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基本不等式
【方法与技巧点拨】
1.当式子次数不等时，可以考虑用构造齐次式的方法
例如：
已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
本题中前后次数不等，于是采用（a+b）2代替原式中的“1”即可求解。
【答案】B
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当时等号成立，又因为，由不等式的性质可得
．
又因为，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
2.当分子皆为常数时，一般采用题目的条件进行整体代换
例如：
已知，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
本题中即分子皆为常数，可采用此条件代替1*（x+2y）中的“1”
【答案】A
【详解】，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．
3.采用柯西不等式
主要应用以下两种：
①若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.
②已知都是实数，则
例如：
（1）已知a，，，则的最大值为（ ）
A．18 B．9 C． D．
（2）已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则 的最小值为( )
A．1 B．3 C．6 D．9
【解析】（1）由题意，，
当且仅当时等号成立，当，时，故的最大值为.故选：C.
（2，当且仅当时等号成立，
4.采用换元法
例如：
已知，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
此题采用标准答案的解法会特别浪费时间，但是如果利用换元法，将3/a换作t来解决，那么这道题就又回到了方法2的那种方法。下面可以亲自动手将这种做法与下面的标准答案进行对比。
【答案】B
【详解】由题设，，令且，
∴，可得，
当时，，即，则，符合题设.
当时，令在上有零点，
1、时，开口向上且在上递增，而恒成立，符合题设；
2、时，开口向下且对称轴，
∴，无解；或，由，解得或（舍）.综上，，故的最小值为.
【高考真题练习】
1．（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2014重庆）若的最小值是
A． B． C． D．
3．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，
的最大值为A．0 B．1 C． D．3
4．（2012浙江）若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2020江苏12）已知，则的最小值是 ．
6．（2020天津14）已知，且，则的最小值为_________．
7．（2019天津理13）设，则的最小值为 ．
8．（2017天津）若，，则的最小值为___________．
9．（2014辽宁）对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 ．
10．（2014辽宁）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为 ．
【参考答案】
1.【答案】B
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；，即恒成立，故B正确；当时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确
2.【答案】D
【解析】由已知得，且，可知，所以()，
3.【答案】B
【解析】由，得．
所以，当且仅当，
即时取等号此时，．
，
4.【答案】C
【解析】，∴，∴ ．
5.【答案】
【解析】，故，
当且仅当，即，时，取等号．∴．
6.【答案】4
【解析】，，
，当且仅当=4时取等号，结合，解得
7.【答案】
【解析】 ，，，
则；
由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）．
故的最小值为．
8.【答案】4
【解析】 ，当且仅当，且，即时取等号．
9.【答案】－1
【解析】设最大，则必须同号，
因为，
故有，，当且仅当时取等号，此时，
所以=．
10.【答案】－2
【解析】 设，则，因为，
所以将代入整理可得①，
由解得，当取得最大值时，，
代入①式得，再由得，
所以．
当且仅当时等号成立．
【其他试题练习】
一、单选题
1．设，为正实数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
4．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（ ）
A．24 B．313 C．913 D．25
5．已知a＞0，b＞0，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．6
6．已知，，，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
7．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
8．要证：，只要证明（ ）
A． B．
C． D．
9．若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】
1．C
【详解】
解：因为，为正实数，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为3.
故选：.
2．B
【详解】
令，则，
所以，
当且仅当等号成立.
故选：B.
3．B
【详解】
依题意有x＋y
，
当且仅当时取等号．
故选：B．
4．D
【详解】
因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0，
所以b，又a＞0，b＞0，
所以0，解得a＞2，
又b1，
所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2
＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4
＝3a7＝3（a﹣2）13
，
当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立，
即（a+1）（b+2）的最小值为25．
故选：D．
5．B
【详解】
∵a＞0，b＞0，∴当且仅当a＝b＝1时，取等号．
故选：B．
6．C
【详解】
由可得，即
所以，所以
所以，
当且仅当即时，等号成立取得最小值2．
故选：C.
7．D
【详解】
由，知，，，
由，得，
又，
，当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．
故选：．
8．D
【详解】
选项A：因为，所以，故选项A错误；
选项B：因为，所以
选项C：因为，所以，
，故选项C错误；
选项D：因为，所以
要证：，只要证明，
只要证明，故选项D正确；
9．C
【详解】
证明不等式，
令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，故证明成立；
又因为≥，且仅当a=时成立
又因为
故与题意联立，得
令t=，故有，解得时成立，综上联立：=1与a=
解得a=，b=，
10．A
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，
【提高练习试题】
一、单选题
1．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
2．若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角 B．a2 + 2b2 - c2 = 0 C．3tanA + tanC = 0 D．tanB的最大值为
5．已知a>0，b>0，且a+b=１，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．的最大值为 C． D．
三、填空题
8．已知，，，则＋的最小值为____．
9．已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为_________.
10．已知，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为___________.
【参考答案】
1．B
【详解】对于选项A：若，由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若，，
，
当且仅当且，即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，，即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
2．C
【详解】证明不等式，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，，故证明成立；
又因为≥，且仅当a=时成立 又因为
故与题意联立，得
令t=，故有，解得时成立，综上联立：=1与a=解得a=，b=，
3．C
【详解】解：在中，由余弦定理得，
且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
4．BCD
【详解】可化为即，
故，故为钝角，故A错误.又，整理得到，而又可化为，
所以即，故C正确.
又，
因为为钝角，故为锐角，故，
当且仅当时等号成立，故D正确.
5．ACD
【详解】对于，故正确；
对于B：因为实数，，，所以
所以，故错误；
对于：由B得到，所以
所以，根据“或”命题的性质可知正确；
对于：，
当且仅当，即时等号成立，故正确；
6．BCD
【详解】解：因为，且，对于A，，当且仅当，即，时取等号，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，令，则，因为，所以，令，则所以在上单调递增，又，所以当时，即，在上单调递减，当时，即，在上单调递增，
所以，故，即B正确；
对于C：，令，则，当时，当时所以在上单调递增，又，所以时取得最小值，，所以，故C正确；
对于D：
令，，
当时，，，，，所以，即在上单调递减，同理可得在上单调递增，所以时有最大值，所以在上恒成立，所以，故D正确；
7．BD
【详解】因为，所以，所以.
对于A：由可得，所以，故A错误；
对于B： ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，对于C：因为，所以当且仅当，即时等号成立，故C错误；
对于D：因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，当时取最大值，
此时，
此时两次取等号条件不一致，故，故D正确.
8．
【详解】可化为，
因为，，故，故，所以.
设，故且，
故
又，
因为，故即，当且仅当时等号成立，
故的最小值为4，故的最小值为.
9．12
【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为，
，，
所以，为奇函数，又在单调递减，
所以在单调递减，在出连续，
在单调递减，所以在上单调递减，
，，，即，
所以 ，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为12.
10．
【详解】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，
，且，；
再由，使成立，可得，；
，，
令，则
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
故的最小值为

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