资源简介

易漏知识点总结与练习
【知识点讲解】
一、方差、标准差、百分位数
方差：（标准差的平方）
标准差：
百分位数：如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数。可表示为:一组n个观测值按数值大小排列。如，处于p%位置的值称第p百分位数。
特别提醒：当不是整数时，无论小数大小都取下一个数据。例如：7个人的80百分位数为第六人，7人的60百分位数为第五人。
二、概率相关概念
（1）回归直线恒过样本中心点
（2）相关系数r：绝对值越接近1，相关性越强
（3）相关指数R2：R2越大，拟合效果越好
（4）独立性检验：K2越大，判断两个变量间有关联的把握就越大
（5）残差：实际值-预测值（千万不要把二者弄反）
（6）若x1，x2，x3...的平均数为a，方差为b
则mx1+n，mx2+n，mx3+n...的平均数为ma+n，方差为m2b
三、弧度数
定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。
(即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1)
根据定义，一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°
l=|α| r，即α的大小与半径之积。
扇形的面积S=|α| r^2/2
四、圆锥圆台的体积
五、立体几何相关概念
1. 三个公理和三条推论：
（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.
（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.
（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.
2. 空间直线的位置关系：
（1）相交直线――有且只有一个公共点.
（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.
（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.
3.两条异面直线的公垂线：
①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.
②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.
两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.
4.三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角
①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
5. 直线和平面所成的角
⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.
满足关系式:
是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.
⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：
6.多面体有关概念：
（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.
（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同
一侧，这样的多面体叫做凸多面体.
7.棱柱
⑴棱柱的定义:
有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.
⑵棱柱的分类：
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
⑶棱柱的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
⑷平行六面体、长方体、正方体：
底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．
⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；
②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；
④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．
8.棱锥
⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高
⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）
分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……
⑶棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．
中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面
⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
【对点训练】
第一部分：方差、标准差、百分位数
一、单选题
1．如图是丰收农场6株圣女果挂果个数的茎叶图，则这6株圣女果挂果个数的方差为（ ）
A． B．
C．23 D．24
2．若一组样本数据，的方差为1，那么数据的方差为（ ）
A． B． C．2021 D．4043
3．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
4．已知一组数据：7，7，8，9，5，4，9，10，7，4，则（ ）
A．这组数据的平均数为8 B．这组数据的众数为7
C．这组数据的极差为6 D．这组数据的第75百分位数为9
5．一组数据，，…，的平均数为6，方差为1，则关于新数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A．这组新数据的平均数为6 B．这组新数据的平均数为9
C．这组新数据的方差为1 D．这组新数据的方差为4
6．有甲、乙两组数据，甲：1、2、a、b、10，乙：1、2、5、6、11，其中，若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则可以为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校举行“校园之星”评选活动，20名评委对甲、乙两位选手的评分情况如下面的茎叶图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙得分的极差相同 B．甲得分的25%分位数为71
C．乙的得分相对甲的得分更集中
D．甲得分的平均数大于乙得分的平均数
8．下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．函数且恒过定点
C．若幂函数在上单调递减，则
D．已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是
三、填空题
9．有一组数据，其平均数为3 ，方差为2，则新的数据 的方差为________.
10．已知一组数据的平均数为4，方差为3，若另一组数据的平均数为10，则该组数据的方差为_______.
