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高考重要题型之 导数中构造函数解题
一、利用导数及所解不等式构造函数解不等式：
例1.函数满足，且在R上的导函数，则不等式的解集为________。
解析：构造函数，则不等式即
由，则在R上递增。
因，则图象如图所示。
故解集为：。
例2.已知是定义在R上的函数，且，对任意的都有，则的解集是________________。
解析：因解不等式的目标是，故可以构造函数，则
因，故，在R上单调递减。
因，
的解集即的解集，即为。
例3.已知定义在R上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为________________。
解析： 令，则，即为，即。设，则，
因为对于任意的，都有成立，
所以对任意，都有，所以为单调递增函数，
且，所以的解集为，
即，即 所以不等式的解集为.
二、利用与构造可导型函数：
例1.设是定义在R上的偶函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为________________。
解析：构造函数，，
因是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，即当时，递增；
为奇函数
则在单调递增。
因，，则图像如图所示：
当时，的解集为
当时，的解集为
故解集为：。
例2.已知偶函数的导函数为，且满足．当时，则使得成立的的取值范围是________________。
解析：令，则
，
当时，，因为偶函数，所以当时，,
等价于，所以 ，
所以.
例3.已知函数是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当时，有 成立，则不等式的解集是 ________________。
解析：令为偶函数，所以在 上单调递减，
。
例4.已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为________________。
解析：构造函数,当时,依题意有,所以函数在上是增函数,由于函数为奇函数,故在时,也为增函数,且,,所以不等式根据单调性有.
规律总结：
1.遇到的形式，构造函数；
2.遇到的形式，构造函数；
3.遇到的形式，构造函数；
4.遇到的形式，构造函数。
三、利用与构造可导型函数：
例1.已知是定义在R上的函数，导函数满足对恒成立，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
由得：
故构造函数，
故为R上的单调递减函数，
则
故，选D。
例2.已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为________________。
解析：分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.
详解：令，因为，
所以
因此解集为 ，
例3.设是函数的导函数，且为自然对数的底数），则不等式的解集为________________
解析：
构造，求导，判定新函数的单调性，然后求解不等式构造，则
，在定义域内单调递增
则不等式，
由，即
，
综上，不等式的解集为
规律总结：
1.遇到的形式，构造函数；
2.遇到的形式，构造函数；
3.遇到的形式，构造函数；
4.遇到的形式，构造函数。
四、利用与构造可导型函数：
例1.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A B
C D
解：可化为：
构造函数，则
则在上递增。
因，即，则A正确。
因，即，则B错误。
因，即，则C错误。
因即，则D错误。
例2.已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）
A B
C D
解：可化为：
即
构造函数，则
则在上递增。
因，即，则A错误。
因，即，则B错误。
因，即，则C错误。
因，即，则D正确。
练习
1。定义在R上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A （1，2） B （0，1） C （-1，1） D
2。设函数的导函数为，对任意都有成立，则（ ）
A B
C D 关系不确定
3。定义在R上的可导函数，当时，恒成立，若，则的大小关系是（ ）
A c4。已知是定义在R上的奇函数，且当时，成立，若
，则的大小关系是（ ）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D a>c>b
5。设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是________。
答案：1.C 2 .A 3.A 4.B 5.

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