动和重物M的运动关系，汽车的运动（绳末端的运动）可看做两个分运动的合成：一个是沿绳的方向的牵引，绳长拉长，它使绳长拉长的速度（物体上升的速度）；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长．则，若汽车匀速行驶，则重物变速上升．
【答案】
某人骑自行车以的速度在大风中向东行驶，他感到风正以相当于车的速度从北方吹来，实际上风的速度是（ ）
A．，方向为南偏西 B．，方向为东偏南
C．，方向为正北 D．，方向为正南
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【解析】人感觉到的风速是风相对车的速度，是风的一个分速度，大小是，方向向南，风还有一个与车速相同的分速度，方向向东，大小为．这个分速度相对车为零，所以人感觉不到，实际的风速是由和合成的．，其方向，即．
【答案】B
一条河宽，河水的流速为，船在静水中的速度，
（1）船夫要在最短的时间内渡河，应该怎么划船？最短时间是多少？
（2）如果船夫过河要求航程最短，应该怎么划船？用的时间是多少？
（3）河宽保持不变，河水的流速变为，船在静水中的速度变为，同样是上面的要求，船夫应该怎样划船？
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】计算
【解析】（1）以最短的时间渡河，船夫应该把船头正对河岸，可保证渡河的时间最短．
（2）想到达河对岸，应该让船头与上游河岸保持一定的角度．船的运动的如图所示，，船的合速度，，船头与上游的夹角
（3）要使小船渡河时间最短，小船船头仍然应垂直河岸渡河，渡河的最短时间
由于现在水流速度大于船在静水中的速度，船夫要想到达河对岸的想
法只能成为泡影，我们只能保证船的航程最短，但无法保证船到达正对岸．当船速小于水流速度时，即时，合速度不可能与河岸垂直，只有当合速度方向越接近垂直河岸方向，航程越短．可由几何方法求得，即以的末端为圆心，以的长度为半径作圆，从的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示．
，
设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成角，则小船的船头与上游河岸成角时，渡河的最短航程为．
【答案】（1） （2） （3）
某人相对于水以速度沿垂直于岸方向向对岸游去，水流速度为，此人过河的路程和过河时间与速度的关系，下列说法正确的有（ ）
A．一定，大时小，小 B．一定，大时大，小
C．一定，大时大，不变 D．一定，大时大，小
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【解析】人在垂直于岸方向的速度为，设河宽为，则过河时间，上式表明，过河时间与水流速度无关，大时过河时间短；过河时沿岸方向的路程，而垂直于岸方向的路程恒为，故，上式表明，越大，越大．
【答案】AC
有一艘船正在渡河，如图所示，在离对岸时，其下游处有一危险水域，假若水流速度为，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度应是多大
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】计算
【解析】如图所示，当小船到达危险水域前，恰好到达对岸，其合速度方向沿方向，，为使船速最小，应使，则
【答案】
(
巩固练习
)
某物体在三个共点力作用下处于平衡状态，若把其中一个力的方向沿顺时针转过而保持其大小不变，其余两个力保持不变，则此时物体所受到的合力大小为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【考点】力的合成 【难度】2星 【题型】选择
【答案】B
两个共点力，大小都是，如果要使它们的合力也是，则这两个力的夹角应为（ ）
A． B． C． D．
【考点】力的合成 【难度】2星 【题型】选择
【答案】以和为邻边作平行四边形，如图所示，求出和的合力F，因为，所以、均为等边三角形，从而得到，D选项正确．
水平横梁一端插在墙壁内，另一端装有一小滑轮，一轻绳的一端固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，，如图所示．则滑轮受到绳子的作用力为（取）（ ）
A． B． C． D．
【考点】力的合成 【难度】3星 【题型】选择
【解析】以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力是，则小滑轮受到绳的作用力方向与绳子，拉力的合力方向相反，如图所示，由图可以计算出．故选C．
【答案】C
在图中，两光滑斜面互相垂直．与水平面成．若把球的重力按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【考点】按作用效果分解力 【难度】2星 【题型】选择
【答案】A
如图，人用绳通过定滑轮拉物体，当人以速度匀速向左前进时，求物体的速度．
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】计算