第二部分：概率相关概念
一、多选题
1．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．回归直线恒过样本点的中心，且至少经过一个样本点
B．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1
C．已知一组数据3，4，6，7，8，8，9，11，则该组数据的25%分位数为4
D．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小
2．如图，5个数据，去掉点后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．变量x与变量y呈正相关
D．变量x与变量y的相关性变强
3．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
B．若回归方程为，则变量y与x负相关
C．若随机变量X服从正态分布，，则
D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
4．(多选)下列说法中错误的是（ ）
A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B．设有一个线性回归方程，变量增加个单位时，平均增加个单位
C．设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强
D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大
5．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为，则（ ）
A．变量与呈正相关关系
B．去除后的估计值增加速度变快
C．去除后与去除前样本点的中心不变
D．去除后的回归直线方程为
6．有一组样本数据，，…，，由这组样本数据得到的回归直线方程为，则（ ）
A．若所有样本点都在回归直线上，则样本的相关系数
B．若，，则
C．若样本数据的残差为，则必有样本数据的残差为
D．若越趋近于1，则的预报精度越高
7．下列说法正确的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
D．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
8．变量，的个样本点，，，及其线性回归方程，下列说法正确的有（ ）
A．相关系数的绝对值越接近1，表示，的线性相关程度越强
B．相关指数的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好
C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好
D．若，则点一定在线性回归方程上
9．则下列说法正确的是（ ）
A．在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
B．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
C．若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为2；
D．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.
10．给出下列说法，其中说法正确的是（ ）
A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1
C．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变
D．对于独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
第三部分：弧度数
一、单选题
1．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（ ）．
注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等；（ⅱ）取等于3进行计算．
A．30密位 B．60密位 C．90密位 D．180密位
2．已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（ ）A．1 B． C．2 D．
4．中国折扇有着深厚的文化底蕴．如图所示，在半径为的半圆中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折扇的扇面．记扇环形的面积为，扇形的面积为，当时，扇形的形状较为美观，则此时扇形的半径为（ ）
A． B．
C． D．
5．一个半径为2的扇形的面积的数值是4，则这个扇形的中心角的弧度数为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二、填空题
6．已知在中，弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对弧的弧长是________．
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出扇形面积计算方法：以径乘周，四而一，意思是：将直径乘以弧长再除以.则此问题中，扇形的面积是___________平方步.
8．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，它是以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如下图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则线段AB的长为___________.
9．已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是___________.
10．若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为______．
第四部分：圆锥圆台的体积
一、单选题
1．正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为（ ）
A．40 B．50 C．25＋15＋3 D．30＋20
3．已知圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ）A．2 B． C．4 D．8
5．已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（ ）
A．600π B．300π C．900π D．450π
6．已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上 下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）A． B． C． D．14
9．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（ ）（注：圆台的体积）A． B． C． D．
10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
第五部分：立体几何相关概念
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
①棱柱的侧棱都相等；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点有无数条母线．
2．有下列命题：其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．
3．有以下命题：其中的正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②棱台的两个底面一定是相似多边形
③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
4．下列说法正确的是（ ）
A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面
5．下列说法中正确的是（ ）
A．棱锥的侧面不一定是三角形 B．棱锥的各侧棱长一定相等
C．棱台的各侧棱的延长线交于一点
D．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．棱柱的所有侧面都是平行四边形 B．将矩形绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；
C．正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；
D．将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.
7．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
8．下列命题中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.
9．下列命题正确的是( )A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
10．给出下列命题∶其中正确命题的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
③棱台的侧棱延长后交于一点，且侧面是等腰梯形，
11．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
12．下列关于棱柱的说法中正确的是（ ）
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形 B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
13．以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆.
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
14．以下关于正棱锥的叙述不正确的是（ ）
A．正棱锥的高与底面的交点是底面的中心 B．正四棱锥的各侧面都是锐角三角形
C．正棱锥的各侧面都是等腰三角形 D．底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
二、多选题
15．下列说法不正确的是（ ）
A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
16．下列命题中错误的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
17．下列说法中，正确的是（ ）
A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
18．下列说法正确的是（ ）
A．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 B．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点
C．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥
D．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥
三、填空题
19．给出下列说法：其中说法正确的是________（填序号）．
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；
③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体．
20．给出下列命题：其中正确的是________（只填序号）．
①用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台；
②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；
③一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
21．给出下列命题：其中正确命题的序号是____________．
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；
③在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行；
④棱台的侧棱延长后交于一点；
⑤两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行．
22．下列命题正确的是________（只填序号）．
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
③球面上四个不同的点一定不在同一平面内；④球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．
23．下列命题中正确的个数是_______.
①圆柱的轴经过上、下底面的圆心；
②圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高；
③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆；
④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径；
⑤一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；
⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.
