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专题十 函数与导数
第6讲 导数的应用
函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
一．选择题（共15小题）
1．函数f（x）2﹣9lnx的单调递减区间是（　　）
A．（0，3） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（﹣3，3）
2．函数f（x）＝3x﹣x3的单调增区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，+∞）
3．函数y＝4x2单调递增区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）
4．函数f（x）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
5．若函数f（x）＝lnx在[1，3]上为增函数，则m的取值范围为（　　）
A．[1，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，3]
6．若函数f（x）＝mx﹣lnx在区间[1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）
7．若f（x）＝x2+mlnx在（2，+∞）是增函数，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣8，+∞） B．（﹣8，+∞） C．（﹣∞，﹣8） D．（﹣∞，﹣8]
8．已知函数f（x）x3+mx2+nx+1的单调递减区间是（﹣3，1），则m+n的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
9．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）（　　）
A．在（﹣∞，0）上为减函数 B．在x＝0处取极小值
C．在（1，2）上为减函数 D．在x＝2处取极大值
10．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），f'（x）的部分图象如图所示，则（　　）
A．f（x）在（3，+∞）上单调递增
B．f（x）的最大值为f（1）
C．f（x）的一个极大值为f（﹣1）
D．f（x）的一个减区间为（1，3）
11．“函数f（x）在x0处取得极值”是“f′（x0）＝0“的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
12．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是（　　）
A．y＝x3 B． C．y＝x e﹣x D．y＝ln（﹣x）
13．已知函数f（x）＝3x﹣x3，当x＝a时取得极小值b，则a+b等于（　　）
A．±3 B．0 C．3 D．﹣3
14．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在x＝2处取得极值，则a＝（　　）
A．1 B．2 C． D．﹣2
15．函数f（x）＝x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）有两个极值点x1，x2，则x1x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9
二．解答题（共6小题）
16．已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+x（a∈R）在x＝1处有极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
17．设函数f（x）＝xex．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最值．
18．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+4x的图象在x＝1处的切线方程为y＝﹣3x+4．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的极值．
19．已知函数f（x）＝2ax﹣lnx，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式ex﹣2+x≥xf（x）恒成立，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）ax．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a∈（1，3]时，若f（x）在区间[0，a+1]上的最大值为M，最小值为m，求证：M﹣m．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题十 函数与导数
第6讲 导数的应用
函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
一．选择题（共15小题）
1．函数f（x）2﹣9lnx的单调递减区间是（　　）
A．（0，3） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（﹣3，3）
【解答】定义域 ，
令f′（x）≤0，解得﹣3≤x≤3，又因为x＞0，
所以0＜x≤3，
故函数单调递减区间 （0，3）．
故选：A．
2．函数f（x）＝3x﹣x3的单调增区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，+∞）
【解答】解：∵函数y＝3x﹣x3，∴f′（x）＝3﹣3x2＝﹣3（x+1）（x﹣1）．
令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜1．
∴函数y＝3x﹣x3的单调递增区间（﹣1，1）．
故选：C．
3．函数y＝4x2单调递增区间是（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）
【解答】解：令
故选：C．
4．函数f（x）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：f（x）的定义域是R，
f′（x），令f′（x）≥0，解得：x≤1，
故函数的单调递增区间是（﹣∞，1]，
故选：B．
5．若函数f（x）＝lnx在[1，3]上为增函数，则m的取值范围为（　　）
A．[1，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，3]
【解答】解：由题意可知，
即m≤x对x∈[1，3]恒成立，
所以m≤1，
故选：C．
6．若函数f（x）＝mx﹣lnx在区间[1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）
【解答】解：f′（x）＝m，
∵函数f（x）＝mx﹣lnx在区间[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）恒成立，
∴m，
而y在区间[1，+∞）递减，故m≥1，
∴m是取值范围是[1，+∞），
故选：A．
7．若f（x）＝x2+mlnx在（2，+∞）是增函数，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣8，+∞） B．（﹣8，+∞） C．（﹣∞，﹣8） D．（﹣∞，﹣8]
【解答】解：f′（x）＝2x，
若f（x）＝x2+mlnx在（2，+∞）是增函数，
则2x0在（2，+∞）恒成立，
即m≥﹣2x2在（2，+∞）恒成立，
由y＝﹣2x2在（2，+∞）的最大值是﹣8，
故m≥﹣8，
故选：A．
8．已知函数f（x）x3+mx2+nx+1的单调递减区间是（﹣3，1），则m+n的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【解答】解：∵f（x）x3+mx2+nx+1，
∴f′（x）＝x2+2mx+n，
结合题意：﹣3+1＝﹣2m，﹣3×1＝n，
解得：m＝1，n＝﹣3，
故m+n＝﹣2，
故选：B．
9．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）（　　）
A．在（﹣∞，0）上为减函数 B．在x＝0处取极小值
C．在（1，2）上为减函数 D．在x＝2处取极大值
【解答】解：x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（2，4）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（4，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
故x＝0，x＝4处取极大值，x＝2处取极小值，
故选：C．
10．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），f'（x）的部分图象如图所示，则（　　）
A．f（x）在（3，+∞）上单调递增
B．f（x）的最大值为f（1）
C．f（x）的一个极大值为f（﹣1）
D．f（x）的一个减区间为（1，3）
【解答】解：由于图象只是f'（x）的部分图象，
