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2023届一轮复习 零点问题
零点存在的判定与证明
一、基础知识：
1、函数的零点：一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图像，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法：
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像
7、证明零点存在的步骤：
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
例1：函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
例2：函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
例3：已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
例4：已知函数，当时，函数的零点，则________
例5：定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若的“新驻点”分别为，则（ ）
A. B. C. D.
例6：若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过， 则可以是（ ）
A． B．
C． D．
例7：设函数，若实数分别是的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
例8：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于
例9：已知，函数（的图像连续不断）
（1）求的单调区间
（2）当时，证明：存在，使得
函数零点的个数问题
一、知识点讲解与分析：
1、零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点
2、函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。
（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
3、若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一
4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系
设函数为，则的零点即为满足方程的根，若,则方程可转变为，即方程的根在坐标系中为交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
例1：直线与函数的图象有三个相异的交点，则的取值范围为 (　　)．
A． B． C． D．
例2：设函数，若关于的方程在上恰有两个相异实根，则实数的取值范围是_________
例3：已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例4：已知函数满足，当，若在区间内，
函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B. C． D．
例5：已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
例6：对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
例7：已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
例8：定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例9：已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例10：已知函数 的图像上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
函数零点的性质
一、基础知识：
1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：
（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点
（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫
（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点
2、此类问题的处理步骤：
（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像
（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围
（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，
3、常见处理方法：
（1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值
（2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系
例1：已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例2：已知函数 ，若有三个不同的实数，使得 ，则的取值范围是________
例3：定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）
A. B. C. D.
例4：已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
例5：已知函数有两个不同的零点，则（ ）
A. B. C. D.
例6：已知函数，存在，，则的最大值为
例7：已知定义在上的函数满足： ，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A. B. C. D.
例8：函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，有以下四个结论
① ② ③
④ 若关于的方程恰有三个不同实根，则的取值唯一
则其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
例9：已知函数，若，且，则的值（ ）
A. 恒小于2 B. 恒大于2 C. 恒等于2 D. 与相关
例10：定义函数，则函数在区间（）内的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
复合函数零点问题
一、基础知识：
1、复合函数定义：设，，且函数的值域为定义域的子集，那么通过的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为
2、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知，计算
解：
3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值。例如：已知，，若，求
解：令，则解得
当，则
当，则
综上所述：
由上例可得，要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：
4、函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一个零点
5、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数
6、求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围
复合函数：
例1：设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则______
例2：关于的方程的不相同实根的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
例3：已知函数，关于的方程（）恰有6个不同实数解，则的取值范围是 ．
例4：已知定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实数根个数为（ ）
A. B. C. D.
例5：若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例6：已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例7：已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例8：已知函数，则下列关于函数的零点个数判断正确的是（ ）
A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点
B. 当时，有3个零点；当时，有2个零点
C. 无论为何值，均有2个零点
D. 无论为何值，均有4个零点
例9：已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有___________个
例10：已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根
（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根
（4）方程有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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