24．①直四棱柱一定是长方体；
②正方体一定是正四棱柱；
③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；
⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题有_________．
25．①直四棱柱一定是长方体；
②正方体一定是正四棱柱；
③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
⑤直棱柱的侧棱长与高相等；
以上说法中正确的命题有______
【参考答案】
第一部分：方差、标准差、百分位数
1．A
【详解】根据茎叶图可知：这6株圣女果挂果个数分别为：，
所以平均数为：，
因此方差为：
，
2．C
【详解】由题设，，则.
3．B
【详解】设这10个数据分别为：，根据题意，，
所以，.
4．BCD
【详解】对于，因为，所以这组数据的平均数为7，故不正确；对于，因为这组数据可改写为，所以这组数据的众数为7，故正确；
对于C，因为这组数据的最大值为10，最小值为4，所以这组数据的极差为，故C正确；
对于，因为这组数据可改写为，由于，所以第75百分位数为第8个数，即9，故D正确.
5．BD
【详解】由题意得：， ，则，所以这组新数据的平均数为9，方差为4.
6．BCD
【详解】解：由题意可得，，
所以，平均数为5，又乙组数据的平均数
因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，
所以，
即，
又，
所以可以为，，，，．
7．AD
【详解】
A：甲得分的极差为：，乙得分的极差为：，所以本选项说法正确；
B：甲得分一共有20个，因为是整数，所以，所以本选项说法不正确；
C：通过茎叶图可以发现甲得分相对更集中，所以本选项说法正确；
D：通过茎叶图可知：甲的最高分和最低分都比乙高，而且分数集中在之间也比乙多，所以本选项说法正确；
8．ACD
【详解】
解：对于选项A，即，则，解得或，故A正确；
对于选项B，函数且恒过定点，故B错误；
对于选项C，函数为幂函数，则，解得或，又因为函数在上单调递减，则，故C正确；
对于选项D，设数据，，，，的平均数为，则其方差为
则数据数据，，，，的平均数为，则其方差为
，故D正确.
9．2
【详解】
由已知得，，
所以，.
10．12
【详解】
由题意，原式数据的平均数和方程分别为：，
则新数据的平均数，
于是新数据的方差
.
第二部分：概率相关概念
1．BD
【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，故A错误；
对于B，两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于1，故B正确；
对于C，由于，所以该组数据的分位数是第项与第项数据的平均数，即为，故C错误；
对于D，对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故D正确．
2．ACD
【详解】
由图，，，则，，，
∴相关系数.
令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，，
∴残差平方和，故，
去掉后，，，则，，，
∴相关系数.
∴，A、D正确；
令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，
∴残差平方和，故，
∴，B错误，C正确；
3．AB
【详解】若样本数据的方差为2，则数据的方差为，A项正确；
，，则变量y与x负相关，B项正确；
因为X服从正态分布，，
则，故C项错误；
在线性回归分析中相关指数越大，则模型的拟合效果越好，故D项错误.
4．BC
【详解】
对于A：根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故选项A正确；
对于B：变量增加个单位时，平均减小个单位，故选项B错误；
对于C：设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越弱，故选项C错误；
对于D：在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故选项D正确．
5．ACD
【详解】因为回归直线方程为， ，所以变量与呈正相关关系，
故选项A正确；
因为，所以去除后的估计值增加速度变慢，故选项B错误；
当时，，所以去除前样本点的中心为，又因为，，所以去掉两个数据点和后，样本点的中心还是，故选项C正确；
因为去除后重新求得的回归直线的斜率为，所以可设，将点代入直线，得，解得，所以去除后的回归直线方程为，故选项D正确．
故选：ACD．
6．BD
【详解】
若所有样本点都在回归直线上，当样本数据呈正相关时，相关系数，当样本数据呈负相关时，相关系数，A错误；
回归直线必过样本点的中心，其中，，所以，即，B正确；
样本数据的残差为，其他样本数据的残差值的大小没必然联系， C错误；
越趋近于1，说明回归直线的拟合效果越好，所以的预报精度越高，D正确.