不能保证x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0恒成立，即A无法判断；
f（1）是函数f（x）的一个极大值，但不一定是最大值，即B错误；
f（﹣1）是函数f（x）的一个极小值，即C错误；
当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，即D正确．
故选：D．
11．“函数f（x）在x0处取得极值”是“f′（x0）＝0“的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：若“函数f（x）在x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′（x0）＝0”成立，反之，“f′（x0）＝0”，还应在导数为0的左右附近改变符号时，“函数f（x）在x0处取得极值”．
故选：A．
12．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是（　　）
A．y＝x3 B． C．y＝x e﹣x D．y＝ln（﹣x）
【解答】解：由选项可知，A选项y＝x3单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，
函数满足f（﹣x）＝﹣f（x），函数是奇函数，
x＞0时，，当且仅当x＝1时取得最小值，x＞0时有极小值．
同理可得，当x＜0时，2，当且仅当x＝﹣1时取得最大值，也是极大值．
即B选项既为奇函数又存在极值．
故选：B．
13．已知函数f（x）＝3x﹣x3，当x＝a时取得极小值b，则a+b等于（　　）
A．±3 B．0 C．3 D．﹣3
【解答】解：f′（x）＝3﹣3x2
令f′（x）＝3﹣3x2＝0得x1＝1，x2＝﹣1．
且x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0；x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0
故f（x）在x＝﹣1出取得极小值b＝f（﹣1）＝﹣2．
则a+b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：D．
14．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在x＝2处取得极值，则a＝（　　）
A．1 B．2 C． D．﹣2
【解答】解：，
由题意可得，0，
∴a，此时,
易得，当0＜x＜2时，f′（x）＞0,函数单调递增，当x＞2时，f′（x）＜0,函数单调递减，
故当x＝2时，函数取得极大值，满足题意．
故选：C．
15．函数f（x）＝x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）有两个极值点x1，x2，则x1x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9
【解答】解：函数的导数为f'（x）＝3x2+2ax+3，
因为f（x）有两个极值点x1，x2，
所以x1，x2，是方程f'（x）＝3x2+2ax+3＝0的两个不相等的实根，
所以由根与系数之间的关系得x1x2．
故选：B．
二．解答题（共6小题）
16．已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+x（a∈R）在x＝1处有极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+1，函数f（x）在x＝1处有极值，
∴f′（x）＝0，解得：a（经检验，符合题意）；
（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣2x2+x，
则f′（x）＝（x﹣1）（3x﹣1），令f′（x）＝0，解得：x＝1或x，
x，f′（x），f（x）的变化如下：
x （﹣∞，） （，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），（1，+∞），递减区间是（，1）．
17．设函数f（x）＝xex．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最值．
【解答】解：（1）f'（x）＝（1+x）ex，
由f'（x）＞0得x＞﹣1，f'（x）＜0得x＜﹣1，
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）；
（2）由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1）递减，在（﹣1，1]递增，
∴f（x）最小值为，
又，f（1）＝e，
∴f（x）最大值为e．
18．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+4x的图象在x＝1处的切线方程为y＝﹣3x+4．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的极值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣x3+ax2+4x，
∴f′（x）＝﹣3x2+2ax+4，
f′（1）＝﹣3+2a+4＝﹣3，解得a＝﹣2；
（2）由（1）得f′（x）＝﹣3x2﹣4x+4，令f′（x）＝0，解得x或x＝﹣2，
当﹣2＜x时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，）上单调递增，
当x＜﹣2或x时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）和（，+∞）上单调递减，
所以f（x）在x＝﹣2处取得极小值f（﹣2）＝﹣8，在x处取得极大值f（）．
19．已知函数f（x）＝2ax﹣lnx，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式ex﹣2+x≥xf（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求导得，
当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，
则f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（2） x＞0，不等式
，令h（x）＝ex﹣x﹣1，h'（x）＝ex﹣1，
当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
x∈R，h（x）≥h（0）＝0，即恒有ex≥x+1成立，当且仅当x＝0时取“＝”，
因此，当x＞0时，，当且仅当x﹣2﹣lnx＝0时取“＝”，
令φ（x）＝x﹣2﹣lnx，x＞0，，当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，当x＞1时，φ′（x）＞0，
即φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，φ（1）＝﹣1＜0，φ（e﹣2）＝e﹣2＞0，φ（4）＝2（1﹣ln2）＞0，
即，使得φ（x1）＝x1﹣2﹣lnx1＝0， x2∈（1，4），使得φ（x2）＝x2﹣2﹣lnx2＝0，即x﹣2﹣lnx＝0有解，
因此，不等式中能取到等号，
所以的最小值为1，即1≥2a，解得，
所以实数a的取值范围是．
20．已知函数f（x）ax．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a∈（1，3]时，若f（x）在区间[0，a+1]上的最大值为M，最小值为m，求证：M﹣m．
【解答】解：（I）因为，则f′（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣a）（x﹣1），
当a＞1时，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞a，此时f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得1＜x＜a，此时f（x）单调递减；
当a＝1时，f′（x）＝（x﹣1）2≥0，故此时f（x）在R上单调递增；
当a＜1时，令f′（x）＞0，解得x＜a或x＞1，此时f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得a＜x＜1，此时f（x）单调递减；
综上所述：当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增；
当a＝1时，f（x）在R上单调递增；当a＜1时，f（x）在（﹣∞，a）单调递增，在（a，1）单调递减，
在（1，+∞）单调递增．
（II）证明：由（1）可知，当a∈（1，3]时，f（x）在（0，1）单调递增，
在（1，a）单调递减，在（a，a+1）单调递增，
又，
故m＝f（0）＝0，又，
则，即f（a+1）≥f（1），故M＝f（a+1）；
则．
令，
则，
令h′（x）＞0，可得，此时h（x）单调递增；
令h'（x）＜0，可得，此时h（x）单调递减，
又，故当x∈（1，3]时，，
即当a∈（1，3]时，，即证．

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