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等差（比）数列的其他性质
【知识点讲解】
一、等差数列
（1）数列是｛an}等差数列，则数列｛an+p}、{pan}（p是常数）都是等差数列；
（2）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列
（3）脚标和相等，则相等。如当m+n=p+q时，am+an=ap+aq
（4）等差数列片段和性质。Sn，S2n-Sn，S3n-S2n...依然成等差数列
（5）两个等差数列前n项和间的关系an/bn与S2n-1/T2n-1相等
（6）等差数列通项公式变形。S2n-1=(2n-1)an
二、等比数列
（1）在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N )m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N )，则aman=apaq=a2kaman=apaq=a2k
（2）若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列{anbn}仍然是等比数列；
（3）在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k， 为等比数列
【对点训练】
第一部分：等比数列
一、单选题
1．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是（ ）
A． B．Sqn－1 C．Sq1－n D．
2．已知数列满足，（为非零常数），，则（ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列中，已知，，（ ）
A．32 B．16 C．35 D．162
4．设等比数列的前项和为则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）A． B．2 C． D．
6．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）A．30 B．60 C．90 D．120
7．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）A． B．2 C． D．3
8．已知等比数列的前n项和为，若，，则（　　）
A．9 B．10 C．12 D．17
9．设等比数列的前项和为，若，则________．
10．已知等比数列中，为其前项之和，，则______
11．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
12．已知等比数列满足，则________．
第二部分：等差数列
一、单选题
【奇数项与偶数项】
1．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
2．已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
3．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【S2n-Sn呈等差数列】
4．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【Sn/n为等差数列】
5．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【S2n-Sn呈等差数列】
6．已知数列{an}是等差数列，若a1+a2+a3=1，a4+a5+a6=3，则a7+a8+a9=（ ）
A．5 B．4 C．9 D．7
7．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（ ）
A．1539块 B．1863块 C．3402块 D．3339块
【Sn/n为等差数列】
8．在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（ ）
A．8 B．8或9 C．9 D．17
10．在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（ ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
【Sn呈等差数列】
11．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
【奇数项与偶数项】
12．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
【S2n-Sn呈等差数列】
13．在等差数列中，，，求____
【Sn/n为等差数列】
14．已知为等差数列的前项和，，，则________．
15．设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
【参考答案】
第一部分：等比数列
1．C
【详解】根据题意，易知，数列也是等比数列，且首项为1，公比为，
故数列的前n项和为.
2．A
【详解】解：由数列为等比数列，得，
所以，又数列的首项，所以.
3．A
【详解】解：由等比数列前项和的性质知，当数列依次每项和不为0时，则依次每项和仍成等比数列，所以，，，，成等比数列，且公比为．又，，所以，所以．
4．C
【详解】由题意，设等比数列的公比为，
又
5．C
【详解】当时，，又，即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，所以，
6．D
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，故数列的所有项之和是.
7．B
【详解】设数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，
故
.
8．B
【详解】
设等比数列的公比为q，因为
.所以，
则.
9．
【详解】解：为等比数列，则，，，也成等比数列，
由，令，则，则由，，，也成等比数列，
可得，，则．故答案为：
10．260
【详解】解：根据等比数列前n项和的性质，
可知，，成等比数列，则，即，
解得.故答案为：.
11．
【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，
所以，，又，则，
因此，.
12．50
【详解】
设数列的前n项和为，则，，所以，
又因为数列为等比数列，所以成等比数列，于是，解得，所以.
第二部分：等差数列
1．B
【详解】奇数项共有项，其和为，
∴．偶数项共有n项，其和为，∴．
2．A
【详解】由已知，，所以，
所有奇数项的和为，于是可得.
3．B
【详解】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为
∴，∴，∴n＝10，
4．D
【详解】由等差数列片段和的性质：成等差数列，
∴，可得，同理可得，∴，可得.
5．B
【详解】，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，得，解得.
6．A
【详解】由数列{an}是等差数列可知，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9 成等差数列，所以a7+a8+a9= ，
7．C
【详解】由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以.
8．B
【详解】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，，.
9．B【详解】依题意，所以
所以是首项为，公差为的等差数列，所以，
由，所以取最大值时，n的值为或.
10．A
【详解】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为，
由得，
又得.
11．C
【详解】∵，∴是等差数列，
，是其中的连续三项，∴，解得
12．2
【详解】解:由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.
13．484
【详解】由等差数列片段和的性质有，
∴．∴
14．
【详解】∵是等差数列，∴为等差数列，设为公差．
∴，，∴，解得．
15．4
【详解】由等差数列性质可知，又，
∴,解得，

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