7．ABD
【详解】
根据相关定义分析知A，B，D正确；对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误.
8．ABD
【详解】
解：由线性相关系数的意义可知，当r的绝对值|r|越接近1时，两个随机变量的线性相关性越强，故选项A正确；
用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项B正确；
拟合效果的好坏是由残差的平方和来体现的，残差的平方和越大，说明拟合效果越差，故选项C错误；
样本中心一定在线性回归方程上，故选项D正确．
故选：ABD．
9．ABC
【详解】
根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以A正确；
由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，
所以B正确；
若数据，，…，的平均数为1，则，，…的平均数为也扩大为原来的2倍，即平均数为2，所以C正确；
对分类变量与的随机变量的观测值来说，应该是越大，判断“与有关系”的把握越大，所以D不正确.
10．BCD
【详解】
对于A：回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，故A错误；
对于B：两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近1，故B正确；
对于C：将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变，故C正确；
对于D：对于独立性检验，随机变量的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D正确.
第三部分：弧度数
1．A
【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位.
2．A
【详解】扇形的面积公式为：（为扇形圆心角的弧度数）
则有：解得：
3．C
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，由题意得，得.
4．A
【详解】解：设，半圆的半径为，扇形的半径为，
，，即，
，
，
又，
．
5．C
【详解】
解：设这个扇形的中心角的弧度数为，
因为扇形的半径为，面积为，所以，解得．
6．
【详解】
解：设圆的半径为.
所以这个圆心角所对弧的弧长是.
故答案为；
7．
【详解】
由题意可知，该扇形的面积为（平方步）.
8．3
【详解】
根据题意，设正三角形的边长为，，由弧长公式可得：
则有：
解得：
9．4
【详解】
10．
【详解】
，
，
第四部分：圆锥圆台的体积
1．D
【详解】解：设，，，可得正四棱台的斜高为，
所以棱台的侧面积为．
2．C
【详解】
如图所示，记A1B1的中点为N，连接MN，则MN∥BC，
所以过点B，C，M的平面为平面BNMC，三棱台为A1MN -ACB，
其中，，，
所以其表面积S＝×4×4＋×2×2＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×＝25＋15＋3.
3．C
【详解】因为圆台的上下底面圆的半径分别为1与2，高为，
所以圆台的母线为：，
所以圆台的侧面积为：，
4．C
【详解】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则
圆台的侧面积为，解得
5．A
【详解】
圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解
得，
所以圆台的侧面积.
6．A
【详解】
解：设圆台上底面的半径为，下底面半径为，则有，
解得或（舍去）.
圆台的体积为
7．B
【详解】
如图，过作，垂足为，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
∴（梯形的面积公式），则.
由题意得：，在中，.
连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，
∴，
∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.
8．C
【详解】
.
9．B
【详解】
依题意，圆台的体积，
解得，故圆台的母线长，
10．B
【详解】
因为轴截面的顶角为，所以底角，
在中，依题意，
该圆形攒尖的底面圆半径，高，
则()，
所以该屋顶的体积约为.
第五部分：立体几何相关概念
1．B
【详解】由棱柱定义可知，棱柱的侧面是平行四边形，所有侧棱都相等；以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；用平行于底面的截面截圆锥，上部分为小圆锥，下部分为圆台；通过圆台侧面上一点，只有一条母线.
2．C
【详解】①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，正确；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，两点的连线不一定是圆台的母线，错误；
3．B
【详解】对于①：以直角梯形较长的腰为轴旋转所得的几何体不是圆台，所以①错误；
对于②：棱台的两个底面一定是相似多边形，所以②正确；
对于③：圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，所以③错误；对于④：根据圆台的定义，可得④是正确的．
4．B
【详解】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以A错误；
根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，所以B正确；
由圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，所以C错误；
由棱台的两个底面相似，其中较小的面叫做上底面，较大的面叫做下底面，所以D错误．
5．C
【详解】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不一定相等，故A，B不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各条侧棱的延长线一定交于一点，C正确；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体才能一个是棱锥，一个是棱台，故D不正确.