【解析】首先要分析物体的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系．物体的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于；一是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的值．这样就可以将按图示方向进行分解，很容易求得物体的速度．当物体向左移动，将逐渐变大，逐渐变大．虽然人做匀速运动，但物体却在做变速运动．
【答案】
甲、乙两船在静水中划行的速度分别为，两船从同一渡口向河对岸划去，若甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船在同一地点到岸，则两船过河时间之比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】运动的合成与分解 【难度】3星 【题型】选择
【解析】甲以最短时间过河，则必定垂直于河岸；乙船以最短航程过河，一般情况下，应是乙的合速度与河岸垂直，但两船在同一地点到岸，说明乙船合速度不可能垂直于河岸（实质上是乙划行速度小于水流速度），这时，要航程最短，应是乙的合速度与河岸夹角尽可能大，最大夹角对应乙的划行速度与乙的合速度垂直（如图）．
∵ 两船航程相等，∴，而，
∴ ，又∵ ，∴ ．
【答案】B
课外拓展：不同维度的世界
维度世界
一维世界：我们知道，只有点和线是一维的。所以，一维世界的原驻居民应该有4种：点、线段、直线和射线。所以在一维世界，想要区分开射线和直线很困难，因为这两个都是无限长的。
二维世界：二维世界代表是平面形状。因此原驻居民由圆、正方形、矩形、三角、六边形、梯形、不规则形状等几何图形组成。二维世界的认知依然很困难。居民相遇时只能看到对方一条边，因此需要完全绕行一周才能识别对方。
三维世界：由长宽高组成，原驻居民应该有球、立方体、四面体等多种物体。居民无法看见对方的背面
四维世界：由长宽高+时间组成，我们的世界。
维度世界之间的干扰
当二维世界的居民进入一维世界时，由于进入角度不同，有可能被一维世界的原驻居民识别为点或者线段。二维世界的居民在一维世界具有“变形术”
当三维世界的居民进入二维世界时，同样，由于体在面中的截面不同。可能会被二维世界的居民识别为各种形状（如下图），具备“变形术”。同时由于截面的大小会改变，还具有 “变大变小术”。
当四维世界的原驻居民进入三维世界时，由于时间的扰动。四维世界的外来者可能具有速度突变的“神行”，“瞬移”等性质。
四维世界的居民进入另一个时间流动速度不同的四维世界时，甚至也可能表现出“神行”，“瞬移”“永生”“不老”等性质。
维度差值越大，扰动也就越大。我们可以用一支笔、一张纸，画出二维世界。
据M理论，宇宙一共可以达到11维。
如果有五维世界或六维世界的居民来到我们的世界，Ta 会有什么神奇的“法术”呢？
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第5讲 运动和力的多维合成
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专题目录
专题目录
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【专题一】力的合成和分解
【专题二】运动的合成和分解
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知识讲解
)
专题一、力的合成和分解
初中知识要点回顾：
二力合成：由于力是有方向的，如果二力方向在同一条直线上，合力的大小或；即当二力方向相同时，合力最大，当二力方向相反时，合力最小．
高中对接知识精读：
知识点1 力的合成
1．合力
当一个物体受到几个力的共同作用时，我们常常可以求出这样一个力，这个力的作用效果跟原来几个力的共同效果相同，这个力就叫做那几个力的合力（resultant force）．
2．共点力
如果一个物体受到两个或者更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但他们的力的作用线延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力（concurrent forces）．
3．共点力的合成法则
求几个已知力的合力叫力的合成（composition of forces）．力的合成就是找一个力去替代几个已知的力，而不改变其作用效果．
力的平行四边形定则（parallelogram rule）：如右图所示，以表示两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两边夹角的对角线大小和方向就表示合力的大小和方向．（只适用于共点力）
下面根据已知两个力夹角的大小来讨论力的合成的几种情况：
（1）当时，即同向，此时合力最大，，方向和两个力的方向相同．
（2）当时，即方向相反，此时合力最小，，方向和中较大的那个力相同．
（3）当时，即相互垂直，如图，，．
（4）当为任意角时，根据余弦定律，合力
根据以上分析可知，无论两个力的夹角为多少，必然有成立．
力的三角形定则（triangular rule）和多边形法则
力的平行四边形定则，也可以用力的矢量三角形表示，如图甲可用图乙的力的三角形法表示，即将待合成的力按原来力的方向“首”、“尾”相接，合力即为起于一个力的“首”，止于另一个力的“尾”的有向线段．
