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专题十 函数与导数
第5讲 导数的几何意义—切线
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
1．曲线y＝ex在点A（1，e）处的切线的斜率为（　　）
A．1 B．2 C．e D．0
【解答】解：∵y′＝ex，
∴y′|x＝1＝e，
∴曲线y＝ex在点A（1，e）处的切线的斜率为e．
故选：C．
2．曲线在点（1，）处的切线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设曲线yx3﹣2x+3在该点处切线的倾斜角为θ，
曲线方程为yx3﹣2x+3，其导数y′＝x2﹣2，
则有y′|x＝1＝1﹣2＝﹣1，则切线的斜率k＝﹣1；
则有tanθ＝﹣1，故θ；
故选：D．
3．函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
【解答】解：函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为（ 2x）|x＝1＝1，
设函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为θ，
则tanθ＝1，∴θ，
故选：D．
4．曲线y＝x3﹣x在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
【解答】解：函数y＝x3﹣x的导数为f′（x）＝3x2﹣1，
即有f（x）在x＝1处切线的斜率为k＝3﹣1＝2，f（1）＝0，
切点为（1，0），
则f（x）在x＝1处切线的方程为y＝2x﹣2，
故选：D．
5．设函数 f （ x）＝x lnx，则曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣1
【解答】解：因为 f （ x）＝x lnx，
所以f′（x）＝lnx+1，
所以f′（1）＝1，
即曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为，y﹣0＝x﹣1，
即y＝x﹣1，
故选：D．
6．曲线y＝xsinx在点P（π，0）处的切线方程是（　　）
A．y＝﹣πx+π2 B．y＝πx+π2 C．y＝﹣πx﹣π2 D．y＝πx﹣π2
【解答】解：y＝xsinx的导数为y′＝sinx+xcosx，
在点P（π，0）处的切线斜率为k＝sinπ+πcosπ＝﹣π，
即有在点P（π，0）处的切线方程为y﹣0＝﹣π（x﹣π），
即为y＝﹣πx+π2．
故选：A．
7．已知曲线y＝x3+ax在x＝1处的切线与直线y＝4x+3平行，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：y′＝3x2+a；
∴x＝1时，y′＝3+a；
∴据题意得，3+a＝4；
∴a＝1．
故选：C．
8．若曲线y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为3x﹣y﹣2＝0，则有（　　）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
【解答】解：∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为3x﹣y﹣2＝0，
∴对曲线方程求导数，得y′＝2x+a，
∴x＝1时，k＝2+a＝3，
解得a＝1；
又∵点（1，1）在曲线y＝x2+ax+b上，
∴1+a+b＝1，
解得b＝﹣1；
∴a＝1，b＝﹣1．
故选：B．
9．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A．e B．﹣e C． D．
【解答】解：设切点坐标为（a，lna），
∵y＝lnx，∴y′，
切线的斜率是，
切线的方程为y﹣lna（x﹣a），
将（0，0）代入可得lna＝1，∴a＝e，
∴切线的斜率是；
故选：C．
10．曲线f（x）＝x2过点P（﹣1，0）处的切线方程是　y＝0或4x+y+4＝0　．
【解答】解：设Q（a，a2）点是过P点的切线与y＝x2的切点，
y＝x2过的导数为y′＝2x，
即有切线斜率2a，
切线方程为：y﹣a2＝2a（x﹣a）
又切线过P（﹣1，0），即有0﹣a2＝2a（﹣1﹣a），
解得a＝0或﹣2，
故切线方程为y＝0或4x+y+4＝0．
故答案为：y＝0或4x+y+4＝0．
11．已知函数f（x）x3
（Ⅰ）求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程；
（Ⅱ）求过点P（2，4）的函数f（x）的切线方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝x2，
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k＝f′（2）＝4，
∴函数f（x）在点P处的切线方程为y﹣4＝4（x﹣2），
即4x﹣y﹣4＝0
（Ⅱ）设函数f（x）与过点P（2，4）的切线相切于点，
则切线的斜率
∴切线方程为，
即
∵点P（2，4）在切线上
∴4＝2即：34＝0，
∴（x0+1）0，解得：x0＝﹣1或x0＝2，
∴所求的切线方程为x﹣y+2＝0或4x﹣y﹣4＝0．
12．已知曲线y＝f（x）．
（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；
（3）求满足斜率为的曲线的切线方程．
【解答】解：（1）y＝f（x）的导数为f′（x），
曲线在点P（1，1）处的切线斜率为﹣1，
可得曲线在点P（1，1）处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），
即为y＝﹣x+2；
（2）设切点为（m，），
可得切线的斜率为，
即有，解得m，
即有切线的方程为y＝﹣4（x﹣1），
即为y＝﹣4x+4；
（3）设切点为（n，），
可得切线的斜率为，
解得n＝±，
可得切点为（，），（，），
即有切线的方程为y（x），
即为yx；
或yx．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题十 函数与导数
第5讲 导数的几何意义—切线
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
1．曲线y＝ex在点A（1，e）处的切线的斜率为（　　）
A．1 B．2 C．e D．0
2．曲线在点（1，）处的切线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
4．曲线y＝x3﹣x在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A．2x﹣y＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
5．设函数 f （ x）＝x lnx，则曲线y＝f（x）在点 （1，0）处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣1
6．曲线y＝xsinx在点P（π，0）处的切线方程是（　　）
A．y＝﹣πx+π2 B．y＝πx+π2 C．y＝﹣πx﹣π2 D．y＝πx﹣π2
7．已知曲线y＝x3+ax在x＝1处的切线与直线y＝4x+3平行，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．若曲线y＝x2+ax+b在点（1，1）处的切线为3x﹣y﹣2＝0，则有（　　）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝1，b＝﹣1 C．a＝﹣2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
9．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A．e B．﹣e C． D．
10．曲线f（x）＝x2过点P（﹣1，0）处的切线方程是　 　．
11．已知函数f（x）x3
（Ⅰ）求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程；
（Ⅱ）求过点P（2，4）的函数f（x）的切线方程．
12．已知曲线y＝f（x）．
（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；
（2）求曲线过点Q（1，0）的切线方程；
（3）求满足斜率为的曲线的切线方程．

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