6．D
【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确；
对于B：由圆柱的定义得将矩形绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱，故B正确；
对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确；
对于D：将直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确，
7．D
【详解】解：对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；
对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；
对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；
8．B
【详解】解：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①不正确；
③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③不正确；④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥，故④不正确.
9．C
【详解】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；
10．A
【详解】因为棱柱的侧面不一定全等，所以①错，棱台的侧面不一定是等腰梯形，③错，用不平行与棱锥底面的平面解棱锥时，截面与底面之间的部分不是棱台，②错，
11．C
【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：
对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；
对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，
12．D
【详解】对选项A，由棱柱的定义知：长方体为棱柱，长方体的侧面是矩形，故A错误；
对选项B，当棱柱为直棱柱时，侧棱才为棱柱的高，故B错误；
对选项C，正六棱柱的相对侧面互相平行，故C错误；对选项D，由棱柱的定义可知：棱柱的上下底面一定平行，
13．A
【详解】易知①正确；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故不正确；③当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，正确.
14．D
【详解】对于A选项，正棱锥的高与底面的交点是底面的中心，A对；
对于B选项，在正四棱锥中，设点在底面的射影点为点，如下图所示：
设，，则，，
，则为锐角，
易知等腰三角形中，，、均为锐角，即为锐角三角形，；
对于C选项，因为正棱锥的侧棱长相等，故正棱锥的各侧面都是等腰三角形，C对；
对于D选项，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，
则三棱锥的底面是等边三角形，且每个侧面均为等腰三角形，但该三棱锥不是正棱锥，D错.
15．ABC
【详解】一个正方形绕其一边旋转而成的圆柱的底面半径与母线长相等，故A项不正确；
把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥，故B项错误；底面是矩形的直四棱柱才是长方体，当底面不是矩形时，侧面都是矩形的直四棱柱不是长方体，故C项错误；根据棱台的定义，可知棱台是由用平行与棱锥的底面的平面截棱台，所得截面与底面间的部分叫做棱台，所以任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故D项正确.
16．ACD
【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.
每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故A、D错误；C：截面与底面 不一定互相平行，故C错误.
17．AB
【详解】对于A：由棱锥的定义可知：棱锥的各个侧面都是三角形，故选项A正确；
对于C：棱锥的侧棱相交于一点，故选项C不正确；
对于D：如图几何体是由两个四棱锥组成的几何体，满足有一个面是多边形，其余各面是三角形，但不是棱锥，故选项D不；
18．ABD
【详解】选项A：用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A正确；
选项C：根据棱锥的定义，其余各面的三角形必须有一个公共的顶点，故C错误；
选项D：若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确．
19．①
【详解】①正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
②不正确，圆台的母线延长后必相交于一点；③不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
20．②④
【详解】①错．只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台；
由圆锥的性质可知②正确，③错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．④由圆柱的定义可知正确．
21．④
【详解】对于①，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，侧面不一定全等，如底面为非等边三角形的直三棱柱，侧面不都全等，①错；
对于②，用平行于底面的一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，②错；
对于③，当平面与相交时，令交线为l，显然，内有无数条直线与l平行，则它们也与平行，③错；
对于④，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后交于一点，④正确；
对于⑤，两个平面也有可能相交，如三棱柱的三条侧棱两两平行，它的三个侧面却是两两相交的，⑤错，
22．②④
【详解】以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；由圆锥的定义可知②正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上；根据球的半径定义，知④正确．
23．6
【详解】由圆柱的结构特征可知，圆柱的轴经过上、下底面的圆心，故①正确；圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高，故②正确；平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆，故③正确；
经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径，故④正确；
由旋转体的定义可知，一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；
由圆锥的结构特征可知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故⑥正确.
24．②④⑤⑥
【详解】①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.
底面如果不是长方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；
②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体；
③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；
④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，
25．②④⑤
【详解】①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.
底面如果不是长方形或正方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；
③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；
⑤直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑤正确.

展开更多......

收起↑