力的多边形法则：若是物体受到的几个力的合力为零，那么这几个力按照力的图示首尾相接，可以组成一个封闭的矢量多边形．
物体处于平衡状态时，所受合外力为零，反之也正确．
4．解题方法
（1）图解法：从力的作用点起，依两个分力的作用方向按同一标度作出两个分力、，并构成一个平行四边形，这个平行四边形的对角线的长度按同样比例表示合力的大小．对角线的方向就是合力的方向，通常可用量角器直接量出合力与某一个力（如）的夹角，如图所示．
（2）计算法：从力的作用点按照分力的作用方向画出力的平行四边形后，算出对角线所表示的合力的大小．
知识点2 力的分解（合成的逆运算）
1．分力
几个力共同产生的效果跟原来一个力产生的效果相同，这几个力就叫做原来那个力的分力（components of forces）．
2．力的分解
（1）求一个已知力的分力叫做力的分解．
（2）分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则，即把已知力作为平形四边形的对角线，那么，与已知力共面的平行四边形的两条邻边就表示已知力的两个分力．
3．力的分解方法
力的分解方法：根据力产生的作用效果，先确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则用作图法作出两个分力和的示意图，最后根据相关数学知识计算出两个分力的大小．
实际上，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形．也就是说，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．一个已知力究竟应该怎样分解，这要根据实际情况来决定．
4．力的正交分解方法
正交分解法是把力沿着两个经选定的互相垂直的方向作分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法，其步骤如下：
（1）正确选定直角坐标系．
通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴方向的选择则应根据实际问题来确定，原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即：使向两坐标轴投影分解的力尽可能少．在处理静力学问题时，通常是选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其他方向较为简便时也可选用．
（2）分别将各个力投影到坐标轴上，分别求出轴和轴上各力的投影的合力和：
（式中的和是在轴和轴上的两个分量，其余类推．）
这样，共点力的合力大小为：．
设合力的方向与轴正方向之间的夹角为，因为，
所以，通过查数学用表，可得数值，即得出合力的方向．
特别的：若，则可推得，．这是处理多个力作用下物体平衡问题的常用的好办法．
(
例题精讲
)
单对象平衡态
两个大小分别为和（）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小满足（ ）
A． B．
C． D．
两个大小确定的共点力和，若和夹角逐渐增大，则合力（ ）
A．大小不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先减小后增大
三个大小相等互成角的力，它们合成后合力大小是（ ）
A． B． C． D．
如图所示，用两根绳子吊着一个物体，逐渐增大两绳间的夹角，物体始终保持静止，则两绳对物体的拉力的合力（ ）
A．大小不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先减小后增大
下列几组共点力分别作用在一个物体上，有可能使物体达到平衡状态的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
大小分别为5N、7N、9N的三个力合成，其合力F大小的范围为（　 ）
A．2N≤F≤20N B．3N≤F≤21N
C．0≤F≤20N D．0≤F≤21N
两个大小相等的共点力，当它们间的夹角为时合力大小为，则当它们间的夹角为时，合力的大小为多少
右图给出了六个力，它们作用于同一点，大小已在图中标出，相邻的两个力之间的夹角均为，则这六个力的合力大小为（ ）
A． B． C． D．
有五个力，，，，，作用于一点，这五个力的矢量末端分别位于圆内接正六边形顶点，，，，，如图所示．若力，则这五个力的合力如何
如图所示，质量为的物体，在水平面上向右运动，此时所受到的水平力向右，，物体与地面之间的动摩擦因数为，则物体所受到的合力为（ ）
A．，水平向右 　　B．，水平向左
C．，水平向右 　　D．，水平向右
如图所示，一木块在拉力的作用下，沿水平面做匀速直线运动，则拉力和摩擦力的合力的方向是（ ）
A．向上偏右 B．向上偏左 C．向上 D．向右
轻绳总长，用轻滑轮悬挂重的物体．绳能承受的最大拉力是，将端固定、端缓慢向右移动而使绳不断，求的最大值．
如图所示，要在客厅里挂一幅质量的画（含画框），已知画框背面有两个相距、位置固定的挂钩．现将轻质细绳的两端分别固定在两个挂钩上，把画对称地挂在插入竖直墙壁的光滑钉子上，挂好后整条细绳呈绷紧状态．若细绳能够承受的最大拉力为，取，要使细绳不被拉断，求细绳的最小长度．
两个人在两岸用绳拉小船在河流中行驶．如图所示，已知甲的拉力是，拉力方向与航向夹角为，乙的拉力大小为，且两绳在同一水平面内．若要使小船能在河流正中间沿直线行驶，乙用力的方向如何？小船受到两拉力的合力为多大？
用细绳悬挂重物，水平，与竖直线成角，如图所示．若能承受的最大拉力分别是和，能承受足够大的拉力，为使细线不被拉断，则重物的最大重力是多少？
以下说法中正确的是（ ）
A．2N的力能够分解成6N和3N的两个分力
B．10N的力可以分解成5N和4N的两个分力
C．2N的力可以分解成6N和5N的两个分力
D．10N的力可以分解成10N和10N的两个分力
将20N的力分解成为两个互相垂直的力，其中一个分力是12N，那么另一个分力大小应为　　N．
在力的分解中，下列情况中具有唯一解的是（　　）
A．已知两个分力的方向，并且不在同一直线上
B．已知一个分力的大小和方向
C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D．已知两个分力的大小
如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成角，则每根支架中承受的压力大小为（ ）
A． B．　　C．　　D．
在图中电灯的重力为，绳与天花板间的夹角为，绳水平．求绳、所受的拉力．
如图所示，重物的重量为，轻细线与的、端是固定的，平衡时是水平的，与竖直方向的夹角为，的拉力和的拉力大小是（ ）
A． 　　B．
C． 　　D．
某压榨机的结构示意图如图所示，其中点为固定铰链．若在铰链处作用一垂直于壁的力，则由于的作用，使滑块压紧物体．设滑块与物体光滑接触，杆的重力不计，压榨机的尺寸如图所示，求物体所受的压力大小是的多少倍．（滑块重力不计）
如图所示，质量为的球放在倾角为的光滑斜面上，试分析挡板与斜面间的倾角多大时，所受压力最小
如图所示，一物块置于水平地面上．当用与水平方向成角的力拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成角的力推物块时，物块仍做匀速直线运动．若和的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．1-
小船用绳索拉向岸边，如图所示，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列哪句话是正确的（ ）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不变
C．船的浮力减小 D．船的浮力增大
如图所示，在半径为的光滑半球面上高处悬挂一定滑轮，重力为的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住，人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化．
专题二、运动的合成和分解
1．有关运动的合成和分解的几个概念：
如果某物体同时参与几个运动，那么这个物体的实际运动就叫做这几个运动的合运动，这几个运动叫做这个实际运动的分运动．已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解．
合运动的位移叫做合位移；分运动的位移叫分位移．
2．运动的合成及分解规则：平行四边形定则．
（1）合运动一定是物体的实际运动．
（2）分运动之间是相互不相干的．
（3）合运动和各分运动具有等时性．
（4）合运动和分运动的位移、速度、加速度都遵守平行四边形定则．
（5）特例：
a．初速为的匀加速直线运动，可看成是同方向的一个匀速运动和另一个初速为零的匀加速直线运动的合运动．
b．竖直上抛运动可看成是一个竖直向上的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动．
c．两个匀速直线运动合成后一定是匀速直线运动．
d．不在同一直线上的一个匀速直线运动和一个变速直线运动合成后运动轨迹是曲线（合运动的加速度方向和合运动速度方向不在同一直线上）．
注意：虽然同样遵循平行四边形法则，但运动和力的分解计算方式是不同的！！
(
例题精讲
)
单对象平衡态
关于运动的合成和分解，下述说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B．物体的两个分运动是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C．合运动和分运动具有同时性
D．合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个曲线运动
关于运动的合成与分解，下列说法正确的有（ ）
A．合速度的大小一定比每一个分速度大
B．两个直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
D．两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相同
对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是（ ）
A．合运动的速度一定是大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
下列说法正确的是（ ）
A．两个分运动是直线运动，则它们的合运动也一定是直线运动
B．两个分运动是匀速直线运动，则它们的合运动也一定是匀速直线运动
C．两个分运动是初速为零的匀加速直线运动，则它们的合运动也一定是初速为零的匀加速直线运动
D．两个分运动是初速不为零的匀加速直线运动，它们的合运动可能是匀加速曲线运动
雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是（ ）
A．风速越大，雨滴下落时间越长 B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关 D．雨滴着地速度与风速无关
如图所示，物体和的质量均为，且分别与轻绳连接跨过定滑轮（不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦）．当用水平变力拉物体沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中（ ）
A．物体也做匀速直线运动
B．绳子拉力始终大于物体所受的重力
C．绳子对物体的拉力逐渐增大
D．绳子对物体的拉力逐渐减小
用跨过定滑轮的绳子把湖中小船拉靠岸，如图所示，已知拉绳的速度不变，则船速（ ）
A．不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小
如图所示，重物沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高，则当滑轮右侧绳与竖直方向的夹角为，且重物下滑的速度为时，小车的速度是多少
如图所示，用汽车将深井内重物M提起，当汽车在地面上由A行驶到B时，速度为，此时绳和竖直方向夹角为，此时重物M的速度多大？
某人骑自行车以的速度在大风中向东行驶，他感到风正以相当于车的速度从北方吹来，实际上风的速度是（ ）
A．，方向为南偏西 B．，方向为东偏南
C．，方向为正北 D．，方向为正南
某人相对于水以速度沿垂直于岸方向向对岸游去，水流速度为，此人过河的路程和过河时间与速度的关系，下列说法正确的有（ ）
A．一定，大时小，小 B．一定，大时大，小
C．一定，大时大，不变 D．一定，大时大，小
一条河宽，河水的流速为，船在静水中的速度，
（1）船夫要在最短的时间内渡河，应该怎么划船？最短时间是多少？
（2）如果船夫过河要求航程最短，应该怎么划船？用的时间是多少？
（3）河宽保持不变，河水的流速变为，船在静水中的速度变为，同样是上面的要求，船夫应该怎样划船？
有一艘船正在渡河，如图所示，在离对岸时，其下游处有一危险水域，假若水流速度为，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度应是多大
(
巩固练习
)
某物体在三个共点力作用下处于平衡状态，若把其中一个力的方向沿顺时针转过而保持其大小不变，其余两个力保持不变，则此时物体所受到的合力大小为（ ）
A． B． C． D．无法确定
两个共点力，大小都是，如果要使它们的合力也是，则这两个力的夹角应为（ ）
A． B． C． D．
水平横梁一端插在墙壁内，另一端装有一小滑轮，一轻绳的一端固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，，如图所示．则滑轮受到绳子的作用力为（取）（ ）
A． B． C． D．
在图中，两光滑斜面互相垂直．与水平面成．若把球的重力按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
如图，人用绳通过定滑轮拉物体，当人以速度匀速向左前进时，求物体的速度．
甲、乙两船在静水中划行的速度分别为，两船从同一渡口向河对岸划去，若甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船在同一地点到岸，则两船过河时间之比为（ ）
A． B． C． D．
课外拓展：不同维度的世界
维度世界
一维世界：我们知道，只有点和线是一维的。所以，一维世界的原驻居民应该有4种：点、线段、直线和射线。所以在一维世界，想要区分开射线和直线很困难，因为这两个都是无限长的。
二维世界：二维世界代表是平面形状。因此原驻居民由圆、正方形、矩形、三角、六边形、梯形、不规则形状等几何图形组成。二维世界的认知依然很困难。居民相遇时只能看到对方一条边，因此需要完全绕行一周才能识别对方。
三维世界：由长宽高组成，原驻居民应该有球、立方体、四面体等多种物体。居民无法看见对方的背面
四维世界：由长宽高+时间组成，我们的世界。
维度世界之间的干扰
当二维世界的居民进入一维世界时，由于进入角度不同，有可能被一维世界的原驻居民识别为点或者线段。二维世界的居民在一维世界具有“变形术”
当三维世界的居民进入二维世界时，同样，由于体在面中的截面不同。可能会被二维世界的居民识别为各种形状（如下图），具备“变形术”。同时由于截面的大小会改变，还具有 “变大变小术”。
当四维世界的原驻居民进入三维世界时，由于时间的扰动。四维世界的外来者可能具有速度突变的“神行”，“瞬移”等性质。
四维世界的居民进入另一个时间流动速度不同的四维世界时，甚至也可能表现出“神行”，“瞬移”“永生”“不老”等性质。
维度差值越大，扰动也就越大。我们可以用一支笔、一张纸，画出二维世界。
据M理论，宇宙一共可以达到11维。
如果有五维世界或六维世界的居民来到我们的世界，Ta 会有什么神奇的“法术”呢？
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